1.2: Procedimientos directos e inversos
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Todos aprendemos a calcular —con números, con símbolos, con funciones, etc. Pero puede que no nos demos cuenta de que la mayoría de los procedimientos de cálculo vienen en pares.
- Primero aprendemos una técnica directa, determinista, de giro de manijas, donde las respuestas son fáciles de producir (como con la suma, o la multiplicación, o la elaboración de poderes, o multiplicando paréntesis en álgebra, o diferenciando).
- Entonces tratamos de trabajar hacia atrás, o de “deshacer” esta operación directa (como con la resta, o división, o encontrar raíces, o factorizar, o integrar). Este procedimiento inverso requiere que uno sea completamente fluido en el procedimiento directo correspondiente; pero es mucho más exigente, en que se tiene que hacer malabarismos con las posibilidades a medida que se va, para poder adentrarse en la respuesta requerida.
Dominar los procedimientos inversos requiere una sorprendente cantidad de tiempo y esfuerzo. Y debido a que son más difíciles de dominar, fácilmente pueden quedar descuidadas. Incluso donde reciben mucho tiempo, hay aspectos de los procedimientos inversos que tienden a pasar desapercibidos.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden completar los dígitos faltantes en esta corta multiplicación?
\(\begin{array}{r}{\square 6} \\ { \times \quad \square} \\ \hline \square 28 \\ \hline\end{array}\)
A uno le gustaría que los estudiantes no solo dominaran la operación directa de multiplicar dígitos de manera efectiva, sino que también notaran que el procedimiento inverso de
“identificar los múltiplos de un entero dado que dan lugar a una salida especificada”
depende de
el\(\text{HCF}\) del multiplicador y la base\((10)\) del sistema numérico.
- Multiplicar por\(1, 3, 7,\) o\(9\) induce un mapeo uno a uno en el conjunto de diez dígitos\(0–9\); por lo que un problema inverso como "\(7 \times \square\)termina en\(6\)" tiene solo una solución digital.
- Multiplicar por\(2, 4, 6,\) o\(8\) induce un mapeo de dos a uno sobre el conjunto de dígitos pares (múltiplos de\(2\)); por lo que un problema inverso como "\(6 \times \square\)termina en\(4\)" tiene dos dígitos-soluciones, y un problema inverso como "\(6 \times \square\)termina en\(3\)" no tiene dígito- soluciones.
- Multiplicar por\(5\) induce un mapeo de cinco a uno en los múltiplos (\(0\)y\(5\)) de\(5\), por lo que un problema inverso como\(0\) "\(5 \times \square\)termina en" tiene cinco soluciones digitales y un problema inverso como "\(5 \times \square\)termina en\(3\)" no tiene soluciones digitales en absoluto.
- Multiplicar por\(0\) induce una asignación de diez a uno sobre los múltiplos de\(0\) (es decir\(0\)); entonces un problema inverso como "\(0 \times \square\)termina en\(0\)" tiene diez soluciones digitales y un problema inverso como "\(0 \times \square\)termina en\(3\) (o cualquier dígito que no sea\(0\) )” no tiene soluciones digitales en absoluto.
El siguiente problema muestra —en un entorno muy sencillo— lo esquivos que pueden ser los problemas inversos. Aquí, en lugar de que se nos pida realizar un cálculo directo, se dan las reglas y la respuesta, y simplemente se nos pide que inventemos un cálculo que dé la salida especificada.
(a) En el “\(24\)juego” se le dan cuatro números. Tu trabajo es usar cada número una vez, y combinar los cuatro números usando tres cualquiera de las cuatro operaciones aritméticas básicas, usando la misma operación más de una vez si lo deseas, y tantos corchetes como quieras (pero nunca concatenando números diferentes, como “\(3\)” y “\(4\)” para hacer” \(34\)”). Si los números dados son\(3, 3, 4, 4\), entonces uno ve inmediatamente\(3 \times 4 + 3 \times 4 = 24\). Con\(3, 3, 5, 5\) él puede tomar un poco más de tiempo, pero sigue siendo bastante sencillo. Sin embargo, puede resultarle más desafiante hacer\(24\) de esta manera:
(i) usando los cuatro números\(3, 3, 6, 6\)
ii) utilizando los cuatro números\(3, 3, 7, 7\)
iii) utilizando los cuatro números\(3, 3, 8, 8\)
(b) Supongamos que restringimos los números a usar cada vez a “cuatro\(4\) s”\((4,4,4,4)\), y cambiamos el objetivo de “make\(24\)”, a “make each answer from\(0–10\) using exactly four\(4\) s”.
(i) ¿Cuál de los números\(0–10\) no se puede hacer?
ii) ¿Qué pasa si se permite el uso de cuadratura y raíces cuadradas, así como las cuatro operaciones básicas? ¿Cuál es el primer entero inaccesible?
Calcular girando el mango determinísticamente (como con la suma, o multiplicación, o multiplicando corchetes, o diferenciando) es una habilidad valiosa. Pero tales procedimientos directos suelen ser solo el comienzo. El uso de las matemáticas y la resolución de problemas generalmente dependen de los procedimientos inversos correspondientes, donde se necesita cierta cantidad de malabares y perspicacia para trabajar hacia atrás (como con la resta, o división, o factorización, o integración). Por ejemplo, en aplicaciones de cálculo, el principal reto es resolver ecuaciones diferenciales (un problema inverso) más que diferenciar funciones conocidas.
El problema 14 captura el espíritu de esta idea en el contexto aritmético más simple posible: se da la respuesta requerida, y tenemos que encontrar cómo (o si) se puede generar esa respuesta. Encontraremos ejemplos más interesantes de este tipo a lo largo del resto de la colección.
1.2.1: Factorización
a) i) Ampliar\((a + b)^{2}\) y\((a + b)^{3}\).
(ii) Sin hacer más trabajo, escribir las formas ampliadas de\((a + b)^{2}\) y\((a + b)^{3}\).
b) Factorizar
(i)\(x^2 + 2x + 1\)
ii)\(x^{4} -2x^{2} + 1\)
iii)\(x^{6} -3x^{4} + 3x^{2} -1\)
c) i) Ampliar\((a-b)(a+b)\).
ii) Utilizar (c) i) y (a) (i) para anotar (sin trabajo extra) la forma ampliada de
\((a-b-c)(a+b+c)\)
y de
\((a-b+c)(a+b-c)\)
d) Factorizar\(3x^{2} + 2x - 1\)