4.4: Números complejos

Hasta este punto, el capítulo y las soluciones han evitado en gran medida mencionar números complejos. Sin embargo, el presente capítulo estaría incompleto si no se interpretara parte del material anterior en términos de números complejos. Los lectores que ya han cumplido con números complejos probablemente todavía encontrarán mucho en las próximas dos secciones que es nuevo. Aquellos para quienes los números complejos aún no están familiarizados deben enturbiarse lo mejor que puedan, y luego pueden estar motivados para aprender más a su debido tiempo.

Ya sabemos que el cuadrado x ² de cualquier número real x es 0.

• Si a = 0, entonces la ecuación x ² = a tiene exactamente una raíz, a saber x = 0;
• si a > 0, entonces la ecuación x ² = a tiene exactamente dos raíces, a saber, ±$\sqrt{a}$, donde$\sqrt{a}$denota la raíz que es positiva;
• si a < 0, entonces la ecuación x ² = a no tiene raíces reales.

Y ahí es donde habría descansado el asunto.

Desde una perspectiva moderna, podemos ver que los números complejos están implícitos en la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática: los números complejos se vuelven explícitos tan pronto como los coeficientes de un hacha cuadrática ² + bx + c dan lugar a un discriminante negativo b ² − 4ac < 0.

Pero esto puede no haber sido del todo lo complejos que se descubrieron los números. Contrariamente a los mitos frecuentemente repetidos, es posible que los números complejos no se hayan forzado a llamar nuestra atención por alguien preguntando por “soluciones a la ecuación cuadrática x ² = −1”. Mientras habitemos el dominio de los números reales, podemos estar seguros de que ningún número conocido x posiblemente podría tener tal cuadrado, por lo que es poco probable que vayamos en busca de él.

Las nuevas ideas en la historia de las matemáticas tienden a surgir cuando un nuevo análisis de las entidades familiares nos obliga a considerar la posible existencia de algún universo previamente insospechado. En la época del mundo antiguo hasta el siglo XV, la idea de “número”, y de cálculo, estaba restringida al mundo de los números reales (generalmente positivos). En un mundo así, las ecuaciones cuadráticas con soluciones no reales simplemente no podían surgir.

Sin embargo, en el Nuevo Mundo Valiente del Renacimiento, donde la novedad, la exploración y el descubrimiento formaban parte del Zeitgeist, un método general para resolver ecuaciones cúbicas formaba parte del “salvaje oeste” de las matemáticas, aún no descubierto, parte del matemático Nuevo Mundo que invitó exploración. Observe que esta no fue una aventura salvajemente especulativa (como tratar de resolver la ecuación sin sentido “x ² = − 1”), ya que un polinomio cúbico siempre tiene al menos una raíz real. Después de tres mil años en los que se había avanzado poco, la primera mitad del siglo XVI fue testigo de un asombroso estallido de progreso, resultando en la solución no sólo de ecuaciones cúbicas, sino también de ecuaciones cuárticas. Posponemos los detalles hasta la Sección 4.5. Todo lo que observamos aquí es que,

el método general para resolver ecuaciones cúbicas publicado en 1545, se dio como un procedimiento, ilustrado por ejemplos, que mostró cómo encontrar soluciones genuinamente reales a ecuaciones de tercer grado que tienen coeficientes genuinamente reales (y positivos).

El procedimiento funcionó claramente. Y procedió de la siguiente manera:

Construir la solución real x como la suma x = u + v de dos respuestas intermedias u y v - donde las dos summands u y v a veces resultaron ser lo que llamaríamos “números complejos conjugados”, cuyas partes imaginarias cancelaron , dejando un resultado real para la raíz x requerida.

Quienes idearon el procedimiento no tenían ganas de abandonar el dominio real: estaban enfocados en un problema en el dominio real (una ecuación cúbica con coeficientes reales, teniendo una raíz real), e idearon un procedimiento general para encontrar eso genuinamente real raíz. Pero el procedimiento que descubrieron llevó al solucionador a un viaje que a veces “pasaba al dominio complejo”, ¡antes de regresar al dominio real! (Ver Problema 129.)

Trabajar con números complejos depende de dos habilidades, una muy familiar y otra menos.

• La habilidad familiar es la voluntad de trabajar con un “número” solo en términos de sus propiedades, sin querer evaluarlo.

Estamos muy familiarizados con esto cuando trabajamos con$\frac{2}{3}$y otras fracciones: sabemos que$\frac{2}{3}=2\times \frac{1}{3}$; y todo lo que sabemos sobre$\frac{1}{3}$es que “siempre que tengamos 3 copias de$\frac{1}{3}$, podemos simplificar esto a 1”. Mucho lo mismo sucede cuando aprendemos a trabajar por primera vez con$\sqrt{2}$, donde realizamos cálculos tales como${(1+\sqrt{2})}^2=3+2\sqrt{2}$, basado únicamente en recoger términos similares y el hecho de que$\sqrt{2}\times \sqrt{2}$siempre puede ser reemplazado por 2.

• La habilidad menos familiar se pasa por alto fácilmente. Cuando, por cualquier razón, decidimos permitir soluciones a la ecuación x ² = − 1, hay que entender tres cosas.

  − Primero, estas nuevas soluciones vienen en pares: si i es una solución de x ² = −1 entonces − i es otra (porque (−1) x (−1) = 1 significa que (− x) ² = x ² para todos los “números” x .

  − Segundo, la ecuación x ² = − 1 tiene exactamente dos soluciones - una la negativa de la otra (si x e y son ambas soluciones, entonces x ² = y ², entonces x ² − y ² = (x − y) (x + y) = 0, así que x = y, o x = − y).

  − Tercero, no tenemos forma de diferenciar estas dos soluciones: sabemos que cada una es la negativa de la otra, pero no hay manera de señalar a una de ellas como “la principal” (como podríamos al definir la raíz cuadrada de un real positivo como 2). Podemos llamarlos ± i, pero cada uno es tan bueno como el otro. Este hecho importante a menudo se ve socavado al referirse a una de estas raíces como$\sqrt{-1}$(como si fuera el socio dominante), y al otro como -$\sqrt{-1}$(como si de alguna manera fuera solo el “negativo” de la raíz principal).

La verdad es que”$\sqrt{-1}$” es un grave abuso de notación, porque no hay manera de ampliar la definición de la función”$\sqrt{}$” en la forma en que esto implica: cuando tratamos de “tomar raíces cuadradas” de números negativos (o complejos), la salida es ineludiblemente “de dos valores”, entonces”$\sqrt{}$” ya no es una función. Las dos raíces de x ² = −1 son como Tweedledum y Tweedledee: sabemos que hay dos de ellas, y sabemos cómo están relacionadas; pero no tenemos forma de distinguirlas, ni de señalar a una de ellas.

Una vez que aceptamos esto, podemos escribir números complejos en la forma a + bi, donde a y b son números reales (tal como solíamos escribir números en la forma$a+b\sqrt{2}$donde a y b son números racionales). Y podemos proceder a sumar, restar, multiplicar y dividir tales expresiones, para luego recoger las partes “reales” e “imaginarias” para ordenar la respuesta.

Problema 128

(a) Escribe la inversa (a + bi) ⁻¹ en la forma c + di.

(b) Anotar una ecuación cuadrática con coeficientes reales, que tiene un + bi como una raíz (donde a y b son números reales).

Problema 129 Divide 10 en dos partes, cuyo producto es 40.

El problema 129 aparece en el Capítulo XXXVII del libro Ars Magna (1545) de Girolamo Cardano (1501—1576). Habiendo presentado previamente los métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, confronta honestamente el fenómeno de que su método para resolver ecuaciones cúbicas (ver Problema 135) produce la solución real (y positiva) requerida x como una suma de conjugados complejos u y v - involucrando no sólo números negativos, sino raíces cuadradas de números negativos. Después de presentar la solución formal del Problema 129, y haber demostrado que el cálculo funciona exactamente como debería, agrega la observación desconcertada:

“Así progresa la sutileza aritmética,
cuyo fin... es tan refinado como inútil”.

La aritmética con números complejos en la forma a + bi se realiza realizando las operaciones requeridas, y luego recolectando las partes “reales” e “imaginarias” como componentes separados, al igual que con la adición de vectores (a, b). Tratamos las dos partes como coordenadas cartesianas, y así identificamos el número complejo a + bi con el punto (a, b) en el plano complejo.

La representación “cartesiana” a + bi es muy conveniente para la adición. Pero la definición esencial (y significado) de los números complejos tiene sus raíces en la multiplicación. Y para la multiplicación suele ser mucho mejor trabajar con números complejos escritos en forma polar. Supongamos que marcamos el número complejo w = a + bi en el plano complejo.

El módulo |w| de w (a menudo denotado por r) es la distancia$r=\sqrt{a^2+b^2}$del número complejo a + 6 i del origen en el plano complejo.

El ángulo θ, medido en sentido antihorario desde el eje real positivo hasta la línea que une el número complejo w al origen, se llama argumento,$$Arg (w)=θ, de w.

Entonces es fácil verificar que a = r cos θ, b = r sin θ, y que

$$w=r(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )$$

Esta es la forma polar para w. En lugar de centrarse en las coordenadas cartesianas a, b, la forma polar señala w en términos de

• su longitud, o módulo, r (que especifica el círculo, con el centro en el origen, en el que se encuentra el número complejo w), y
• el argumento 0 (que nos dice dónde en este círculo se encuentra w).

Problema 130

a) Dados dos números complejos en forma polar:

$$w=r(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta ),z=s(\cos 9+i\mathrm{pecado}9)$$

muestran que su producto es precisamente

$$wz=rs(\cos (\theta +9)+i\mathrm{pecado}(\theta +9)).$$

b) (Teorema de Moivre: Abraham de Moivre (1667—1754)) Demostrar que

$${(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )}^n=\cos (n\theta )+i\mathrm{pecado}(n\theta ).$$

c) Demostrar que, si

$$z=r(\cos \theta +i\mathrm{pecado}\theta )$$

satisface z ⁿ = 1 para algún número entero n, luego r = 1.

Los tres últimos problemas de esta subsección miran más de cerca las “raíces de la unidad”, es decir, las raíces de la ecuación polinómica x ⁿ = 1. En el dominio real, sabemos que:

(i) cuando n es impar, la ecuación x ⁿ = 1 tiene exactamente una raíz, a saber x = 1; y

(ii) cuando n es par, la ecuación x ⁿ = 1 tiene solo dos soluciones, a saber$x=\pm 1$.

En contraste, en el dominio complejo, hay n “n ^ésima raíces de unidad”. El problema 130 c) muestra que estas “raíces de unidad” se encuentran todas en el círculo unitario, centradas en el origen. Y si ponemos$n\theta =2k\pi$en el Problema 130 (b) vemos que las n n ^ésima raíces de unidad incluyen el punto “1 = cos0 + i sin0”, y luego están igualmente espaciadas alrededor de ese círculo con$\theta =\frac{2k\pi }{n}(1⩽k⩽n-1)$, y formar los vértices de un n -gon regular.

Problema 131

(a) Encontrar todas las complejas raíces de unidad de grado 3 (es decir, las raíces de x ³ = 1) en forma de surds.

b) Encontrar todas las complejas raíces de la unidad del grado 4 en forma surd.

(c) Encontrar todas las complejas raíces de la unidad del grado 6 en forma surd.

d) Encontrar todas las complejas raíces de la unidad del grado 8 en forma surd.

Problema 132 Utilice el Problema 131 (d) para factorizar x ⁴ + 1 como producto de cuatro factores lineales, y por lo tanto como producto de dos polinomios cuadráticos con coeficientes reales.

Problema 133

(a) Encontrar en forma surd todas las complejas raíces de la unidad del grado 5.

(b) Factorizar x ⁵ − 1 como producto de un polinomio lineal y dos cuadráticos con coeficientes reales.