4.5: Ecuaciones cúbicas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 108104

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

El primer procedimiento registrado para encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación cuadrática dada data de alrededor del 1700 a.C. (antiguo babilónico). Un procedimiento correspondiente para las ecuaciones cúbicas tuvo que esperar hasta principios del siglo XVI d.C. La historia es un poco complicada, involucrando concursos públicos, traición y mucho más además.

En la Sección 4.4 vimos que la ecuación cúbica x ³ = 1 tiene tres soluciones, dos de las cuales son números complejos. Pero en el siglo XVI, incluso los números negativos fueron vistos con sospecha, y los números complejos aún se desconocían. Además, el álgebra simbólica aún no se había inventado, por lo que todo se llevaba a cabo con palabras: las constantes eran “números”; un múltiplo dado de lo desconocido se refería como tantas “cosas”; un múltiplo dado del cuadrado de lo desconocido se refería simplemente como “cuadrados”; y así sucesivamente.

En definitiva, sabemos que un método mejorado para encontrar a veces un desconocido (positivo) que satisfizo una ecuación cúbica fue ideado por Scipione del Ferro (1465—1526) alrededor de 1515. Guardó su método en secreto hasta justo antes de su muerte, cuando le dijo a su alumno Antonio del Fiore (1506-??). Niccolo Tartaglia (1499—1557) luego hizo algunos avances independientes en la resolución de ecuaciones cúbicas. En alguna etapa (alrededor de 1535) Fiore desafió a Tartaglia a un “concurso de resolución cúbica” pública. Al prepararse para este evento, Tartaglia logró mejorar su método, y parece haber triunfado en el certamen. Tartaglia naturalmente dudó en divulgar su método para preservar su superioridad, pero más tarde fue persuadido de comunicarle lo que sabía a Girolamo Cardano (1501—1576) después de que Cardano prometió no publicarlo (o nunca, o no antes de que el propio Tartaglia lo hubiera hecho). Cardano mejoró el método, y su alumno Ferrari (1522—1565) amplió la idea para dar un método para resolver ecuaciones cuarticas -todas las cuales Cardano publicó entonces, contrariamente a su promesa, pero con plena atribución a los descubridores legítimos, en su innovador libro Ars Magna (1545 -justo dos años después de que Copérnico (1473-1543) publicara su De revolutionibus...). El problema 134 ilustra el primer movimiento necesario para resolver cualquier ecuación cúbica. El problema 135 ilustra entonces el método general en un caso relativamente sencillo.

Problema 134

(a) Dada la ecuación x ³ + 3 x ² − 4 = 0, elija una constante a, y luego cambie la variable sustituyendo y = x + a para producir una ecuación de la forma y ³ + ky = constante.

(b) En general, dada cualquier ecuación cúbica ax ³ + bx ² + c ^x + d = 0 con $a \neq 0$ , muestran cómo cambiar la variable para reducirla a una ecuación cúbica sin término cuadrático.

Problema 135 La ecuación x ³ + 3 x ² − 4 = 0 claramente tiene “x = 1” como solución positiva. (Las otras dos soluciones son x = −2, y x = −2 - una raíz repetida; sin embargo, los negativos fueron vistos con sospecha en el siglo XVI, por lo que esta raíz bien podría haber sido ignorada). Intenta entender cómo la siguiente secuencia de movimientos “encuentra la raíz x = 1”:

(i) sustituir y = x + 1 para obtener una ecuación cúbica en y sin término en y ²;

(ii) imaginar y = u + v e interpretar la identidad para

${(u + v)}^{3} = u^{3} + 3 u v (u + v) + v^{3}$

como su ecuación cúbica en y;

(iii) resolver las ecuaciones simultáneas “3 uv = 3”, “u ³ ^{+ v 3} = 2” (no adivinando, sino sustituyendo $v = \frac{1}{u}$ de la primera ecuación a la segunda para obtener una ecuación cuadrática en “u ³”, que luego puedes resolver para u ³ antes de tomar raíces cúbicas);

(iv) luego encontrar el valor correspondiente de v, de ahí el valor de y = u + v, y de ahí el valor de x.

El método simple que subyace al Problema 135 es, de hecho, completamente general. Dada cualquier ecuación cúbica

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (con a \neq 0)$

podemos dividirnos por una para reducir esto a

$x^{3} + p x^{2} + q x + r = 0$

con coeficiente inicial = 1. Entonces podemos sustituir $y = x + \frac{p}{3}$ y reducir esto a una ecuación cúbica en y

$y^{3} - 3 {(\frac{p}{3})}^{2} y + q y + [r + 2 {(\frac{p}{3})}^{3} - q (\frac{p}{3})] = 0$

que podemos tratar como teniendo la forma

$y^{3} - m y - n = 0.$

Entonces podemos establecer y = u + v (para algunos u y v desconocidos aún por elegir), y tratar la última ecuación como una instancia de la identidad

${(u + v)}^{3} - 3 u v (u + v) - (u^{3} + v^{3}) = 0$

que se convertirá si simplemente elegimos u y v para resolver las ecuaciones simultáneas

$3 u v = m, u^{3} + v^{3} = n .$

Entonces podemos resolver estas ecuaciones para encontrar u, luego v - y por lo tanto encontrar y = u + v y $x = y - \frac{p}{3}$ .