4.3: Factores, raíces, polinomios y surdes

Problema 113

(a) (i) Encontrar un número primo que sea uno menos que un cuadrado.

(ii) Encontrar otro primo de este tipo.

b) i) Encontrar un número primo que sea uno más que un cuadrado.

(ii) Encontrar otro primo de este tipo.

c) i) Encontrar un número primo que sea uno menos que un cubo.

(ii) Encontrar otro primo de este tipo.

d) i) Encontrar un número primo que sea uno más que un cubo.

(ii) Encontrar otro primo de este tipo.

Problema 114 Factorizar x ⁴ + 1 como producto de dos polinomios cuadráticos con coeficientes reales.

4.3.1 Factorizaciones estándar

El reto de factorizar expresiones desconocidas, puede que al principio nos deje tambalear. Pero si asumimos que cada uno de esos problemas es solucionable con las herramientas a nuestra disposición, entonces no tenemos más remedio que recurrir a las herramientas estándar que tenemos disponibles (en particular, la factorización estándar de una diferencia de dos cuadrados, en la que se cancelan los “términos cruzados”). El siguiente problema extiende este repertorio básico de factorizaciones estándar.

Problema 115

a) i) Factorizar a ³ − b ³.

(ii) Factorizar a ⁴ − b ⁴ como producto de un factor lineal y un factor de grado 3, y como producto de dos factores lineales y un factor cuadrático.

(iii) Factorizar a ⁿ − b ⁿ como producto de un factor lineal y un factor de grado n − 1.

b) i) Factorizar a ³ + b ³.

ii) Factorizar a ⁵ + b ⁵ como producto de un factor lineal y un factor de grado 4.

(iii) Factorizar a ²ⁿ⁺¹ + b ²ⁿ⁺¹ como producto de un factor lineal y un factor de grado 2 n.

El problema 115 desarrolla las ideas que estaban implícitas en el Problema 113. La pista está en el Problema 113 (a), y en el comentario realizado en el texto principal del Capítulo 1 (después del Problema 4 en el Capítulo 1), que repetimos aquí:

“Se incluye la última parte [del Problema 113 (a)] para hacer hincapié en un mensaje frecuentemente descuidado:

Las palabras y las imágenes son parte de la forma en que nos comunicamos.
Pero la mayoría de nosotros no podemos calcular con palabras e imágenes.

Para hacer uso de las matemáticas, debemos traducir de manera rutinaria las palabras en símbolos. Entonces, los “números” deben ser representados por símbolos, y los puntos en un diagrama geométrico deben etiquetarse correctamente antes de que podamos comenzar a calcular, y a razonar, de manera efectiva”.

Tan pronto como uno lea las palabras “uno menos que un cuadrado”, uno debe traducir instintivamente esto a la forma “x ² − 1”. Entonces comenzarán a sonar las campanas; porque es imposible olvidar la factorización

$$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Y se deduce que:

para que un número que factoriza de esta manera sea primo, el factor menor x − 1 debe ser igual a 1;
$\therefore x=2$, así que sólo hay uno de esos primos.

Las factorizaciones enteras en el Problema 113 (c) - a saber

$$3^3-1=2\times 13,4^3-1=3\times 21,5^3-1=4\times 31,6^3-1=5\times 43,...$$

puede ayudar a uno a recordar (o a descubrir) la factorización relacionada

$$x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right).$$

Para que un número que factoriza de esta manera sea primo, el factor menor “x − 1” debe ser igual a 1; ⟩
x = 2, así que solo hay uno de esos primos.

El problema 113 partes (a) y (c) resaltan la factorización completamente general (Problema 115 (a) (iii)):

$$x^n-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x^2+x+1\right).$$

Esta familia de factorizaciones también muestra que debemos pensar en la factorización de x ² − 1 como (x − 1) (x + 1), con el factor uniforme (x − 1) primero (en lugar de como (x + 1) (x − 1)). De igual manera, los resultados del Problema 115 muestran que debemos pensar en la factorización familiar de a ² − b ² como ^{(a − b) (}a + b), (no como (a 'b) (a − b) (a − b), sino siempre con el factor (a − b) primero).

Las factorizaciones enteras en el Problema 113 (d) - a saber

$$3^3+1=4\times 7,4^3+1=5\times 13,5^3+1=6\times 21,6^3+1=7\times 31,7^3+1=8\times 43,...$$

puede ayudar a uno a recordar (o a descubrir) la factorización relacionada

$$x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)$$

＊ Para que dicho número sea primo, uno de los factores debe ser igual a 1.

Esta vez hay que tener más cuidado, porque el primer paréntesis puede no ser el “factor más pequeño”, por lo que hay dos casos a considerar:

(i) si x + 1 = 1, entonces x = 0, y x ³ + 1 = 1 no es primo;

(ii) si x ² − x = 1 entonces x = 0 o x = 1, así x = 1 y obtenemos el primo 2 como única solución.

La factorización para x ³ + 1 funciona porque “3 es impar”, lo que permite que los signos alternos +/− terminen en un “+” según se requiera. De ahí que el Problema 113 (d) (iii) resalta la factorización completamente general para los poderes impares:

$$x^{2n+1}+1=(x+1)\left(x^{2n}-x^{2n-1}+x^{2n-2}-\cdots +x^2-x+1\right)$$

Probablemente sepas que no hay una factorización estándar de x ² + 1, o de x ⁴ + 1 (pero ver Problema 114 anterior).

Problema 116

a) Derivar una fórmula cerrada para la suma de las series geométricas

$$1+r+r^2+r^3+\cdots +r^n.$$

(El significado de fórmula cerrada se discutió en la Nota a la solución al Problema 54 (b) del Capítulo 2.)

(b) Derivar una fórmula cerrada para la suma de las series geométricas

$$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n$$

Comenzamos esta subsección buscando números primos de la forma x ² − 1. Un enfoque simple para la distribución de números primos podría buscar fórmulas que generen primos, todo el tiempo, o infinitamente a menudo, o al menos la mayor parte del tiempo. En el Capítulo 1 (Problema 25) demostró que ningún primo de la forma 4 k + 3 puede “representarse” como una suma de dos cuadrados (es decir, en la forma “x ² + y ²”), y remarcamos que cada otro primo se puede representar así exactamente de una manera. Es cierto (pero no obvio) que aproximadamente la mitad de los primos caen dentro de la segunda categoría; así se deduce que sustituir enteros por las dos variables en el polinomio x ^{2 + y 2} produce un número primo infinitamente a menudo.

Problema 117 Experimento sugiere, y Goldbach (1690—1764) mostró en 1752 que ningún polinomio en una variable, y con coeficientes enteros, puede dar valores primos para todos los valores enteros de la variable. Pero Euler (1707—1783) estaba encantado cuando descubrió la cuadrática

$$f(x)=x^2+x+41.$$

Claramente f (0) = 41 es primo. Y f (1) = 43 también es primo. ¿Cuál es el primer número entero positivo n para el que f (n) no es primo?

El problema 117 debe verse como una instancia particular de la pregunta de si los números primos pueden ser capturados por un polinomio con coeficientes enteros, y en particular por un cuadrático. Los siguientes dos problemas consideran las instancias más simples de representar números primos por expresiones que involucran exponenciales (es decir, donde la variable está en el exponente).

Problema 118

(a) (i) Supongamos que un ⁿ − 1 = p es un primo. Demostrar que a = 2 y que n en sí debe ser primo.

ii) ¿Cuántos números primos hay entre los cinco primeros números de este tipo?

$$2^2-1,2^3-1,2^5-1,2^7-1,2^{11}-1?$$

(b) (i) Supongamos que un ⁿ + 1 = p es un primo. Demostrar que o a = 1, o a debe ser par y que n debe ser entonces una potencia de 2.

ii) En el caso más simple, donde a = 2, cuántos primos hay entre los cinco primeros números de este tipo

$$2^1+1,2^2+1,2^4+1,2^8+1,2^{16}+1?$$

Los primos de la forma 2 ^p − 1 se llaman primos de Mersenne (después de Marin Mersenne (1588—1648)). Ahora conocemos al menos cincuenta de esos primos (con el exponente p que va hasta alrededor de 80 millones). Encontrar nuevos primos no es en sí mismo importante, pero la búsqueda de primos de Mersenne se ha utilizado como foco para muchos nuevos desarrollos en programación, y en teoría de números.

Los primos de la forma 2 ⁿ + 1 se llaman primos Fermat (después de Pierre de Fermat (1601—1665)). La historia aquí es muy diferente. Ahora nos referimos al número 2 ⁿ + 1 con n = 2 ^k como el k ^th número de Fermat f _k. Demostraste en Problema 118 (como lo hizo el propio Fermat) que f ₀, f ₁, f ₂, f ₃, f ₄ son todos primos. Fermat entonces más bien aseveradamente afirmó que f _n siempre es primo. No obstante, Euler demostró (100 años después) que el siguiente Fermat número f ₅ no logra ser primo. Y a pesar de todo el poder de las computadoras modernas, ¡todavía no hemos encontrado otro número de Fermat que sea primo!

4.3.2 Ecuaciones cuadráticas

La solución general de las ecuaciones cuadráticas se remonta a los antiguos babilonios ($\approx 1700\text{BC}$). Nuestra comprensión moderna depende de dos hechos:

• una ecuación de la forma x ² = a donde a > 0, tiene exactamente dos soluciones:$x=\pm \sqrt{a}$;
• cualquier producto X. Y es igual a 0 precisamente cuando uno de los dos factores X, Y es igual a 0.

Problema 119 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a)$x^2-3x+2=0$

b)$x^2-1=0$

c)$x^2-2x+1=0$

d)$x^2+\sqrt{2}x-1=0$

e)$x^2+x-\sqrt{2}=0$

f)$x^2+1=0$

g)$x^2+\sqrt{2}x+1=0$

Problema 120 Vamos

$$p(x)=x^2+\sqrt{2}x+1.$$

Encontrar un polinomio q (x) tal que el producto p (x) q (x) coeficientes.

Problema 121

(a) Estoy pensando en dos números, y estoy dispuesto a decirle sus sumas y su producto p. Expresar algebraicamente el siguiente procedimiento y explicar por qué siempre determinará mis dos números desconocidos.

Reduzcan a la mitad la suma s, y cuadren la respuesta.

Después restar el producto p y tomar la raíz cuadrada del resultado, para obtener la respuesta.

Agrega “la respuesta” a la mitad de la suma y tienes un número desconocido; resta “la respuesta” de la mitad de la suma y tienes el otro número desconocido.

(b) Estoy pensando en la longitud de un lado de un cuadrado. Todo lo que estoy dispuesto a decirte son dos números b y c, donde cuando agrego b veces la longitud lateral al área obtengo la respuesta c. Expreso el siguiente procedimiento algebraicamente y explico por qué siempre determinará la longitud lateral de mi cuadrado.

Toma la mitad de b, cuadrácala y agrega el resultado a c.

Después toma la raíz cuadrada.

Finalmente restar la mitad de b del resultado.

(c) Un pentágono regular ABCDE tiene lados de longitud 1.

(i) Demostrar que la CA diagonal es paralela al ED lateral.

(ii) Si AC y BD se encuentran en X, explique por qué AXDE es un rombo.

(iii) Demostrar que los triángulos ADX y CBX son similares.

(iv) Si AC tiene longitud x, establezca una ecuación y encuentre el valor exacto de x.

El problema 121 (a), (b) se vincula al Problema 111 (a) (y al Problema 129 a continuación), al relacionar las raíces y los coeficientes de una cuadrática. Si olvidamos por el momento que los coeficientes suelen conocerse, mientras que las raíces son desconocidas, entonces vemos que si α y β son las raíces de la cuadrática

$$x^2+bx+c,$$

entonces

$$(x-\alpha )(x-\beta )=x^2+bx+c,$$

entonces

$$\alpha +\beta =-by\alpha \beta =c.$$

En otras palabras, los dos coeficientes b, c son iguales a las dos expresiones simétricas más simples en las dos raíces α y β. La parte (a) del siguiente problema pretende sugerir que todas las demás expresiones simétricas en α y β (es decir, cualquier expresión que no cambie si intercambiamos α y β) pueden escribirse en términos de b y c. El resultado completo que prueba este hecho es atribuido generalmente a Isaac Newton (1642—1727). La parte (b) sugiere que, siempre que uno esté dispuesto a permitir distinciones de casos, algo similar puede ser cierto para expresiones antisimétricas (donde el efecto de intercambiar a y ft es multiplicar la expresión por “−1").

Problema 122 Dejemos que α y β sean las raíces de la ecuación cuadrática

$$x^2+bx+c=0.$$

(a) (i) Escribir α ² + β ² en términos de b y c solamente.

(ii) Escribir α ² β + β ² α en términos de b y c solamente.

(iii) Escribir α ³ + β ³ − 3 αβ en términos de b y c solamente.

(b) (i) Escribir α − β en términos de b y c solamente.

(ii) Escribir α ² β − β ² α en términos de b y c solamente.

(iii) Escribir α ³ − β ³ en términos de b y c solamente.

Problema 123 (Surds anidados, simplificación de surds)

a) i) Para cualquier número real positivo a, b, demuestre que$$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+\sqrt{4ab}}$$

ii) Simplificar$\sqrt{5+\sqrt{24}}$.

b) i) Encontrar una fórmula similar para$\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

ii) Simplificar$\sqrt{5-\sqrt{16}}$y$\sqrt{6-\sqrt{20}}$.

Problema 124 (Polinomios enteros con una raíz dada) Sabemos que α = 1 es una raíz de la ecuación polinómica x ² − 1 = 0; que$\alpha =\sqrt{2}$es una raíz de x ² − 2 = 0; y que$\alpha =\sqrt{3}$es una raíz de x ² − 3 = 0.

(a) Encontrar un polinomio cuadrático con coeficientes enteros que tenga

$$\alpha =1+\sqrt{2}$$

como raíz.

(b) Encontrar un polinomio cuadrático con coeficientes enteros que tenga

$$\alpha =1+\sqrt{3}$$

como raíz.

(c) Encontrar un polinomio con coeficientes enteros que tenga

$$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$$

como raíz. ¿Cuáles son las otras raíces de este polinomio?

(d) Encontrar un polinomio con coeficientes enteros que tenga

$$\alpha =\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}$$

como raíz. ¿Cuáles son las otras raíces de este polinomio?

Problema 125

a) Demostrar que el número$\sqrt{2}+\sqrt{3}$es irracional.

b) Demostrar que el número$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$es irracional.

Problema 126 (Polinomio división larga) Buscar

(i) el cociente y el resto cuando dividimos x ¹⁰ + 1 por x ³ − 1

(ii) el resto cuando dividimos x ²⁰¹³ + 1 por x ² − 1

(iii) el cociente y el resto cuando dividimos x ^m + 1 por x ⁿ − 1, para$m>n⩾1$.

Problema 127 Encuentra el resto cuando dividimos x ²⁰¹³ + 1 por x ² + x + 1.