1.3: Aritmética estructural

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Siempre que la respuesta a una pregunta resulte inesperadamente agradable, uno debería preguntarse si esto es un accidente, o si hay alguna explicación que quizás debería haber llevado a uno a esperar tal resultado. Por ejemplo:

Exactamente\(25\) de los enteros hasta\(100\) son números primos — y\(25\) es exactamente una cuarta parte de\(100\). Este es sin duda un hecho bellamente memorable. Pero es una casualidad numérica, sin explicación matemática oculta.
\(11\)y\(101\) son números primos. ¿Es esta tal vez una forma de generar muchos números primos?

\(11, 101, 1001, 10 001, 100 001, . . .?\)

Al principio puede ser tentador pensar así —hasta que, es decir, recuerdes lo que encontraste en el Problema 6 (a) (iii).

Problema 16

Escriba los primeros\(12\) o más poderes de\(4\):

\(4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, ...\)

Ahora crea dos secuencias:

la secuencia de dígitos finales:\(4, 6, 4, 6, 4, 6, . . .\)

la secuencia de dígitos iniciales:\(4, 1, 6, 2, 1, 4, 1, 6, . . .\)

Ambas secuencias parecen consistir en un solo “bloque”, que se repite una y otra vez para siempre.

a) ¿Cuánto dura el aparente bloque repetitivo para la primera secuencia? ¿Cuánto dura el aparente bloque repetitivo para la segunda secuencia?

(b) Puede que no quede claro de inmediato si alguna de estas secuencias realmente se repite para siempre. Tampoco puede quedar claro si las dos secuencias son iguales, o si una es bastante diferente de la otra. ¿Se puede dar una prueba simple de que una de estas secuencias se repite, es decir, se repite para siempre?

Problema 17

El\(4\) por\(4\) “tabla de multiplicación” a continuación es completamente familiar.

\(\begin{array} &1&2&3&4 \\ 2&4&6&8 \\ 3&6&9&12 \\ 4&8&12&16\end{array}\)

¿Cuál es el total de todos los números en el\(4\) por\(4\) cuadrado? ¿Cómo se debe escribir esta respuesta de una manera que haga evidente lo total?