6.1: Comparando geometría y aritmética

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Cuando los alumnos se encuentran por primera vez con la “prueba por inducción”, a menudo se explica de una manera que los deja sintiéndose claramente incómodos, porque parece romper el tabú fundamental:

nunca asumas lo que intentas probar.

Esto tiende a dejar al principiante en la posición descrita por la cita de D'Alembert al inicio del capítulo: pueden “seguir adelante” con la esperanza de que “la comprensión siga”, pero a menudo queda una duda. Por lo que animamos a los lectores que ya han encontrado pruebas por inducción a dar un paso atrás, y a tratar de entender de nuevo cómo funciona realmente. Esto puede requerir que estudies las soluciones (Sección 6.10), y estar preparado para aprender a escribir pruebas con más cuidado que, y bastante diferente a, a lo que estás acostumbrado.

Cuando deseamos probar un resultado general que involucra un parámetro n, donde n puede ser cualquier entero positivo, realmente estamos tratando de probar infinitamente muchos resultados a la vez. Si intentáramos probar a su vez tal colección de resultados, “uno a la vez”, no sólo nunca terminaríamos, apenas empezaríamos (ya que completar el primer millón, o mil millones, casos deja tanto deshecho como al inicio). Entonces nuestra única esperanza es:

pensar en la secuencia de aserciones de manera uniforme, como consistente en infinitamente muchas declaraciones P (n) diferentes, pero similares, una para cada n por separado (con cada declaración dependiendo de una n particular); y
reconocer que el resultado global a probar no es sólo una sola declaración P (n), sino la afirmación compuesta de que “P (n) es verdadera, para todos $n \geq 1$ ”.

Una vez formulado de esta manera el resultado a probar, podemos

usar las manos desnudas para verificar que la primera declaración sea verdadera (generalmente P (1)); y
tratar de encontrar alguna manera de demostrarlo,

— en cuanto sabemos que “P (k) es cierto, para algunos (particular, pero no especificado) $k \geq 1$ ”,

— podemos demostrar de manera uniforme que el siguiente resultado $P (k + 1)$ es entonces automáticamente cierto.

Habiendo implementado el primero de los dos pasos de inducción, sabemos que P (1) es cierto.

Entonces entra en juego el segundo punto de viñeta anterior y nos asegura que (ya que sabemos que P (1) es cierto), P (2) debe ser cierto.

Y una vez que sabemos que P (2) es cierto, el segundo punto de viñeta nos asegura que P (3) también es cierto.

Y una vez que sabemos que P (3) es cierto, el segundo punto de viñeta nos asegura que P (4) también es cierto.

Y así sucesivamente para siempre.

Entonces podemos concluir que toda la secuencia de infinitamente muchas afirmaciones son todas ciertas, a saber, que:

“toda declaración P (n) es verdadera”,

o que

“P (n) es cierto, para todos $n \geq 1$ .”

En otras palabras, si definimos S como el conjunto de enteros positivos n para los que la sentencia P (n) es verdadera, entonces S contiene el elemento “1”, y siempre que k esté en S, así es $k + 1$ ; de ahí que por el Principio de Inducción Matemática sabemos que S contiene todos los enteros positivos.

En esta etapa debemos reconocer una importante estratagema didáctica (más que matemática) en nuestro diseño recomendado aquí. Es importante subrayar la distinción entre

i) las declaraciones individuales P (n) que son los ingredientes separados de la declaración general que se probará, a saber:

“P (n) es cierto, para todos $n \geq 1$ ”,

donde infinitamente muchas declaraciones individuales se han comprimido en una sola declaración compuesta, y

(ii) la etapa de inducción, donde

— supongamos que se sabe que algún P (k) particular es cierto, y

— mostrar que la siguiente declaración $P (k + 1)$ es entonces automáticamente cierto.

Para subrayar esta distinción utilizamos consistentemente una “variable ficticio” diferente (es decir, “k”) en este último caso. Esta distinción es una estratagema psicológica más que una necesidad lógica. No obstante, recomendamos que los lectores imiten esta distinción (al menos inicialmente).