6.4: Serie geométrica infinita

Las matemáticas elementales se tratan predominantemente de ecuaciones e identidades. Pero muchas veces es imposible capturar relaciones matemáticas importantes en forma de ecuaciones exactas. Esta es una razón por la que las desigualdades se vuelven más centrales a medida que avanzamos; otra razón es porque las desigualdades nos permiten hacer afirmaciones precisas sobre ciertos procesos infinitos.

Uno de los procesos infinitos más simples surge en la fórmula para la “suma” de una serie geométrica infinita:

$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots +{\mathit{r}}^{\mathit{n}}+\cdots$(para siempre).

A pesar del uso de los signos “+” de aspecto familiar, esto no puede ser una adición ordinaria. La suma ordinaria se define para dos summands; y repitiendo el proceso, podemos agregar tres summands (gracias en parte a la ley asociativa de adición). Luego podemos agregar cuatro, o cualquier número finito de summands. Pero esto no nos permite “sumar” infinitamente muchos términos como en la suma anterior. Para redondear esto combinamos suma ordinaria (de finitamente muchos términos) y desigualdades simples para encontrar una nueva forma de darle sentido a la “suma interminable” anterior. En Problema 116 utilizó la factorización

${\mathit{r}}^{\mathit{n}+1}-1=(\mathit{r}-1)\left(1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots +{\mathit{r}}^{\mathit{n}}\right)$

para derivar la fórmula cerrada:

$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots +{\mathit{r}}^{\mathit{n}}=\frac{1-{\mathit{r}}^{\mathit{n}+1}}{1-\mathit{r}}$.

Esta fórmula para la suma de una serie geométrica finita se puede reescribir en la forma

$$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots +{\mathit{r}}^{\mathit{n}}=\frac{1}{1-\mathit{r}}-\frac{{\mathit{r}}^{\mathit{n}+1}}{1-\mathit{r}}$$

A primera vista, ¡esto puede no parecer un movimiento inteligente! Sin embargo, separa la parte que es independiente de n de la parte en el RHS que depende de n; y nos permite ver cómo se comporta la segunda parte a medida que n se agranda:

cuando$|\mathit{r}|<1$, las potencias sucesivas de r se hacen cada vez más pequeñas y convergen rápidamente hacia 0,

por lo que la forma anterior de la identidad podrá interpretarse en el sentido de que tiene la forma:

$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots +{\mathit{r}}^{\mathit{n}}=\frac{1}{1-\mathit{r}}$— (un “término de error”).

Por otra parte si$|\mathit{r}|<1$, entonces el “término de error” converge hacia 0 como$\mathit{n}\to \infty$. En particular, si$1>\mathit{r}>0$, el término de error siempre es positivo, así que hemos demostrado, para todos$$n⩾1:

$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots +{\mathit{r}}^{\mathit{n}}<\frac{1}{1-\mathit{r}}$

y

la diferencia entre los dos lados tiende rápidamente a 0 como$\mathit{n}\to \infty$.

Luego hacemos el paso natural (pero audaz) para interpretar esto, cuando$|\mathit{r}|<1$, como ofrecer una nueva definición que explica precisamente lo que se entiende por la suma interminable

$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots$(para siempre),

declarando que, cuando$|\mathit{r}|<1$,

$1+\mathit{r}+{\mathit{r}}^2+{\mathit{r}}^3+\cdots$(para siempre) =$\frac{1}{1-\mathit{r}}$.

De manera más general, si multiplicamos cada término por a, vemos que

$\mathit{a}+\mathit{ar}+{}^{}$ar2+ar3+⋯(para siempre) =$\frac{\mathit{a}}{1-\mathit{r}}$.

Problema 243 Interpreta el decimal recurrente 0.037037037 ··· (para siempre) como una serie geométrica infinita, y de ahí encontrar su valor como fracción.

Problema 244 Interpretar los siguientes procesos infinitos como series geométricas infinitas.

(a) Se corta una torta cuadrada en cuatro cuartos, con dos cortes perpendiculares a través del centro, paralelos a los lados. Tres personas reciben un cuarto cada una, dejando un pedazo de pastel cuadrado más pequeño. Esta pieza más pequeña se corta entonces de la misma manera en cuatro cuartos, y cada persona recibe una pieza (incluso más pequeña), dejando una pieza cuadrada residual aún más pequeña, que luego se corta de la misma manera. Y así sucesivamente para siempre. ¿Qué fracción del pastel original recibe cada persona como resultado de este interminable proceso?

(b) Te doy un pastel entero. Medio minuto después, me devuelves la mitad del pastel. Un cuarto de minuto después, te devuelvo una cuarta parte del pastel. Un octavo de minuto después me devuelves una octava parte del pastel. Y así sucesivamente. Sumando los intervalos de tiempo sucesivos, vemos que

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$(para siempre) = 1,

por lo que todo el proceso se completa exactamente en 1 minuto. ¿Cuánto del pastel tengo al final, y cuánto tienes?

Problema 245 Cuando John von Neumann (1903-1957) estaba gravemente enfermo en el hospital, un visitante intentó (bastante insensiblemente) distraerlo con el siguiente problema de matemáticas elementales.

¿Has escuchado el de los dos trenes y la mosca? Dos trenes están en curso de colisión en la misma vía, cada uno viajando a 30 km/h Una súper mosca comienza en el Tren A cuando los trenes están a 120 km de distancia, y vuela a una velocidad constante de 50 km/h, del Tren A al Tren B, luego de regreso al Tren A, y así sucesivamente. Eventualmente los dos trenes chocan y la mosca es aplastada. ¿Hasta dónde viajó la mosca antes de este triste desenlace?