5.7: La regla sinusoidal y la regla del coseno

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Cuando la información dada, o una construcción geométrica especificada, determina un ángulo o longitud de manera única, a veces, pero no siempre, es posible encontrar este ángulo o longitud usando una simple búsqueda de ángulos y congruencia.

Problema 191

(a) En el cuadrilátero ABCD las dos diagonales AC y BD cruzan en X. Supongamos AB = BC, B AC = 60°, DAC = 40°, B XC = 100°.

(i) Calcular (exactamente) ADB y C BD.

(ii) Calcular B DC y ACD.

(b) En el cuadrilátero ABCD las dos diagonales AC y BD cruzan en X. Supongamos AB = BC, B AC = 70°, DAC = 40°, B XC = 100°.

(i) Calcular (exactamente) el tamaño de B DC + ACD.

(ii) Explicar cómo podemos estar seguros de que B DC y ACD están determinados de manera única, aunque no podamos calcularlos inmediatamente.

Si resulta que las herramientas más simples no nos permiten determinar ángulos y longitudes, esto suele deberse a que solo estamos usando las propiedades más básicas: los criterios de congruencia, y el criterio paralelo. El arte general de 'resolver triángulos' depende del criterio de similitud (generalmente vía trigonometría). Y las dos técnicas estándar para 'resolver triángulos' que van más allá de “perseguir ángulos” y congruencia son la Regla Sinusoidal, que se estableció de nuevo en el Problema 32 (y sus consecuencias, como la fórmula de área $\frac{1}{2}$ abpecadoC- ver Problema 33), y la Regla del Coseno.

El siguiente problema invita a usar el Teorema de Pitágoras para probar la Regla del Coseno, una extensión del Teorema de Pitágoras que se aplica a todos los triángulos ABC (incluidos aquellos en los que el ángulo en C puede no ser un ángulo recto).

Problema 192 (La regla del coseno) Dado Δ ABC, dejar que la perpendicular de A a BC se encuentre BC en P. Si P = C, entonces sabemos (por Teorema de Pitágoras) que c ² = a ² + b ². Supongamos $P \neq C$ .

(i) Supongamos primero que P se encuentra en el segmento de línea CB, o en CB extendido más allá de B. Expresar las longitudes de PC y AP en términos de b y C. Luego aplique el Teorema de Pitágoras a A ΔAPB para concluir que

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C .$

(ii) Supongamos a continuación que P se encuentra en el segmento de línea BC extendido más allá de C. Demostrar una vez más que

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C .$

Problema 193 Vuelva a la configuración en Problema 191 (b). Los ángulos requeridos no se ven afectados por el escalado, por lo que podemos elegir AB = BC = 1. Diseñar una estrategia utilizando la regla sinusoidal y la regla coseno para calcular B DC y ACD exactamente.

Vale la pena reflexionar sobre lo que realmente nos dice la Regla del Coseno:

(i) si en un triángulo, conocemos dos lados cualesquiera (a y b) y el ángulo incluido (C), entonces podemos calcular el tercer lado (c); y

(ii) si conocemos los tres lados (a, b, c), entonces podemos calcular cualquier ángulo (digamos C).

De ahí que si conocemos tres lados, o dos lados y el ángulo entre ellos, podemos trabajar todos los ángulos. Entonces, la Regla Sinusoidal complementa esto asegurando que:

(iii) si conocemos algún lado y dos ángulos (en cuyo caso también conocemos el tercer ángulo), entonces podemos calcular los otros dos lados; y

(iv) si conocemos algún ángulo A, y dos lados -uno de los cuales es el lado a opuesto A, entonces podemos calcular (uno y por lo tanto) los otros ángulos (y de ahí el tercer lado).

El resultado es que una vez que un triángulo está determinado de manera única por los datos dados, podemos “resolver” para encontrar los tres lados y los tres ángulos.

La trigonometría tiene una historia larga y muy interesante (que no es nada fácil de desentrañar). Euclides (florecido c. 300 a.C.) entendió que los lados correspondientes en cifras similares eran “proporcionales”. Y afirmó y demostró la generalización del Teorema de Pitágoras, que ahora llamamos la Regla del Coseno; pero lo hizo de forma teórica, sin introducir cosenos. Las versiones de Euclides para triángulos agudos y obtusos implicaban términos de corrección con signos opuestos, por lo que los probó por separado (Elementos, Libro II, Proposiciones 12 y 13).

Sin embargo, el desarrollo de la trigonometría como una herramienta teórica y práctica efectiva parece haberse debido a Hiparco (fallecido c. 125 a.C.), a Menelao (c. 70-130 d.C.) y a Ptolomeo (fallecido en 168 d.C.). Una vez que la trigonometría se movió más allá de lo puramente teórico, la combinación de

el lenguaje (exacto) de la trigonometría, junto con la Regla Sinusoidal y la Regla Cosina, y
(aproximado) “tablas de relaciones trigonométricas” (hoy reemplazadas por calculadoras)

liberó a los astrónomos, y luego a los ingenieros, para calcular longitudes y ángulos de manera eficiente, y con la precisión que requirieran.

En matemáticas o trabajamos con valores exactos, o tenemos que controlar los errores con precisión. Pero la trigonometría aún puede ser una valiosa herramienta exacta, siempre que recordemos las lecciones de trabajar con fracciones como $\frac{2}{3}$ o con surdes como, o con constantes como $\sqrt{2}$ , y resistir la tentación de sustituirlos por algún decimal aproximado poco esclarecedor. Podemos reemplazar $\cos^{- 1} (\frac{1}{2}) (= \frac{π}{3})$ y $\cos^{- 1} (- \frac{1}{2}) (= \frac{2 π}{3})$ por sus valores exactos; pero en general tenemos que estar dispuestos a trabajar y pensar en formas exactas como” $\cos^{- 1} (\frac{1}{3})$ ” y” $\cos^{- 1} (- \frac{1}{3})$ ”, sin cambiar a alguna evaluación aproximada.

Problema 194

(a) Que el ABCD sea un tetraedro regular con bordes de longitud 2. Calcular el ángulo (exacto) entre las dos caras ABC y DBC.

(b) Sabemos que en 2D cinco triángulos equiláteros encajan en un punto dejando justo lo suficiente de un ángulo para permitir que un sexto triángulo encaje. ¿Cuántos tetraedros regulares idénticos puede uno encajar, sin superposiciones alrededor de un borde, para que todos compartan el borde BC (digamos)?

Problema 195

(a) Que ABCDEF sea un octaedro regular con vértices B, C, D, E adyacentes a A formando un BCDE cuadrado, y con bordes de longitud 2. Calcular el ángulo (exacto) entre las dos caras ABC y FBC.

(b) ¿Cuántos octaedros regulares idénticos puede uno encajar alrededor de un borde, sin superposiciones, para que todos compartan el borde BC (digamos)?

Problema 196 Volver al escenario del Problema 188, con un tetraedro regular y un octaedro regular ambos teniendo bordes de longitud 2, y ambos teniendo una cara plana sobre la mesa. Supongamos que deslizamos el tetraedro por la mesa hacia el octaedro. ¿Qué fenómeno inesperado está garantizado por los problemas 194 a) y 195 a)?

Problema 197 Considera el cubo con aristas de longitud 2 paralelas a los ejes de coordenadas, con su centro en el origen (0,0,0), y con esquinas opuestas en (1,1,1) y (—1, —1, —1). Los ejes x, y y z, y los planos xy, yz y zx cortan este cubo en ocho cubos unitarios, uno sentado en cada octante.

(i) Dejar A = (0,0,1), B = (1, 0, 0), C = (0,1,0), W = (1,1,1). Describir la ABCW sólida.

(ii) Dejar D = (—1, 0, 0), X = (—1,1,1). Describir el ACDX sólido.

(iii) Dejar E = (0, —1,0), Y = (—1, —1,1). Describir el ADEY sólido.

(iv) Dejar Z = (1, —1,1). Describir el AEBZ sólido.

(v) Dejar F = (0,0, —1) y repetir los pasos (i) - (iv) para obtener los cuatro sólidos de imagen especular que se encuentran debajo del plano xy.

(vi) Describir el ABCDEF sólido que está rodeado por los ocho sólidos idénticos en (i) - (v).

Problema 198 Considerar una sola cara ABCDE del dodecaedro regular, con bordes de longitud 1, junto con los cinco pentágonos adyacentes a él, de manera que cada uno de los vértices A, B, C, D, E tenga vértice figura 5 3. Cada figura de vértice es rígida, por lo que toda la disposición de seis pentágonos regulares también es rígida. Sea V, W, X, Y, Z los cinco vértices adyacentes a A, B, C, D, E respectivamente. Calcular el ángulo diedro entre las dos caras pentagonales que se encuentran en el borde AB.

Problema 199 Supongamos que un icosaedro regular (Problema 189) tiene bordes de longitud 2. Posicionar el vértice A en el 'polo Norte', y dejar que BCDEF sea el pentágono regular formado por sus cinco vecinos.

(a) (i) Calcular el ángulo exacto entre las dos caras ABC y ACD.

(ii) ¿Cuántos icosaedros regulares idénticos puede uno encajar, sin solapamientos, alrededor de un solo borde?

b) Que C sea el circuncírculo de BCDEF, y que O sea el circuncentro de este pentágono regular.

(i) Demostrar que las tres longitudes de borde del triángulo rectángulo ΔBOA son las longitudes de borde del hexágono regular inscrito en el círculo C, de los 10 gones regulares inscritos en el círculo C, y de los 5 gones regulares inscritos en el círculo C.

(ii) Calcular la distancia que separa el plano del pentágono regular BCDEF, y el plano del pentágono regular correspondiente unido al 'polo Sur'.

Observe que el Problema 199 (b) muestra que el icosaedro regular puede ser 'construido' en el espíritu euclidiano: la parte (b) (i) es esencialmente la Proposición 10 del Libro XIII de los Elementos de Euclides, y la parte (b) (ii) está implícita en la Proposición 16 del Libro XIII. Una vez que se nos da el radio OB, podemos:

construir el pentágono regular BCDEF en el círculo C;
bisectar los lados del pentágono regular y de ahí construir el BVC regular de 10 gones. en el mismo círculo;
construir la perpendicular vertical en O, y transferir la longitud BV al punto O para determinar el vértice A directamente encima de O;
transferir el radio OB a la perpendicular vertical en O para determinar el plano directamente debajo de O, y de ahí construir el pentágono regular inferior; etc.

Puede valer la pena comentar una confusión común sobre el icosaedro regular. Cada poliedro regular tiene un circuncentro, con todos los vértices tendidos sobre una esfera correspondiente. Si unimos alguna cara triangular del icosaedro regular al circuncentro O, obtenemos un tetraedro. Estos 20 tetraedros son todos congruentes y encajan exactamente en el punto O “sin huecos ni superposiciones”. Pero no son tetraedros regulares: el circunradio es menor que la longitud del borde del icosaedro regular.

Problema 200 Demostrar que el único poliedro regular que teja 3D (sin huecos ni superposiciones) es el cubo.

En cierto sentido el resultado en el Problema 200 es decepcionante. Sin embargo, como sabemos que hay todo tipo de interesantes arreglos tridimensionales relacionados con los cristales y la forma en que los átomos encajan entre sí, el mensaje es realmente que necesitamos mirar más allá de los inclinados regulares. Por ejemplo, la construcción en Problema 197 muestra cómo el familiar mosaico regular del espacio con cubos incorpora un mosaico semirregular del espacio con ocho tetraedros regulares y dos octaedros regulares en cada vértice.