1.4: Teorema de Pitágoras
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A partir de aquí la idea de “habilidades mentales” tiende a referirse a formas de pensar más que a hacer todo en tu cabeza.
El teorema de Pitágoras es uno de los primeros resultados verdaderamente sorprendentes en matemáticas escolares: es difícil ver por qué alguien pensaría en “sumar los cuadrados de los dos lados más cortos”. A pesar de la aparente atribución a una persona nombrada (Pitágoras), el origen del teorema, y su prueba, no están claros. Ciertamente había alguien llamado Pitágoras (alrededor del 500 a.C.). Pero las principales referencias antiguas a él fueron escritas muchos cientos de años después de su muerte, y no son muy confiables. La verdad es que sabemos muy poco de él, o de su teorema. La prueba en Problema 18 a continuación apareció en el Libro I de los trece libros de Elementos de Euclides (escritos alrededor del 300 a.C. — doscientos años después de Pitágoras). Mucho de lo que se dice (erróneamente) que proviene de Pitágoras se atribuye en algunas fuentes a los pitagóricos, término flojo que se refiere a cualquier filósofo en lo que se ve como una tradición que se remonta a Pitágoras. (Esto es un poco como interpretar cualquier cosa llamada cristiana en los últimos 2000 años como derivada directamente de Cristo mismo).
Las tablillas de arcilla de alrededor del 1700 a.C sugieren que algunos babilonios deben haber conocido el “Teorema de Pitágoras”; y es difícil ver cómo se podría conocer el resultado sin tener algún tipo de justificación. Pero no tenemos pruebas ni de una declaración clara, ni de una prueba, en ese momento. También hay textos chinos que hacen referencia al Teorema de Pitágoras (o como lo llaman, “Gougu”), que se cree que se originaron antes de Cristo —aunque la primera edición sobreviviente es del siglo XIII d.C. Incluso hay un librito interesante de Frank Swetz, con el título irónico ¿Era chino Pitágoras? .
La historia puede estar confusa, pero el resultado —y su prueba euclidiana— encarna algo de la sorpresa y elegancia de las mejores matemáticas. La prueba euclidiana se incluye aquí en parte porque es una que puede, y debe, ser recordada (o mejor dicho, reconstruida, una vez que uno se da cuenta de que realmente solo hay una manera posible de dividir el “cuadrado sobre la hipotenusa” de la manera requerida). Pero, como veremos, el resultado también vincula al cálculo mental exacto con surdes, a la trigonometría, al familiar mnemotécnico “CAST”, a la idea de un “converse”, a sumas de dos cuadrados, y a triples pitagóricos.
1.4.1: Teorema de Pitágoras, trigonometría para ángulos especiales y CAST
Dejar\(\triangle ABC\) ser un triángulo en ángulo recto, con un ángulo recto en\(C\). Dibuja los cuadrados\(ACQP\)\(CBSR\),, y\(BAUT\) en los tres lados, externos a\(\triangle ABC\). Usa el diagrama resultante para demostrar en tu cabeza que el cuadrado\(BAUT\) en\(BA\) es igual a la suma de los otros dos cuadrados por:
- dibujando la línea a través de\(C\) perpendicular a\(AB\), para encontrarse\(AB\) en\(X\) y\(UT\) en\(Y\)
- observando que\(PA\) es paralelo a\(QCB\), de manera que\(\triangle ACP\) (la mitad del cuadrado\(ACQP\), con base\(AP\) y altura perpendicular\(AC\)) es igual en área a\(\triangle ABP\) (con base\(AP\) y la misma altura perpendicular)
- señalando que\(\triangle ABP\) es SAS-congruente a\(\triangle AUC\), y que\(\triangle AUC\) es igual en área a\(\triangle AUX\) (la mitad del rectángulo\(AUYX\), con base\(AU\) y altura\(AX\)).
- donde\(ACQP\) es igual en área a rectángulo\(AUYX\)
- de manera similar\(BCRS\) es igual en área a\(BTYX\).
La prueba en el Problema 18 es la prueba que se encuentra en el Libro 1 de los Elementos de Euclides, Proposición 47. A diferencia de muchas pruebas,
- está claro de qué depende la prueba (es decir, la congruencia del triángulo SAS, y el área de un triángulo), y
- revela exactamente cómo el cuadrado de la hipotenusa se\(AB\) divide en dos summands — uno igual al cuadrado encendido\(AC\) y otro igual al cuadrado encendido\(BC\).
(a) Utilizar el Teorema de Pitágoras en un cuadrado\(ABCD\) de lado\(1\) para mostrar que la diagonal\(AC\) tiene longitud\(\sqrt{2}\). Usa esto para calcular en tu cabeza los valores exactos de\(\sin{45^{\circ}}, \cos{45^{\circ}}, \tan{45^{\circ}}\).
(b) En un triángulo equilátero\(\triangle ABC\) con lados de longitud\(2\), unirse\(A\) al punto medio\(M\) de la base\(BC\). Aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar\(AM\). De ahí que ejercite en tu cabeza los valores exactos de\(\sin{30^{\circ}}, \cos{30^{\circ}}, \tan{30^{\circ}}, \sin{60^{\circ}}, \cos{60^{\circ}}, \tan{60^{\circ}}\).
(c) i) En el círculo unitario con centro en el origen\(O\):\((0, 0)\), marcar el punto de\(P\) manera que\(P\) se encuentre en el primer cuadrante, y de manera que\(OP\) forme un ángulo\(\theta\) con el\(x\) eje positivo (medido en sentido antihorario desde el\(x\) eje positivo). Explique por qué\(P\) tiene coordenadas (\(\cos{\theta}, \sin{\theta})\).
(ii) Ampliar las definiciones de\(\cos{\theta}\) y aplicar\(\sin{\theta}\) a los ángulos más allá del primer cuadrante, de manera que para cualquier punto\(P\) del círculo unitario, donde\(OP\) hace un ángulo\(\theta\) medido en sentido antihorario desde el\(x\) eje positivo, las coordenadas de\(P\) son\((\cos{\theta}, \sin{\theta})\). Verifique que las funciones resultantes\(\sin\) y\(\cos\) satisfagan:
- \(\sin\)y ambos\(\cos\) son positivos en el primer cuadrante,
- \(\sin\)es positivo y\(\cos\) negativo en el segundo cuadrante,
- \(\sin\)y ambos\(\cos\) son negativos en el tercer cuadrante, y
- \(\sin\)es negativo y\(\cos\) es positivo en el cuarto cuadrante.
(iii) Utilizar (a), (b) para calcular los valores exactos de\(\cos{315^{\circ}}, \sin{225^{\circ}}, \tan{210^{\circ}}, \cos{120^{\circ}}, \sin{960^{\circ}}, \tan{( -135^{\circ})}\).
d) Dado un círculo de radio\(1\), calcular el área exacta de un n -gon regular inscrito en el círculo:
(i) cuando\(n = 3\)
ii) cuando\(n = 4\)
iii) cuando\(n = 6\)
iv) cuando\(n = 8\)
(v) cuando\(n = 12\).
(e) Dado un círculo de radio\(1\), calcular el área de un n -gon regular circunscrito alrededor del círculo:
(i) cuando\(n = 3\)
ii) cuando\(n = 4\)
iii) cuando\(n = 6\)
iv) cuando\(n = 8\)
(v) cuando\(n = 12\).
Conocer los valores exactos de\(\sin, \cos\) y\(\tan\) para los ángulos especiales\(0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\) es como conocer las tablas de uno. En particular, permite evaluar mentalmente las funciones trigonométricas para ángulos relacionados en los cuatro cuadrantes (usando el mnemónico CAST —siendo C en el SE del círculo unitario, A en el cuadrante NE, S en el cuadrante NW y T en el cuadrante SW— para recordarnos qué funciones son positivas en cada cuadrante). Estos ángulos especiales surgen una y otra vez en conexión con triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares, octágonos regulares, dodecágonos regulares, etc., donde se puede usar lo que se sabe para calcular exactamente en geometría.
(a) Utilizar el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud exacta de la diagonal\(AC\) en un cuadrado\(ABCD\) de longitud lateral\(2\).
b)\(X\) Sea el centro de la plaza\(ABCD\) en la parte (a). Dibuja líneas\(X\) paralelas a los lados de\(ABCD\) y así divide el cuadrado grande en cuatro cuadrados más pequeños, cada uno de lado\(1\). Encuentra la longitud de las diagonales\(AX\) y\(XC\).
(c) Compara tus respuestas con las partes (a) y (b) y tu respuesta al Problema 3 (b) (i).
El teorema de Pitágoras tiene la clave para calcular distancias exactas en el plano. Para calcular distancias en la superficie de la Tierra se necesita una versión de Pitágoras para “triángulos rectos” en la esfera. Abordamos esto en el Capítulo 5.
1.4.2: Conversos y teorema de Pitágoras
Cada declaración matemática de la forma
“si. (Hipótesis H),
entonces.. (Consecuencia C)”
tiene una declaración inversa, a saber
“si C,
luego H”.
Si la primera afirmación es cierta, no hay razón a priori para esperar que su conversación sea cierta. Por ejemplo, la parte c) del Problema 25 a continuación demuestra que
“si un entero tiene la forma\(4k + 3\),
entonces no puede escribirse como la suma de dos cuadrados”.
No obstante, lo contrario de esta declaración
“si un entero no puede escribirse como una suma de dos cuadrados,
entonces tiene la forma\(4k + 3\)”
es falso — ya que 6 no se puede escribir como la suma de dos cuadrados.
A pesar de este contraejemplo, cada vez que probamos un resultado estándar, tiene sentido preguntarse si lo contrario también es cierto. Por ejemplo,
“si\(PQRS\) es un paralelogramo, entonces los ángulos opuestos son iguales:\( \angle P = \angle R\), y\( \angle Q = \angle S\)” (ver Problema 157 (ii)).
Sin embargo, es posible que no haya considerado la verdad (o no) de la declaración inversa:
Si\(ABCD\) es un cuadrilátero en el que los ángulos opuestos son iguales\(( \angle A = \angle C\) y\( \angle B = \angle D)\), ¿es cierto que\(ABCD\) tiene que ser un paralelogramo?
El siguiente problema te invita a probar lo contrario del Teorema de Pitágoras. No se debe usar la Regla del Coseno, ya que se trata de una generalización tanto del Teorema de Pitágoras como de su contrario.
\(ABC\)Déjese ser un triángulo. Utilizamos la convención de etiquetado estándar, mediante la cual el lado\(BC\) opuesto\(A\) tiene longitud\(a\), el lado\(CA\) opuesto\(B\) tiene longitud\(b\) y el lado\(AB\) opuesto\(C\) tiene longitud\(c\).
Demostrar que\(c^{2} = a^{2} + b^{2}\), si, entonces\(\angle BCA\) es un ángulo recto.
1.4.3: Triples pitagóricos
El ejemplo más simple de un triángulo en ángulo recto con lados de longitud entera viene dado por el triple familiar\(3, 4, 5\):
\(3^{2} + 4^{2} = 5^{2}\).
Cualquier triple entero de este tipo se llama triple pitagórico.
La clasificación de todos los triples pitagóricos es una deliciosa pieza de teoría elemental de números, que se incluye en este capítulo tanto porque el resultado merece ser memorizado, como porque (como el propio Teorema de Pitágoras) la prueba solo requiere de uno para hacer malabarismos con algunas ideas simples que deberían ser parte de la propia armería.
Los triples pitagóricos surgen en muchos contextos (por ejemplo, ver el texto después del Problema 180). La clasificación que se da aquí muestra que las triples pitagóricas forman una familia dependiendo de tres parámetros\(p, q, s\) (en la que s es simplemente un parámetro de “escalado”, por lo que los parámetros más importantes son\(p, q\)). Como calentamiento consideramos dos “subfamilias de un parámetro” relacionadas con la triple\(3, 4, 5\).
Supongamos\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) y eso\(b\),\(c\) son números enteros consecutivos.
(a) Demostrar que\(a\) debe ser impar — para que podamos escribirlo como\(a = 2m + 1\) para algún entero\(m\).
(b) Demostrar que\(c\) debe ser impar — para que podamos escribirlo como\(c = 2n + 1\) para algún entero\(n\). Encuentra una expresión para\(n\) en términos de\(m\).
El problema 22 revela el triple\((3,4,5)\) como la primera instancia\((m = 1)\) de una familia infinita de triples de un parámetro, que continúa
\((5,12,13) (m = 2), (7,24,25) (m = 3), (9,40,41) (m = 4),...,\)
cuyo término general es
\((2m + 1, 2m(m +1), 2m (m + 1) +1)\).
El triple\(3, 4, 5\) es también el primer miembro de una “familia infinita de un parámetro” bastante diferente de triples, lo que continúa
\((6,8,10), (9,12,15), ....\)
Aquí los triples son versiones escaladas del primer triple\((3, 4, 5)\).
En general, los factores comunes simplemente se interponen en el camino:
Si\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) y\(HCF(a,b) = s\), entonces\(s^{2}\) divide\(a^{2} + b^{2}\), y\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\); así\(s\) divide\(c\).
Y si\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) y\(HCF(b,c) = s\), entonces\(s^{2}\) divide\(c^{2} - b^{2} = a^{2}\), así\(s\) divide\(a\).
De ahí que un triple pitagórico típico tenga la forma\((sa, sb, sc)\) para algún factor de escala\(s\), donde\((a, b, c)\) es un triple de enteros, no hay dos de los cuales tienen un factor común: se dice que cualquier triple es primitivo (es decir, básico —como números primos). Cada triple pitagórico es un múltiplo entero de algún triple pitagórico primitivo. El siguiente problema te invita a encontrar una fórmula simple para todos los triples pitagóricos primitivos.
\((a, b, c)\)Déjese ser un primitivo triple pitagórico.
(a) Demostrar eso\(a\) y\(b\) tener paridad opuesta (es decir, uno es impar, el otro par) — así que podemos suponer que\(a\) es impar y\(b\) es par.
b) Demostrar que
\(\left( \frac{b}{2} \right)^{2} = \left( \frac{c-a}{2} \right) \left( \frac{c+ a}{2} \right)\),
donde
\(HCF \left( \frac{c -a}{2}, \frac{c +a }{2}\right) = 1\)
y\(\frac{c-a}{2}, \frac{c+a}{2}\) tener paridad opuesta.
c) Llegar a la conclusión de que
\(\frac{c+a}{2} = p^{2}\)y\(\frac{c-a}{2} = q^{2}\)
donde\(HCF(p,q) = 1\) y\(p\) y\(q\) tener paridad opuesta, de modo que eso\(c = p^{2} + q^{2}, a = p^{2} - q^{2}, b = 2pq\).
(d) Comprobar que cualquier pareja que\(p, q\) tenga paridad opuesta y con\(HCF(p,q) = 1\) dé lugar a un primitivo triple pitagórico
\(c = p^{2} + q^{2}, a = p^{2} - q^{2}, b = 2pq\)
satisfactorias\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\).
Los tres enteros\(a = 3, b = 4, c = 5\) en el triple pitagórico\((3, 4, 5)\) forman una progresión aritmética: es decir,\(c - b = b - a\). Encuentra todas las triples pitagóricas\((a, b, c)\) que forman una progresión aritmética, es decir, para la cual\(c - b = b - a\).
1.4.4: Sumas de Dos Cuadrados
La clasificación de los triples pitagóricos nos dice precisamente qué cuadrados se pueden escribir como la suma de dos cuadrados. Pasamos ahora a la pregunta más amplia: “¿Qué enteros son iguales a la suma de dos cuadrados?”
a) ¿Cuál de los números primos se\( \lt 100\) puede escribir como la suma de dos cuadrados?
(b) Encontrar una manera fácil de escribir inmediatamente\((a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2})\) en el formulario\((x^{2} + y^{2})\). (Esto muestra que el conjunto de enteros que se pueden escribir como la suma de dos cuadrados es “cerrado” bajo multiplicación.)
(c) Demostrar que ningún entero (y por lo tanto ningún número primo) de la forma\(4k + 3\) puede escribirse como la suma de dos cuadrados.
d) El único número primo par puede escribirse claramente como una suma de dos cuadrados:\(2 = 1^{2} + 1^{2}\). Euler (1707—1783) demostró que cada número primo impar de la forma\(4k + 1\) puede escribirse como la suma de dos cuadrados exactamente de una manera. Encuentra todos los enteros\(\lt 100\) que se pueden escribir como una suma de dos cuadrados.
(e) Para qué enteros\(N \lt 100\) es posible construir un cuadrado de área\(N\), con vértices que tienen coordenadas enteras
En Problema 25 partes (a) y (d) había que decidir qué enteros se\(\lt 100\) pueden escribir como una suma de dos cuadrados como ejercicio de aritmética mental. En la parte (b) el hecho de que este conjunto de enteros esté cerrado bajo multiplicación resultó ser una aplicación de la aritmética de normas para números complejos. La parte (e) interpretó entonces las sumas de dos cuadrados geométricamente usando el Teorema de Pitágoras en la celosía cuadrada. Vale la pena dedicarse a estos ejercicios por su propio bien. Pero también puede ser de interés saber que escribir un entero como una suma de dos cuadrados es una cuestión matemática seria —y en más de un sentido—.
Gauss (1777—1855), en su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) dio un análisis completo de cuándo un entero puede ser representado por una 'forma cuadrática', como\(x^{2} + y^{2}\) (como en el Problema 25) o\(x^{2} - 2y^{2}\) (como en el Problema 54 (c) en el Capítulo 2).
Una pregunta completamente separada (a menudo atribuida a Edward Waring (1736—1798)) se refiere a qué enteros pueden expresarse como un poder\(k\) th, o como una suma de\(n\) tales poderes. Si restringimos al caso\(k = 2\) (es decir, cuadrados), entonces:
- Cuando\(n = 2\), Euler (1707—1783) demostró que los enteros que se pueden escribir como una suma de dos cuadrados son precisamente los de la forma
\(m^{2} \times p_{0} \times p_{1} \times p_{2} \times … \times p_{s}\)
donde\(p_{0} = 1\) o\(2\), y\(p_{1} \lt p_{2} \lt … \lt p_{s}\) son primos impares de la forma\(4l + 1\)
- Cuando\(n = 3\), Legendre (1752—1833) y Gauss demostraron entre ellos que los enteros que se pueden escribir como una suma de tres cuadrados son precisamente aquellos que no son de la forma\(4^{m} \times (8l +7)\)
- Cuando\(n = 4\), Lagrange (1736—1813) había demostrado previamente que cada entero positivo se puede escribir como una suma de cuatro cuadrados.