6.2: 'Inducción matemática' e 'inducción científica'

La idea de una “lista que continúa para siempre” surgió en la secuencia de poderes del 4 allá por el Problema 16, donde preguntamos

Hacer las dos secuencias derivadas de poderes sucesivos de 4:

• los dígitos iniciales:

$$\begin{array}{cc}& \mathrm{4,\; 2,\; 6,\; 2,\; 1,\; 4,\; 2,\; 6,\; 2,\; 1,\; 4,...,}\hfill \end{array}$$

y

• los dígitos de las unidades:

$$\begin{array}{cc}& \mathrm{4,\; 6,\; 4,\; 6,\; 4,\; 6,\; 4,\; 6,...,}\hfill \end{array}$$

realmente “repiten para siempre” como parecen?

Este ejemplo ilustra el concepto erróneo más básico que a veces surge con respecto a la inducción matemática, es decir, confundirla con el tipo de manchado de patrones que a menudo se llama 'inducción científica'.

En la ciencia (como en la vida cotidiana), habitualmente inferimos que algo que se observa que ocurre repetidamente, aparentemente sin excepción (como el sol que sale cada mañana; o la estrella polar que parece estar fijada en el cielo nocturno) puede tomarse como un “hecho”. Este tipo de “inducción científica” tiene perfecto sentido a la hora de tratar de entender el mundo que nos rodea —aunque la inferencia no esté justificada en un sentido estrictamente lógico—.

La prueba por inducción matemática es bastante diferente. Es cierto que muchas veces se requieren conjeturas inteligentes en una etapa preliminar para hacer una conjetura que nos permita formular con precisión qué es lo que deberíamos estar tratando de probar. Pero esta suposición inicial está separada de la prueba, que sigue siendo una construcción estrictamente deductiva. Por ejemplo,

el hecho de que “1”,”$1+3$”,”$1+3+5$”,”$1+3+5+7$”, etc. todos parecen ser cuadrados sucesivos nos da una idea de que quizás la identidad

P (n):$1+3+5+\cdots +($2n-1)=n2
es verdad, para todos$n\ge 1$.

Esta suposición es necesaria antes de que podamos iniciar la prueba por inducción matemática. Pero el proceso de adivinación no forma parte de la prueba. Y hasta que construyamos la “prueba por inducción” (Problema 231), no podemos estar seguros de que nuestra suposición sea correcta.

El peligro de confundir la 'inducción matemática' y la 'inducción científica' puede resaltarse en cierta medida si consideramos la prueba del Problema 76 anterior de que “siempre podemos construir números primos cada vez mayores”, y contrastarlo con una observación (ver Problema 228 abajo) que a menudo se utiliza en su lugar —incluso por autores que deberían conocer mejor.

En el Problema 76 dimos una construcción estricta por inducción matemática:

• primero mostramos cómo comenzar (con$p_1=2$decir);
• luego mostramos cómo, dada cualquier lista finita de números primos distintos$p_1,p_2,p_3,...,p_k$, siempre es posible construir un nuevo prime$p_{k+1}$(como el número primo más pequeño dividiendo$N_k=p_1\times p_2\times p_3\times \cdots \times p_k+1$).

Esta construcción fue redactada con mucho cuidado, para ser lógicamente correcta.

Por el contrario, a menudo se encuentran lecciones, libros y sitios web que presentan la idea esencial en la prueba anterior, pero la “simplifican” en una forma que fomenta el “patrón—manchado” antimatemático que también es fácilmente malinterpretado. Por ejemplo, algunos libros presentan la secuencia

$$\begin{array}{cc}& (2;)2+1=\mathbf{3};2\times 3+1=\mathbf{7};2\times 3\times 5+1=\mathbf{31};2\times 3\times 5\times 7+1=\mathbf{211};...\hfill \end{array}$$

como una forma de generar cada vez más primos.

Problema 228

a) ¿Son 3, 7, 31, 211 todos primos?

b)$2\times 3\times 5\times 7\times 11+1$prime?

c) Es$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13+1$prime? A

Ya hemos conocido dos excelentes ejemplos históricos de los peligros del patrón plausible: el manchado en relación con el Problema 118. Ahí demostraste que:

“si$$2n-1es primo, entonces n debe ser primo”.

Entonces mostraste que$2^2-1$,$2^3-1$,$2^5-1$,$2^7-1$son todos primos, pero eso$2^{11}-1=2047=23\times 89$no lo es. Esto subraya la necesidad de evitar saltar a conclusiones (posiblemente falsas), y nunca confundir una declaración con su conversación.

En el mismo problema demostraste que:

“si$a^b+1$es ser prime y$a\ne 1$, entonces a debe ser parejo, y b debe ser un poder de 2.”

Luego miró la familia más simple de tales primos candidatos a saber, la secuencia de números de Fermat$f_n$:

$$\begin{array}{cc}& f_0=2^1+1=3,f_1=2^2+1=5,f_2=2^4+1=17,f_3=2^8+1=257,f_4=2^{16}+1.\hfill \end{array}$$

Resultó que, aunque fo,$f_0,f_1,f_2,f_3,f_4$son todos primos, y aunque Fermat (1601—1665) afirmó (en una carta a Marin Mersenne (1588—1648)) que todos los números de Fermat$f_n$son prime, ¡todavía tenemos que descubrir un sexto Fermat prime!

Hay momentos en los que un matemático puede parecer adivinar un resultado general sobre la base de lo que parece una evidencia muy modesta (como notar que parece ser cierto en unos pocos casos pequeños). Tales “conjeturas informadas” casi siempre están enraizadas en otras experiencias, o en algún rasgo desapercibido de la situación particular, o en alguna analogía llamativa: es decir, un patrón aparente toca la fibra por razones que van mucho más allá de los meros números. Sin embargo, aquellos con menos experiencia necesitan darse cuenta de que los patrones o tendencias aparentes a menudo no son más que accidentes numéricos.

La ecuación de Pell (John Pell (1611—1685)) proporciona algunos ejemplos dramáticos.

• Si evaluamos la expresión”$n^2+1$” para$n=\mathrm{1,2}\mathrm{,\; 3},...$, podemos notar que las salidas$\mathrm{2,5}\mathrm{,\; 10}\mathrm{,\; 17}\mathrm{,\; 26},...$nunca dar un cuadrado perfecto. Y esto es de esperar, ya que la siguiente plaza tras$n^2$es

$\begin{array}{cc}& {(n+1)}^2=n^2+2n+1,\hfill \end{array}$

y esto siempre es mayor que$n^2+1$.

• Sin embargo, si evaluamos”$991n^2+1$” para$n=\mathrm{1,\; 2,\; 3,...,}$podemos observar que las salidas nunca parecen incluir un cuadrado perfecto. Pero esta vez no hay ninguna razón obvia por la que esto deba ser así —así que podemos anticipar que esto es simplemente un accidente de números “pequeños”. Y deberíamos dudar en cambiar nuestra visión, aunque este accidente continúe ocurriendo por un tiempo muy, muy, muy largo: el valor más pequeño de n para el cual$$991n2+1da lugar a un cuadrado perfecto al parecer es

$\begin{array}{cc}& n=12055735790331359447442538767.\hfill \end{array}$