6.5: Algunas desigualdades clásicas

El hecho de que nuestra fórmula para la suma de una serie geométrica nos dé una suma exacta es muy inusual -y por lo tanto muy preciosa. Para casi todas las demás series infinitas -no importa cuán naturales, o hermosas puedan parecer- puedes estar bastante seguro de que no existe una fórmula exacta obvia para el valor de la suma. De ahí que en aquellos casos en los que por casualidad conocemos el valor exacto, se puede inferir que se necesitaron los mejores esfuerzos de algunas de las mejores mentes matemáticas para descubrir lo que sabemos.

Una forma en la que podemos avanzar un poco en la estimación del valor de una serie infinita es obtener una desigualdad comparando la suma dada con una serie geométrica.

Problema 246

a) i) Explicar por qué

$\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2^2}$,

por lo$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}<\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}$.

ii) Explicar por qué$\frac{1}{5^2},\frac{1}{6^2},\frac{1}{7^2}$son todos$<\frac{1}{4^2}$, entonces$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}<\frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}.$

(b) Utilizar la parte (a) para probar que

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<2,\; para\; todos$ $$$n⩾1.

c) Concluir que la suma sin fin

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +$$1n2+⋯(para siempre)

tiene un valor definido, y que este valor se encuentra en algún lugar entre$\frac{17}{12}$y 2.

El siguiente problema presenta una manera bastante diferente de derivar una igualdad similar. Una vez que se ha adivinado o dado la desigualdad relevante (ver Problema 247 (a) y (b)), la prueba por inducción matemática suele ser relativamente sencilla. Y después de pensar un poco sobre el Problema 246, debería quedar claro que gran parte de la inexactitud en la desigualdad general surge de las aproximaciones bastante pobres hechas para los primeros términos (cuando n = 1, cuando n = 2, cuando n = 3, etc.); de ahí por manteniendo los primeros términos tal como están, y solo aproximando para$$n⩾2, o$$n⩾3, o$$n⩾4, a menudo podemos demostrar un resultado más nítido.

Problema 247

a) Demostrar por inducción que$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{{\mathit{n}}^2}⩽2-\frac{1}{\mathit{n}}$, para todos$$n⩾1.

b) Demostrar por inducción que$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{}{}$1n2<1.68−1npara todos$$n⩾4.

La suma infinita

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{}{}$1n2+⋯(para siempre)

es un clásico histórico, y tiene muchas historias instructivas que contar. Recordemos que, en Problemas 54, 62, 63, 236, 237, 238 encontraste fórmulas cerradas para las sumas

$1+2+3+\cdots +\mathit{n}$${\mathrm{}}^{}$

$1^2+2^2+3^2+\cdots +{\mathit{n}}^2$${\mathrm{}}^{}$

$1^3+2^3+3^3+\cdots +{\mathit{n}}^3$

y para las sumas$\mathrm{}$

$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +(\mathit{n}-1)\mathit{n}$$\mathrm{}$

$1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+\cdots +(\mathit{n}-2)(\mathit{n}-1)\mathit{n}$.

Cada una de estas expresiones tiene una sensación “natural”, y nos invita a creer que debe haber una respuesta compacta igualmente natural que represente la suma. En Problema 235 llevaste esta idea un paso más allá al encontrar una hermosa expresión cerrada para la suma

$\frac{1}{1·2}+\frac{1}{2·3}+\frac{1}{3·4}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}(\mathit{n}+1)}=1-\frac{1}{\mathit{n}+1}$

Cuando comenzamos a considerar series infinitas, encontramos la elegante fórmula cerrada

$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots +{\mathit{r}}^{\mathit{n}}=\frac{1}{1-\mathit{r}}-\frac{{\mathit{r}}^{\mathit{n}+1}}{1-\mathit{r}}$.

Luego observamos que el término final sobre el RHS podría ser visto como un “término de error”, indicando la cantidad en que el LHS difiere de$\frac{1}{1-\mathit{r}}$, y notó que, para cualquier valor dado de r entre −1 y +1, este término de error “tiende hacia 0 a medida que aumenta la potencia n”. Interpretamos esto como una indicación de que se podría asignar un valor a la suma sin fin

$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots$(para siempre) =$\frac{1}{1-\mathit{r}}$.

De la misma manera, en la elegante fórmula cerrada

$\frac{1}{1·2}+\frac{1}{2·3}+\frac{1}{3·4}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}(\mathit{n}+1)}=1-\frac{1}{\mathit{n}+1}$

el término final en el RHS indica la cantidad en la que la suma finita en el LHS difiere de 1; y dado que este “término de error” tiende hacia 0 a medida que n aumenta, podemos asignar un valor a la suma sin fin

$\frac{1}{1·2}+\frac{1}{2·3}+\frac{1}{3·4}+\cdots$(para siempre) = 1.

Por lo tanto, es natural preguntarse si otras series infinitas, como

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{}{}$1n2+⋯(para siempre)

también se le puede asignar algún valor finito natural. Y dado que la serie es puramente numérica (sin ningún parámetro variable, como la “r” en la fórmula de la serie geométrica), esta respuesta debería ser una respuesta estrictamente numérica. Y debería ser exacto -aunque lo único que hemos logrado demostrar hasta ahora (en Problemas 246 y 247) es que esta respuesta numérica se encuentra en algún lugar entre$\frac{17}{12}$y 1.68.

Esta pregunta surgió naturalmente a mediados del siglo XVII, cuando los matemáticos empezaban a explorar todo tipo de series infinitas (o “sumas que continúan para siempre”). Con un poco más de trabajo en el espíritu de Problemas 246 y 247 se podría encontrar un valor aproximado mucho más preciso. Pero lo que se quiere es una expresión exacta, no una aproximación decimal poco esclarecedora. Esta aspiración tiene una base matemática seria, y no es sólo alguna preferencia purista por la elegancia. El valor decimal real es muy cercano a

$1.649934\cdots$.

Pero esto no transmite información estructural. Uno se queda sin ninguna pista de por qué la suma tiene este valor. En contraste, la forma eventual de la expresión exacta sugiere conexiones cuya significación sigue siendo de interés hasta el día de hoy.

Las mentes más grandes del siglo XVII y principios del XVIII intentaron encontrar un valor exacto para la suma infinita -y fracasaron. El problema se conoció como el problema de Basilea (después de Jakob Bernoulli (1654-1705) quien popularizó el problema en 1689, uno de varios miembros de la familia Bernoulli que estaban todos asociados con la Universidad de Basilea). El problema fue finalmente resuelto en 1735 -con un estilo verdaderamente impresionante- por el joven Leonhard Euler (1707-1783) (quien en ese momento también estaba en Basilea). La respuesta

$\frac{}{}$π26

ilustra la última frase del párrafo anterior de manera inesperada, que todavía estamos tratando de entender.

En el siguiente problema te invitan a aplicar ideas similares a una serie aún más importante. La parte (a) proporciona un primer análisis relativamente crudo. La parte (b) ataca la misma pregunta; pero lo hace usando álgebra e inducción (en lugar de la fórmula para la suma de una serie geométrica) de una manera que luego se refina aún más en la parte (c).

Problema 248

a) i) Elegir una r adecuada y demostrar que$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}<1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+\cdots +{\mathit{r}}^{\mathit{n}-1}<2$.

ii) Concluir que

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}<3$para cada$$n⩾0,

y de ahí que la suma interminable

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}+\cdots$(para siempre)

se le puede asignar un valor “e” satisfactorio$2<$e⩽3.

b) i) Demostrar por inducción que

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}⩽3-\frac{1}{\mathit{n}.\mathit{n}!}$, para todos$$n⩾1.

ii) Utilizar la parte i) para concluir que la suma sin fin

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}+\cdots$(para siempre)

se le puede asignar un valor definido “e”, y que este valor se encuentra en algún lugar entre 2.5 y 3.

(c) (Puede ser útil leer la Nota al inicio de la solución a la parte (c) antes de intentar las partes (c), (d).)

i) Demostrar por inducción que$\frac{\mathrm{}}{}$

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}⩽2.75-\frac{1}{\mathit{n}.\mathit{n}!}$para todos$$n⩾2.

ii) Utilizar la parte i) para concluir que la suma sin fin

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}+\cdots$(para siempre)

se le puede asignar un valor definido “e”, y que este valor se encuentra en algún lugar entre 2.6 y 2.75.

d) i) Demostrar por inducción que

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}⩽2.722\cdots (\mathrm{para\; siempre})-\frac{1}{\mathit{n}.\mathit{n}!},$foralLn⩾3.

ii) Utilizar la parte i) para concluir que la suma sin fin

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{\mathit{n}!}+\cdots$(para siempre)

se le puede asignar un valor definido “e”, y que este valor se encuentra en algún lugar entre 2.708 y 2.7222... (para siempre).

Terminamos esta sección con una desigualdad más en el espíritu de esta sección, y dos desigualdades bastante distintas cuya significación se aclarará más adelante.

Problema 249 Demostrar por inducción que

$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +$1n⩾n, forall$$n⩾1.

Problema 250 Que a, b sean números reales tales que$\mathit{a}\ne \mathit{b}$, y$\mathit{a}+\mathit{b}>0$. Demostrar por inducción que

$2^{\mathit{n}-1}\left({\mathit{a}}^{\mathit{n}}+\right)$bn⩾(a+b)n, para todos$$n⩾1.

Problema 251 Dejar x ser cualquier número real$⩾-1$. Demostrar por inducción que

$(1+\mathit{x}{)}^{}$n⩾1+nx, para todos$$n⩾1