1.5: Visualización
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Un cuadrado\(ABCD\) de lado\(2\) se asienta encima de un cuadrado\(PQRS\) de lado\(1\), con vértice\(A\) en el centro\(O\) del cuadrado pequeño, lado\(AB\) cortando el lado\(PQ\) en el punto\(X\), y\( \angle AXQ = \theta\).
(a) Calcular el área de la región superpuesta.
b) Reemplazar los dos cuadrados de la parte (a) por dos triángulos equiláteros. ¿Se puede encontrar el área de solapamiento en ese caso? ¿Y si reemplazamos los cuadrados (es decir,\(4\) -gones regulares) en la parte (a) por\(2n\) -gones regulares?
El triángulo equilátero\(\triangle ABC\) tiene lados de longitud\(1\)\(\text{cm}\). \(D\)y\(E\) son puntos en los lados\(AB\) y\(AC\) respectivamente, de tal manera que doblando\(\triangle ADE\) a lo largo de\(DE\) pliegues el punto\(A\) sobre el\(A^{\prime}\) que se encuentra afuera\(\triangle ABC\).
¿Cuál es el perímetro total de la región formado por las tres partes de una sola capa del triángulo plegado (es decir, excluyendo el cuadrilátero con una capa plegada en la parte superior)?
El\(3\) por\(1\) rectángulo\(ADEH\) consta de tres cuadrados unitarios adyacentes:\(ABGH\),\(BCFG\), de\(CDEF\) izquierda a derecha, con\(A\) en la esquina superior izquierda. Demostrar que
\(\angle DAE + \angle DBE = \angle DCE\)
(a) Unir los puntos medios de los bordes de un triángulo equilátero\(ABC\) corta el triángulo en cuatro triángulos equiláteros idénticos más pequeños. La eliminación de uno de los tres triángulos pequeños exteriores (digamos\(AMN\), con\(M\) on\(AC\)) deja tres cuartas partes de la forma original en forma de trapecio isósceles\(MNBC\). Muestra cómo cortar este trapecio isósceles en cuatro piezas congruentes.
(b) Unir los puntos medios de lados opuestos de un cuadrado corta el cuadrado en cuatro cuadrados congruentes menores. Si retiramos uno de estos cuadrados, nos quedamos con tres cuartas partes del cuadrado original en forma de L. Muestra cómo cortar esta forma de L en cuatro piezas congruentes.
La región sombreada de la Figura\(\PageIndex{1}\), con forma de coma grande, está delimitada por tres semicírculos, dos de radio\(1\) y uno de radio\(2\).
Cortar cada región (la región sombreada y la no sombreada) en dos 'mitades', de modo que las cuatro partes sean congruentes (es decir, de tamaño y forma idénticos, pero con orientaciones posiblemente diferentes).
Figura\(\PageIndex{1}\): Yin y Yang
En el Problema 31 tu primer pensamiento pudo haber sido que esto es imposible. No obstante, dado que la redacción indicaba que se espera que tengas éxito, estaba claro que se te debe estar perdiendo algo —así que lo intentaste de nuevo. El problema luego pone a prueba tanto la flexibilidad de pensamiento como los poderes de visualización.