1.1: Aritmética Mental y Álgebra
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1.1.1: Tablas de Tiempos
Usando solo aritmética mental:
(a) Calcula por ti mismo, y aprende de memoria, las tablas de tiempos hasta\(9 \times 9\).
b) Calcular instantáneamente:
(i)\(0.004 \times 0.02\)
ii)\(0.0008 \times 0.07\)
iii)\(0.007 \times 0.12\)
iv)\(1.08 \div 1.2\)
(v)\((0.08)^{2}\)
Las tablas de multiplicación son importantes por muchas razones. Nos permiten apreciar directamente, de primera mano, la eficiencia de nuestro milagroso sistema de valor posicional —en el que representar cualquier número, e implementar cualquier operación, se reducen a un dominio combinado de
(i) el comportamiento aritmético de los diez dígitos\(0–9\), y
(ii) las leyes de índice para las facultades de\(10\).
La fluidez en la aritmética mental y escrita deja a la mente libre para notar y apreciar los patrones y estructuras más profundos que pueden estar acechando justo debajo de la superficie.
1.1.2: Cuadrados, Cubos y Poderes de 2
El álgebra comienza en serio cuando comenzamos a calcular con expresiones que involucran poderes. Como se ve en el lenguaje que usamos para cuadrados y cubos (es decir, poderes segundo y tercero), estos poderes se interpretaron geométricamente durante cientos y miles de años —de manera que los poderes superiores, más allá del tercer poder, fueron vistos como de alguna manera irreales (como la 4ta dimensión). Nuestra notación algebraica uniforme que abarca todos los poderes surgió en el siglo XVII (con Descartes (1596—1650)). Pero antes de que uno comience a trabajar con poderes algebraicos, primero uno debe apuntar a lograr una fluidez completa en el trabajo con poderes numéricos.
(a) Calcular por aritmética mental (usando lápiz solo para registrar resultados), luego aprender de memoria:
(i) los cuadrados de los enteros positivos: primero hasta\(12^{2}\); luego a\(31^{2}\).
(ii) los cubos de enteros positivos hasta\(11^{3}\).
iii) las facultades de\(2\) hasta\(2^{10}\).
b) ¿Cuántas plazas hay: i)\(\lt 1000\)? ii)\(\lt 10,000\)? iii)\(\lt 100,000\)?
c) ¿Cuántos cubos hay: i)\(\lt 1000\)? ii)\(\lt 10,000\)? iii)\(\lt 100,000\)?
d) i) ¿Qué poderes de\(2\) son cuadrados? ii) ¿Qué poderes de\(2\) son cubos?
(e) Encontrar el cuadrado más pequeño mayor\(1\) que eso también es un cubo. Encuentra el siguiente más pequeño.
Los poderes evaluadores, y las leyes de índice asociadas, constituyen un ejemplo de operación directa. Para cada operación directa, necesitamos pensar cuidadosamente sobre la operación inversa correspondiente —aquí “extrayendo raíces”. En particular, hay que tener claro la distinción entre el hecho de que la ecuación\(x^{2} = 4\) tiene dos soluciones diferentes, mientras que solo\(\sqrt{4}\) tiene un valor (a saber\(2\)).
(a) La operación de “cuadratura” es una función: toma un solo número real\(x\) como entrada, y entrega un número real definido\(x^{2}\) como salida.
- Cada número positivo surge como una salida (“es el cuadrado de algo”).
- Ya que\(x^{2} = (-x)^{2}\), cada salida (distinta a\(0\)) surge de al menos dos entradas diferentes.
- Si\(a^{2} = b^{2}\), entonces\(0 = a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\), así sea\(a=b\), o\(a= -b\). De ahí que no haya dos entradas positivas que tengan el mismo cuadrado, por lo que cada salida (distinta a\(0\)) surge exactamente de dos entradas (una positiva y otra negativa).
- De ahí que cada salida positiva\(y\) corresponda a una sola entrada positiva, llamada\(\sqrt{y}\).
Encuentra:
(i)\(\sqrt{49}\)
ii)\(\sqrt{144}\)
iii)\(\sqrt{441}\)
iv)\(\sqrt{169}\)
(v)\(\sqrt{196}\)
vi)\(\sqrt{961}\)
vii)\(\sqrt{96,100}\)
b) Dejar\(a \lt 0\) y\(b \lt 0\). Entonces\(\sqrt{ab} \lt 0\), y\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} \lt 0\), así ambas expresiones son positivas. Además, tienen la misma plaza, ya que
\((\sqrt{a b})^{2}=a b=(\sqrt{a})^{2} \cdot(\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^{2}\)
\(\therefore \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
Utilice este hecho para simplificar lo siguiente:
(i)\(\sqrt{8}\)
ii)\(\sqrt{12}\)
iii)\(\sqrt{50}\)
iv)\(\sqrt{147}\)
(v)\(\sqrt{288}\)
vi)\(\sqrt{882}\)
c) [Esta parte requiere algún cálculo escrito.] Las expresiones exactas que involucran raíces cuadradas ocurren en muchas partes de las matemáticas elementales. Aquí nos centramos en un solo ejemplo, a saber, el pentágono regular. Supongamos que un pentágono regular\(ABCDE\) tiene lados de longitud\(1\).
(i) Demostrar que la diagonal\(AC\) es paralela al costado\(ED\).
(ii) Si\(AC\) y\(BD\) reunirse en\(X\), explicar por qué\(AXDE\) es un rombo.
(iii) Demostrar que los triángulos\(ADX\) y\(CBX\) son similares.
(iv) Si\(AC\) tiene longitud\(x\), establezca una ecuación y encuentre el valor exacto de\(x\).
(v) Encontrar la longitud exacta de\(BX\).
(vi) Demostrar que los triángulos\(ABD\) y\(BXA\) son similares.
(vii) Encontrar los valores exactos de\(\cos 36^{\circ}\),\(\cos 72^{\circ}\).
(viii) Encontrar los valores exactos de\(\sin 36^{\circ}\),\(\sin 72^{\circ}\).
Todo cálculo con raíces cuadradas depende de que “\(\sqrt{\text{ }}\)es una función”. Es decir: dado\(y \gt 0\),
\(\sqrt{y}\)denota un solo valor — el número positivo cuyo cuadrado es\(y\).
La ecuación\(x^{2} = y\) tiene dos raíces, a saber\(x = \pm \sqrt{y}\); sin embargo,\(\sqrt{y}\) tiene solo un valor (que es positivo).
Las matemáticas del pentágono regular son importantes —y generalmente se descuidan—. Se incluye aquí para subrayar la forma en que surgen naturalmente expresiones exactas que involucran raíces cuadradas.
En el Problema 3 (c), las partes (iii) y (vi) requieren de uno para identificar triángulos similares usando ángulos. El hecho de que “los lados correspondientes sean entonces proporcionales” conduce a una ecuación cuadrática —y por lo tanto a raíces cuadradas.
Las partes (vii) y (viii) ilustran el hecho de que herramientas básicas, como
- la identidad trigonométrica\(\cos^{2} \theta + \sin2 \theta = 1\)
- la Regla del Coseno, y
- la regla sinusoidal
debe ser parte de la acción en el comercio de uno. Observe que los valores exactos para
\(\cos 36^{\circ}\),\(\cos 72^{\circ}\),\(\sin 36^{\circ}\), y\(\sin 72^{\circ}\)
también determinan los valores exactos de
\(\sin{54^{\circ}} = \cos{36^{\circ}}, \sin{18^{\circ}} = \cos{72^{\circ}}, \cos{54^{\circ}} = \sin{36^{\circ}}, \cos{18^{\circ}} = \sin{72^{\circ}}\)
1.1.3: Primes
a) Factorizar\(12,345\) como producto de primos.
(b) Utilizando únicamente la aritmética mental, hacer una lista de todos los números primos hasta\(100\).
c) i) Encontrar un número primo que sea uno menos que un cuadrado.
(ii) Encontrar otro primo de este tipo.
Hay números\(4\) primos menores que\(10\); números\(25\) primos menores que\(100\); y números\(168\) primos menores que\(1000\).
Se incluye el problema 4 c) para enfatizar un mensaje frecuentemente descuidado:
Las palabras y las imágenes son parte de la forma en que nos comunicamos.
Pero la mayoría de nosotros no podemos calcular con palabras e imágenes.
Para hacer uso de las matemáticas, debemos traducir de manera rutinaria las palabras en símbolos. Por ejemplo, los números desconocidos necesitan ser representados por símbolos, y los puntos en un diagrama geométrico deben etiquetarse correctamente, antes de que podamos comenzar a calcular, y a razonar, de manera efectiva.
1.1.4: Factores comunes y múltiplos comunes
Para sumar dos fracciones necesitamos encontrar un múltiplo común, o el\(\text{LCM}\), de los dos denominadores dados. Para cancelar fracciones, o para simplificar las relaciones, necesitamos poder detectar factores comunes y encontrar\(\text{HCF}\) s. Se dice que dos enteros positivos\(a\),\(b\) que no tienen factores comunes (positivos) distintos de\(1\) (es decir, con\(HCF\left(a,b\right) = 1\)) son relativamente primos, o coprime.
[Este problema requiere una mezcla de pensamiento serio y prueba escrita.]
(a) Elijo seis enteros entre\(10\) y\(19\) (inclusive).
(i) Demostrar que algún par de enteros entre mis seis elegidos debe ser relativamente primo.
ii) ¿Es cierto también que algún par debe tener un factor común?
b) Elijo seis enteros en los noventa (de\(90–99\) inclusive).
(i) Demostrar que algún par entre mis enteros elegidos debe ser relativamente primo.
ii) ¿Es cierto también que algún par debe tener un factor común?
(c) Elijo\(n + 1\) enteros de una serie de enteros\(2n\) consecutivos.
(i) Demostrar que algún par entre los enteros elegidos debe ser relativamente primo.
ii) ¿Es cierto también que algún par debe tener un factor común?
1.1.5: El Algoritmo Euclidiana
Las matemáticas escolares dan la impresión de que para encontrar el\(\text{HCF}\) de dos enteros\(m\) y\(n\), primero se deben obtener las factorizaciones de poder principal de\(m\) y de\(n\), y luego se puede\(\text{HCF}\) extraer el de estas dos expresiones. Esto está bien para principiantes. Pero la aritmética implica sutilezas inesperadas. Resulta que, a medida que los números se hacen más grandes, factorizar números enteros rápidamente se vuelve extremadamente difícil —una dificultad que se explota en los sistemas de cifrado modernos. (Las limitaciones de cualquier método que dependa de encontrar primero la factorización del poder principal de un número entero deberían haber quedado claras en el Problema 4 (b), donde es muy fácil imaginar que eso\(91\) es primo, y en el Problema 4 (c) (ii), donde los estudiantes piensan regularmente que\(143\), o que\(323\) sean primos.)
De ahí que nos gustaría tener una forma sencilla de encontrar el\(\text{HCF}\) de dos enteros sin tener que factorizar primero cada uno de ellos. Eso es lo que proporciona el algoritmo euclidiano. Veremos esto con más detalle más adelante. En tanto aquí hay un primer sabor.
(a) (i) Explicar por qué cualquier entero que sea un factor (o un divisor) de ambos\(m\) y también\(n\) debe ser un factor de su diferencia\(m – n\), y de su suma\(m + n\).
ii) Demostrar que
\(HCF\left(m, n\right) = HCF\left(m - n, n\right)\).
(iii) Usa esto para calcular en tu cabeza\(HCF\left(1001,91\right)\) sin factorizar ninguno de los números.
b) i) Demostrar que:\(HCF\left(m,m + 1\right) = 1\).
(ii) Encontrar\(HCF\left(m, 2m + 1\right)\).
(iii) Encontrar\(HCF\left(m^{2}+1, m - 1\right)\).
1.1.6: Fracciones y Proporción
¿Cuál es mayor:\(17\%\) de diecinueve millones, o\(19\%\) de diecisiete millones?
a) Evaluar
\(\left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{3} \right) \left(1 + \frac{1}{4} \right) \left(1 + \frac{1}{5} \right)\)
b) Evaluar
\(\sqrt{1 + \frac{1}{2}} \times \sqrt{1 + \frac{1}{3}} \times \sqrt{1 + \frac{1}{4}} \times \sqrt{1 + \frac{1}{5}} \times \sqrt{1 + \frac{1}{6}} \times \sqrt{1 + \frac{1}{7}}\)
(c) Escribimos el producto "\(4 \times 3 \times 2 \times 1\)" como ""\(4!\) "(y lo leemos como"\(4 \text{ factorial}\) “). Usando solo lápiz y papel, ¿qué tan rápido puedes calcular el número de semanas en\(10!\) segundos?
La serie “DIN A” de tamaños de papel está determinada por dos condiciones. El requisito básico es que todos los rectángulos DIN A sean similares; la segunda condición es que cuando plegamos un tamaño dado exactamente por la mitad, obtengamos el siguiente tamaño más pequeño. De ahí
- una hoja de papel de tamaño A3 se pliega por la mitad para dar una hoja de tamaño A4, que es similar a A3; y
- una hoja de tamaño A4 se pliega por la mitad para dar una hoja de tamaño A5; etc.
(a) Encontrar la relación constante
\(r = “(\text{longer side length}) : (\text{shorter side length})”\)
para todos los tamaños de papel DIN A.
(b) (i) Para agrandar el tamaño A4 al tamaño A3 (por ejemplo, en una fotocopiadora), cada longitud se agranda por un factor de\(r\). ¿Cuál es el “factor de ampliación” para obtener de tamaño A3 a tamaño A4?
(ii) Para “ampliar” el tamaño A4 al tamaño A5 (por ejemplo, en una fotocopiadora), cada longitud se “agranda” por un factor de\(\frac{1}{r}\). ¿Cuál es el factor de ampliación para obtener de tamaño A5 a tamaño A4?
(a) En una venta que ofrece “\(15\%\)descuento en todos los precios marcados” compro tres artículos: un par de zapatillas con un precio de\(£ 57.74\), una camiseta a un precio de\(£ 17.28\), y un yoyo con un precio de\(£ 4.98\). Usando solo la aritmética mental, calcula cuánto debo esperar pagar en conjunto.
(b) Algunos minoristas muestran los precios sin agregar el IVA —o “impuesto sobre las ventas ”— en\(20\%\) (porque sus principales clientes necesitan conocer el precio antes del IVA). Supongamos que los precios en la parte (a) son los precios antes de agregar el IVA. Entonces, cada precio debe ajustarse de dos maneras: sumando el IVA y restando el descuento. ¿Debo agregar primero el IVA y luego calcular el descuento? ¿O debo aplicar primero el descuento y luego agregar el IVA?
c) Supongamos que el descuento en la parte b) ya no es\(15\%\). ¿En qué nivel de descuento cancelaría exactamente la adición del IVA\(20\%\)?
a) Utilizando únicamente la aritmética mental:
i) Determinar cuál es mayor:
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\)o\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\)
ii) ¿Cómo se relaciona esta cuestión con la observación que\(10 \lt 12\)?
b) [Esta parte requerirá algún cálculo y análisis escritos.]
(i) Para los números reales positivos\(x\), compare
\(\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+5}\)y\(\frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+4}\)
ii) ¿Qué sucede en la parte (i) si\(x\) es negativo?
1.1.7: Surds
(a) Amplíe y simplifique en su cabeza:
(i)\(\left(\sqrt{2} + 1\right)^{2}\)
ii)\(\left(\sqrt{2} - 1\right)^{2}\)
iii)\(\left(\sqrt{2} + 1\right)^{3}\)
b) Simplificar:
(i)\(\sqrt{10 + 4\sqrt{6}}\)
ii)\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)
iii)\(\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\)
iv)\(\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}\)
Las expresiones que ocurren en los ejercicios para desarrollar fluidez en el trabajo con surds a menudo parecen arbitrarias. Pero puede que no lo sean. La aritmética de surds surge naturalmente: por ejemplo, algunas de las expresiones del problema anterior ya han aparecido en el Problema 3 (c). En particular, las surdas se presentarán siempre que se utilice el Teorema de Pitágoras para calcular longitudes en geometría, o cuando una proporción surgida de triángulos similares nos requiera resolver una ecuación cuadrática. Entonces la aritmética surd es importante. Por ejemplo:
- Un octágono regular con longitud lateral\(1\) puede estar rodeado por un cuadrado de lado\(\sqrt{2} + 1\) (que también es el diámetro de su círculo); por lo que el área del octágono regular es igual\(\left(\sqrt{2} + 1 \right)^{2} - 1\) (el cuadrado menos las cuatro esquinas).
- \(\sqrt{2} - 1\)características repetidas veces en el intento de aplicar el algoritmo euclidiano, o antofiresis, para expresarse\(\sqrt{2}\) como una “fracción continuada”.
- \(\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}\)puede parecer un surd repetido arbitrario y poco interesante, pero de hecho es muy interesante y ya ha aparecido como\(4\sin 36^{\circ}\) en el Problema 3 (c).
- Una de las construcciones de regla y brújulas más simples para un pentágono regular\(ABCDE\) (ver Problema 185) comienza con un círculo de radio\(2\)\(O\), centro y un punto\(A\) en el círculo, y en tres pasos construye el siguiente punto\(B\) en el círculo, donde\(\underline{A B}\) es un borde del pentágono regular inscrito, y
\(\underline{A B}=\sqrt{10-2 \sqrt{5}}\)