3.7: Destalado
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Esta sección requiere que seas capaz de resolver sistemas de ecuaciones “grandes”. Estarás utilizando las técnicas matriciales de la Sección 3.6. Se le anima a usar tecnología como una calculadora gráfica o Sage.
Como vimos en la Sección 3.5, una parte importante de la teoría de juegos es el proceso de traducir un juego a una forma que podamos analizar.
Cada jugador elige un número\(1\) -\(5\). Si los dos números no difieren en\(1\), entonces cada jugador agrega su propio número a su puntaje. Si los dos números difieren en\(1\), entonces el jugador con el número menor suma ambos números a su puntuación; el jugador con el número más alto no obtiene nada. (De los Themas Metamagical de Douglas Hofstadter.)
Por ejemplo, supongamos que en la ronda uno el Jugador 1 elige\(4\); el Jugador 2 elige\(4\). Cada jugador mantiene su propio número. El puntaje es ahora\(4\) -\(4\). En la siguiente ronda, el Jugador 1 elige\(2\), el Jugador 2 elige\(5\). El marcador ahora sería de\(6\) -9. En la tercera ronda elige el Jugador 1\(4\), el Jugador 2 elige\(5\). Ahora el Jugador 1 obtiene ambos números, haciendo el marcador\(15\) -\(9\).
Elige un oponente y juega Undercut varias veces. Lleve un registro de los resultados.
Después de jugar a Undercut con un rival, intenta idear una buena estrategia.
Apenas de jugar a Undercut varias veces, ¿puedes sugerir una estrategia para el Jugador 1? ¿Y para el Jugador 2? Por ejemplo, ¿qué número (s) deberías tocar con mayor frecuencia/con menos frecuencia, o importa? ¿Hay números que nunca deberías jugar? ¿Este juego parece justo, o uno de los jugadores parece tener ventaja? Explica tus respuestas.
Como hemos visto antes, una matriz de pago puede ayudar a analizar un juego.
Cree una matriz de pago para Undercut. Tenga en cuenta que sus ganancias deben tener una puntuación para cada jugador.
¿Es este un juego de suma cero? Explique.
¿Pareciera haber un equilibrio de estrategia puro para este juego? Explique.
Supongamos que vamos a jugar a Undercut repetidamente. Para cuando tú y tu oponente terminen de jugar, ¿qué debería significar ganar el juego?
¿Cómo podríamos determinar un “ganador” para Undercut después de jugar varias veces?
Lo más probable es que dijeras que alguien ganará el juego si tiene más puntos. De hecho, probablemente no nos importa si el puntaje final es\(10\)\(12\) -o\(110\) -\(112\). En cualquier caso, gana el Jugador 2. Ya que vamos a jugar a este juego varias veces, sí nos importa la diferencia de puntos. Por ejemplo, una puntuación de\(5\) -\(1\) sería mejor para el Jugador 1 que\(5\) -\(3\). Entonces pensemos en el juego en términos de la diferencia de puntos entre los jugadores en un juego dado. A esto se le llama la ganancia neta. Por ejemplo, con puntuación de\(5\) -\(1\), el Jugador 1 tendría una ganancia neta de\(4\).
Calcula la ganancia neta para el Jugador 1 para cada una de las tres rondas en Ejemplo\(3.7.1\) en el inicio de esta sección.
Crea una nueva matriz de pago para Undercut que usa la ganancia neta de los jugadores para los vectores de pago.
¿Esto es ahora un juego de suma cero? Explique.
El método de usar la ganancia neta para describir los beneficios a cada jugador debería ser familiar a partir de algunos de los ejemplos realmente tempranos en los que convertimos vectores de pago de suma constante en vectores de suma cero. ¡Pero ten en cuenta que la forma original de este juego ni siquiera era un juego de suma constante! Lo que realmente estamos haciendo aquí es pensar en nuestras ganancias no como puntos, sino una victoria o pérdida relativa a nuestro oponente. Ahora que hemos rebautizado a Undercut como un juego de suma cero, podemos aplicar nuestros métodos para resolver el juego que hemos visto en este capítulo.
¿Hay un equilibrio de estrategia puro para este juego? Explique.
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En lugar de mirar cada opción, podría comparar los valores para las estrategias puras de máximo/minimax.
Este juego tiene una propiedad adicional que ayudará a simplificar nuestro análisis. Este juego es simétrico, lo que significa que el juego se ve igual para los Jugadores 1 y 2.
Dar un ejemplo de otro juego que es simétrico. Dé un ejemplo de un juego que no sea simétrico.
¿Cuál es la rentabilidad esperada para un juego simétrico? Explica tu respuesta.
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Podrías pensar si es posible que un jugador tenga ventaja en un juego simétrico.
Ojalá, determinaste que no hay un equilibrio de estrategia puro para Undercut. Así, nos gustaría encontrar un equilibrio de estrategia mixta. Como se trata de un\(5 \times 5\) juego, no podemos usar nuestra solución gráfica. Tendremos que confiar en nuestra solución de valor esperado. Queremos decidir con qué probabilidad debemos jugar cada número. Dejadas\(a, b, c, d, e\) ser las probabilidades con las que el Jugador 2 juega 1-5, respectivamente. Por ejemplo, si el Jugador 1 juega una estrategia pura de\(2\), entonces el valor esperado para el Jugador 1,\(E_1(2)\text{,}\) es\(-3a+0b+5c-2d-3e\text{.}\)
Anota las cinco ecuaciones que dan el valor esperado del Jugador 1 para cada una de las estrategias puras del Jugador 1.
En Ejercicio\(3.7.12\), deberías haber determinado que dado que se trata de un juego simétrico, el valor esperado para cada Jugador debería ser\(0\). Modifique sus ecuaciones para incluir esta información. Es importante reconocer que este paso simplifica enormemente nuestro trabajo para el método del valor esperado ya que no necesitamos establecer los valores esperados iguales entre sí. SIN EMBARGO, ¡SOLO podemos hacer esto ya que sabemos que el juego es simétrico!
Si usamos que el juego es simétrico, y de ahí que el valor esperado del juego para cada jugador debe ser\(0\) ya que ninguno de los jugadores puede tener una ventaja sobre el otro, no necesitamos establecer las ecuaciones iguales entre sí. No podíamos usar este método antes ya que no teníamos forma de conocer el valor esperado de un juego general.
Ahora tenemos cinco ecuaciones y cinco incógnitas. Hay una sexta ecuación: sabemos que las probabilidades deben sumar\(1\). ¡Ya podemos resolver para la estrategia de equilibrio!
Utilizar matrices para resolver el sistema resultante de seis ecuaciones. Dale el equilibrio de estrategia mixta para el Jugador 2. ¿Cuál es la estrategia mixta para el Jugador 1?
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¿Debería ser diferente a la estrategia para el Jugador 2?
En base a tu respuesta a Ejercicio\(3.7.15\), ¿cuál (s) número (s) deberías jugar con más frecuencia? ¿Cuál deberías tocar menos? ¿Hay algún número que nunca deberías tocar? Compara la solución matemática con tu solución conjeturada para el ejercicio\(3.7.2\). ¿Hay una ventaja en conocer la solución matemática?
Ahora has resuelto un juego de dos personas bastante complejo. Intenta jugarlo con tus amigos y familiares. Puede ser difícil (o incluso imposible) jugar al azar con las probabilidades exactas. También es poco probable que tu oponente también esté jugando la estrategia de equilibrio, pero ¿puedes usar la solución para asegurar una ventaja, o al menos asegurar que tu oponente no tiene ventaja? ¿Puedes ver la diferencia entre una solución teórica exacta a un juego, y una estrategia práctica para jugar el juego? En el siguiente capítulo, veremos aún más diferencias entre soluciones teóricas y prácticas a un juego.