5.10: Teorema de Pitágoras en tres dimensiones

El teorema de Pitágoras pertenece en 2 dimensiones. Pero, ¿se generaliza a 3 dimensiones? La respuesta habitual es interpretar el resultado en términos de coordenadas.

Problema 213

(a) Construir un triángulo en ángulo recto que explique la fórmula estándar para la distancia de P = (a, b) a Q = (d, e).

(b) Utilice la parte (a) para derivar la fórmula estándar para la distancia de P = (a, b, c) a Q = (d, e, f).

Esta extensión del Teorema de Pitágoras a 3 dimensiones es extremadamente útil, pero no muy profunda. En contraste, el siguiente resultado es más intrigante, pero parece ser un uke completo de relevancia limitada. En 2D, se obtiene un triángulo en ángulo recto mediante

• tomando una esquina A de un rectángulo ABCD, junto con sus dos vecinos B y D;
• luego “cortando la esquina” para obtener el triángulo ABD.

Esto sugiere que una figura correspondiente en 3D podría ser obtenida por

• tomando una esquina A de un cuboide, junto con sus tres vecinos B, C, D;
• luego cortando la esquina para obtener una pirámide ABCD, con el triángulo rectángulo Δ ABC como base, y con el ápice D.

El candidato obvio para la “hipotenusa 3D” es entonces la cara inclinada BCD, y los tres triángulos en ángulo recto Δ ABC, ΔACD, ΔADB presumiblemente corresponden a las 'patas' (los lados más cortos) del triángulo rectángulo en 2D.

Problema 214 Se te da una pirámide ABCD con las tres caras reunidas en A siendo triángulos rectos con ángulos rectos en A. Supongamos AB = b, AC = c, AD = d.

(a) Calcular las áreas de Δ ABC, ΔACD, ΔADB en términos de b, c, d.

(b) Calcular el área de ΔBCD en términos de b, c, d.

(c) Compara tu respuesta en la parte (b) con la suma de los cuadrados de las tres áreas que encontraste en la parte (a).

Más significativo (por ejemplo, para la navegación en la superficie de la Tierra) y más interesante que el Problema 214 es preguntar qué forma toma el Teorema de Pitágoras para “líneas en una esfera”.

Por simplicidad trabajamos en una esfera unitaria. Descubrimos en el período previo al Problema 34 que las líneas, o caminos más cortos, en una esfera son arcos de grandes círculos. Entonces, si el triángulo Δ ABC en la esfera unitaria está en ángulo recto en A, podemos rotar la esfera para que el arco AB se encuentre a lo largo del ecuador y el arco AC recorra un círculo de longitud. Entonces queda claro que, una vez que se conocen las longitudes c, b de AB y AC, se determinan esencialmente las ubicaciones de B y C, y de ahí la longitud del arco BC sobre la esfera se determina. Por lo que nos gustaría tener una fórmula simple que nos permitiera calcular la longitud del arco BC directamente en términos de c y b.

Problema 215 Dado un triángulo esférico Δ ABC en la esfera unitaria con centro O, de tal manera que B AC es un ángulo recto, y tal que AB tiene longitud c, y AC tiene longitud b .

a) Nos hemos referido (con razón) a b y c como “longitudes”. Pero, ¿qué son realmente?

(b) Queremos saber cómo las entradas b y c determinan el valor de la longitud a del arco BC; es decir, estamos buscando una función con entradas b y c, que nos permita determinar el valor de la “salida” a. Piense en la respuesta a la parte (a). ¿Qué tipo de funciones estándar ya conocemos que podrían tener entradas b y c?

(c) Supongamos$c=0\ne b$. ¿A qué debe ser igual la salida a? (Del mismo modo si$b=0\ne c$.) ¿Qué función estándar de b y de c sugiere esto está involucrada?

d) i) Supongamos$\angle B=\angle C=\frac{\pi }{2}$, ¿a qué debe ser igual la salida a?

(ii) Supongamos$\angle B=\frac{\pi }{2}$, pero C (y por lo tanto c) no tiene restricciones. Luego se determina la salida a, pero la fórmula debe dar esta salida fija para diferentes valores de c. ¿Qué sugiere esto como la fórmula “más simple posible” para un?

Las respuestas al Problema 215 dan una idea bastante buena de qué forma debe tomar el Teorema de Pitágoras en la esfera unitaria. El siguiente problema prueba este resultado como una simple aplicación de la conocida Regla del Coseno 2D.

Problema 216 Dado cualquier triángulo Δ ABC en la esfera unitaria con un ángulo recto en el punto A, podemos posicionar la esfera de manera que A se encuentre en el ecuador, con AB a lo largo del ecuador y AC hacia arriba un círculo de longitud. Que O sea el centro de la esfera y que T sea el plano tangente a la esfera en el punto A. Extienda los radios OB y OC para encontrar el plano T en Bʹ y Cʹ respectivamente.

(a) Calcular las longitudes de los segmentos de línea ABʹ y ACʹ, y por lo tanto de B'Cʹ.

(b) Calcular las longitudes de OBʹ y OCʹ, y luego aplicar la Regla de Coseno a ΔB'OCʹ para encontrar una ecuación que vincule b y c con B 'OCʹ (=a).

Al “resolver triángulos” en la esfera se aplican los mismos principios que en el plano: los triángulos en ángulo recto sostienen la clave, pero el Teorema de Pitágoras y trigonometría en triángulos rectos deben extenderse para obtener variaciones de la Regla Sinusoidal y la Regla del Coseno para triángulos esféricos. Los resultados correspondientes en la esfera son similares e intrigantes diferentes a los que estamos acostumbrados en el plano. Por ejemplo, hay dos formas de la Regla del Coseno que extiende el resultado en el Problema 216.

Problema 217 Dado un triángulo (no necesariamente en ángulo recto) Δ ABC en la esfera unitaria, aplique la misma prueba que en el Problema 216 para mostrar (con el etiquetado habitual) que:

$$$$cosa=cosb·cosc+pecadob·pecadoc·cosA

La otra forma de la Regla del Coseno es “dual” a la del Problema 217 (con arcos y ángulos intercambiados, y con un inesperado cambio de signo), a saber:

$$$$cosA=−cosB·cosC+pecadoB·pecadoC·cosa

Los dos siguientes problemas derivan una versión de la Regla Sinoidal para triángulos esféricos.

Problema 218 Deje que Δ ABC sea un triángulo en la esfera unitaria con un ángulo recto en A. Deje que Aʹ se asiente sobre el arco BA producido, y Cʹ se encuentre sobre el arco BC producido de manera que ΔA'BCʹ esté en ángulo recto en Aʹ. Con el etiquetado habitual (de manera que x denota la longitud del lado de un triángulo opuesto al vértice X, con arco AC = b, arco BC = a, arco BCʹ = aʹ, y arco A'Cʹ = bʹ, probar que:

$$\frac{}{}$$pecadob pecadoa = pecado b ′ pecado a ′

Problema 219 Deje que Δ ABC sea un triángulo general en la esfera unitaria con el etiquetado habitual (de modo que x denota la longitud del lado de un triángulo opuesto al vértice X, y X se usa tanto para etiquetar el vértice como para denotar el tamaño del ángulo en X). Demostrar que:

$$\frac{}{}$$pecadoa pecadoA = pecadob pecadoB = pecadoc pecadoC .

Es natural preguntar (cf Problema 32):

“Si las tres proporciones en el Problema 219 son todas iguales, ¿a qué es lo que son todas iguales?”

La respuesta puede no parecer al principio tan agradable como en el caso bidimensional euclidiano: una respuesta es que todos son iguales a

$$\frac{\mathrm{pecado}a·\mathrm{pecado}b·\mathrm{pecado}c}{\text{volumen del tetraedro}}$$OABC .

Observe que esto hace eco del resultado en el plano euclidiano, donde las tres proporciones en la Regla Sinusoidal son todas iguales a 2R, y

$$2R=\frac{}{}$$abc 2(área deΔABC) .