5.5: Construcciones de regla y brújulas para polígonos regulares

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Los Elementos de Euclides incluyen métodos para construir los polígonos regulares que se requieren para la construcción de los poliedros regulares (ver Sección 5.6). En cierto sentido, Euclides es completamente moderno: es reacio a trabajar con entidades que no se pueden construir. Y para él, construcción geométrica significa construcción “usando regla y brújulas” solamente.

Para cada polígono regular, hay dos problemas de construcción relacionados (y a veces muy diferentes):

dados dos puntos A y B, construya el n-gon regular con AB como borde del polígono regular;
dados dos puntos O y A, construyen el n-gon regular ABCD.. inscrita en el círculo con centro O y pasando por A, es decir con circunradio OA.

Antes del Problema 137 vimos cómo construir un triángulo equilátero ABC dados los puntos A, B. Y en el Problema 36 vimos que cada polígono regular tiene un circuncentro O.

Problema 182 Dados los puntos O, A, muestran cómo construir el ABC regular de 3 gones con circuncentro O.

Problema 183

(a) Dados dos puntos O, A, muestran cómo construir un ABCD regular de 4 gones con circuncentro O.

b) Dados los puntos A, B, muestran cómo construir un ABCD regular de 4 gones.

Problema 184

(a) (i) Dados dos puntos O, A, muestran cómo construir un ABCDEF regular de 6 gones con circuncentro O.

(ii) Dados dos puntos O, A, muestran cómo construir un ABCDEFGH regular de 8 gones con circuncentro O.

b) i) Dados los puntos A, B, muestran cómo construir un ABCDEF regular de 6 gones.

(ii) Dados los puntos A, B, muestran cómo construir un ABCDEFGH regular de 8 gones.

Problema 185

(a) (i) Dados dos puntos O, A, muestran cómo construir un ABCDE regular de 5 gones con circuncentro O.

(ii) Dados los puntos O, A, muestran cómo construir un ABCDEFGHIJ regular de 10 gones con circuncentro O.

b) i) Dados los puntos A, B, muestran cómo construir un ABCDE regular de 5 gones.

(ii) Dados los puntos A, B, muestran cómo construir un ABCDEFGHIJ regular de 10 gones.

No lo probaremos aquí, pero es imposible construir un 7 gon regular, o un 9 gon regular, o un 11 gon regular usando regla y brújulas. Todas las construcciones con regla y brújulas se bajan a dos movimientos:

si a es una longitud conocida, entonces $\sqrt{a}$ pueden construirse (véase el problema 173 c));
si se puede construir un n -gon, entonces los lados pueden ser biseccionados para producir un 2n-gon.

Dicho de manera ligeramente diferente, todas las construcciones de regla y brújulas implican resolver ecuaciones lineales o cuadráticas, por lo que los únicos puntos nuevos, o longitudes que podemos construir son aquellos que involucran raíces cuadradas iteradas de expresiones o longitudes que anteriormente se conocían.

Esta extracción iterada de raíces cuadradas está vinculada a un hecho probado por primera vez por Gauss (1777-1855), a saber, que los únicos p-gones regulares (donde p es un primo) que se pueden construir son aquellos en los que p es un primo Fermat, es decir, un primo de la forma p = 2 ^k + 1 (en cuyo caso k tiene que ser una potencia de 2: ver Problema 118). Gauss demostró (cuando era adolescente, aunque se publicó por primera vez en su libro Disquisitiones arithmeticae en 1801):

un n-gon regular se puede construir con regla y brújulas si y solo si n tiene la forma
$2^{m} \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot p_{3} \dots p_{k},$

donde p ₁, p ₂, p ₃,... , p _k son distintos primos de Fermat.

Como señalamos en el Capítulo 2, los únicos primos de Fermat conocidos son los cinco descubiertos por el propio Fermat, a saber, 3, 5, 17, 257 y 65 537.