5.1: Introducción

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Ya sea que dos niños compartan una barra de chocolate o una pareja dividiendo activos durante un divorcio, hay momentos en la vida en los que los elementos de valor necesitan dividirse entre dos o más partes. Si bien algunos casos pueden manejarse por mutuo acuerdo o mediación, en otros las partes son adversarias o no pueden llegar a una decisión todos sienten que es justa. En estos casos, se pueden utilizar métodos de división justa.

Método de división justa

Un método de división justa es un procedimiento que se puede seguir y que resultará en una división de artículos de manera que cada parte sienta que ha recibido su parte justa. Para que estos métodos funcionen, tenemos que hacer algunas suposiciones:

Las partes no cooperan, por lo que el método debe operar sin comunicación entre las partes.
Los partidos no tienen conocimiento de lo que les gusta a los demás jugadores (sus valoraciones).
Las partes actúan racionalmente, es decir, actúan en su mejor interés, y no toman decisiones emocionales.
El método debería permitir a las partes hacer una división justa sin requerir un árbitro externo u otra intervención.

Con estos métodos, cada parte tendrá derecho a alguna parte justa. Cuando hay N partidos dividiendo algo por igual, esa parte justa sería 1/ N. Por ejemplo, si hubiera 4 partidos, cada uno tendría derecho a una parte justa$\frac{1}{4}=25\%$ del conjunto. Más específicamente, tienen derecho a una acción que valoran en su conjunto.$25\%$

Fair Share

Cuando$N$ los partidos dividen algo por igual, la parte justa de cada parte es la cantidad a la que tienen derecho. Como fracción, será$\frac{1}{N}$

Cabe señalar que un método de división justa simplemente necesita garantizar que cada parte recibirá una acción que vea como justa. Una división justa básica no necesita estar libre de envidia; una división libre de envidia es aquella en la que ningún partido preferiría la parte de otro partido sobre la suya propia. Una división justa básica tampoco necesita ser Pareto óptima; una división óptima de Pareto es aquella en la que ninguna otra división mejoraría a un participante sin empeorar a alguien más. Tampoco tiene que ser equitativa la división justa; una división equitativa es aquella en la que la proporción del conjunto que recibe cada parte, juzgada por su propia valoración, es la misma. Básicamente, una división justa simple no tiene que ser la mejor división posible, solo tiene que darle a cada parte su parte justa.

Ejemplo 1

Supongamos que 4 compañeros de clase están dividiendo por igual una$\$12$ pizza que es mitad pepperoni, mitad vegetariana que alguien más les compró. ¿Cuál es la parte justa de cada persona?

Solución

Ya que todos están dividiendo la pizza por igual, la parte justa de cada persona es$\$3$, o piezas que valoran a partir$25\%$ de la pizza.

Es importante tener en cuenta que cada parte podría valorar porciones del conjunto de manera diferente. Por ejemplo, un vegetariano probablemente pondría valor cero a la mitad de pepperoni de la pizza.

Ejemplo 2

Supongamos que 4 compañeros de clase están dividiendo por igual una$\$12$ pizza que es mitad pepperoni, mitad vegetariana. A Steve le gusta el pepperoni el doble que el vegetariano. Describe una parte justa para Steve.

Solución

Valoraría la mitad vegetariana como valía$\$4$ y el pepperoni la mitad como$\$8$, el doble. Si la pizza se dividiera en 4 rebanadas de pepperoni y 4 rebanadas de verduras, valoraría una rebanada de pepperoni como valía$\$2$, y una rebanada vegetariana como valía$\$1$.

Si no fuéramos capaces de adivinar los valores, podríamos tomar un enfoque más algebraico. Si Steve valora una rebanada de verduras por valor de x dólares, entonces valoraría una rebanada de pepperoni como valor$2x\text{ dollars }–\text{ twice as much}$. Cuatro rebanadas de verduras valdrían$4 \cdot x = 4x$ dólares, y 4 rebanadas de pepperoni valdrían$4 \cdot 2x = 8x$ dólares. En total, las ocho rebanadas valdrían$4x + 8x = 12x$ dólares. Ya que el valor total de la pizza era$\$12$, entonces$12x = \$12$. Resolviendo obtenemos$x = \$1$; el valor de una rebanada de verdura es$\$1$, y el valor de una rodaja de pepperoni es$2x = \$2$.

Una parte justa para Steve sería una rebanada de pepperoni y una rebanada de verdura ($\$2 + \$1 = \$3$valor), rodajas de$1\frac{1}{2}$ pepperoni ($1\frac{1}{2} \cdot \$2 = \$3$valor), 3 rebanadas de verduras ($3 \cdot \$1 = \$3$valor), o una variedad de posibilidades más complicadas.

Pruébalo ahora 1

Supongamos que Kim es otro compañero de clase que parte la pizza, pero Kim es vegetariana, así que no comerá pepperoni. Describe una parte justa para Kim.

Contestar: Kim valorará la mitad vegetariana de la pizza al valor total,$\$12$, y el pepperoni la mitad vale la pena$\$0$. Dado que una parte justa es$25\%$, una parte justa para Kim es una porción de verdura, que valorará en$\$3$. Por supuesto, Kim solo obtener una porción no parece realmente muy justo, pero si cada jugador tuviera la misma valoración que Kim, este sería el único resultado justo. Por suerte, si los compañeros de clase que parten la pizza son amigos, probablemente sean cooperativos, y hablarán sobre qué tipo de pizza les gusta.

Encontrarás que muchos ejemplos y ejercicios en este tema implican dividir los alimentos: dividir dulces, cortar pasteles, compartir pizza, etc. Esto puede hacer que este tema parezca algo trivial, pero en lugar de cortar un pastel, podríamos estar dibujando fronteras dividiendo a Alemania después de la Segunda Guerra Mundial. En lugar de dividir una bolsa de dulces, los hermanos podrían estar dividiendo las pertenencias de una herencia. Los matemáticos suelen caracterizar temas muy importantes y polémicos en términos de elementos simples como el pastel para separar cualquier influencia emocional del método matemático.

Debido a esto, nuestro requisito de que los jugadores no se comuniquen sobre sus preferencias puede parecer una tontería. Después de todo, ¿por qué cuatro compañeros de clase no hablarían sobre qué tipo de pizza les gusta si están dividiendo una pizza? Solo recuerda que en temas de política, negocios, finanzas, acuerdos de divorcio, etc. los jugadores suelen ser menos cooperativos y más preocupados por que los demás jugadores intenten obtener más de lo que les corresponde.

Existen dos amplias clasificaciones de los métodos de división justa: las que se aplican a los ítems continuamente divisibles y las que se aplican a los ítems discretamente divisibles. Los artículos continuamente divisibles son cosas que se pueden dividir en pedazos de cualquier tamaño, como dividir una barra de caramelo en dos pedazos o dibujar bordes para dividir un pedazo de tierra en parcelas más pequeñas. Los artículos discretamente divisibles son cuando estás dividiendo varios artículos que no se pueden romper fácilmente, como bienes en un divorcio (casa, automóvil, muebles, etc).