13.4: Cardinalidad
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Muchas veces nos interesa el número de ítems en un conjunto o subconjunto. A esto se le llama la cardinalidad del conjunto.
El número de elementos en un conjunto es la cardinalidad de ese conjunto.
La cardinalidad del conjunto a menudo\(A\) se anota como\(|A|\) o\(n(A)\)
Let\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) y\(B=\{2,4,6,8\}\)
¿Cuál es la cardinalidad de\(B ? A \cup B, A \cap B ?\)
Solución
La cardinalidad de\(B\) es\(4,\) ya que hay 4 elementos en el conjunto.
La cardinalidad de\(A \cup B\) es\(7,\) ya\(A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,8\},\) que contiene 7 elementos.
La cardinalidad de\(A \cap B\) es 3, ya que\(A \cap B=\{2,4,6\}\), que contiene 3 elementos.
¿Cuál es la cardinalidad\(P=\) del conjunto de nombres ingleses para los meses del año?
Solución
La cardinalidad de este conjunto es\(12,\) ya que hay 12 meses en el año.
A veces nos puede interesar la cardinalidad de la unión o intersección de conjuntos, pero no conocer los elementos reales de cada conjunto. Esto es común en la topografía.
Una encuesta pregunta a 200 personas “¿Qué bebida bebes por la mañana?”, y ofrece opciones:
- Solo té
- Solo café
- Tanto el café como el té
Supongamos que 20 reportan solo té, 80 reportan solo café, 40 reportan ambos. ¿Cuántas personas toman té por la mañana? ¿Cuántas personas no beben ni té ni café?
Solución
Esta pregunta se puede responder más fácilmente creando un diagrama de Venn. Podemos ver que podemos encontrar a las personas que toman té agregando a quienes solo beben té a quienes beben tanto: 60 personas.
También podemos ver que los que no beben ni son los que no están contenidos en ninguna de las otras tres agrupaciones, por lo que podemos contarlos restando de la cardinalidad del conjunto universal, 200.
\(200-20-80-40=60\)personas que no beben tampoco.
Una encuesta pregunta: Qué servicios en línea has utilizado en el último mes:
- Haber utilizado ambos
Los resultados muestran que 40% de los encuestados han usado Twitter, 70% han usado Facebook y 20% han usado ambos. ¿Cuántas personas no han usado ni Twitter ni Facebook?
Solución
\(T\)Sea el conjunto de todas las personas que han usado Twitter, y\(F\) ser el conjunto de todas las personas que han usado Facebook. Observe que si bien la cardinalidad de\(F\) es\(70 \%\) y la cardinalidad de\(T\) es\(40 \%\), la cardinalidad de no\(F \cup T\) es simplemente\(70 \%+40 \%\), ya que eso contaría a quienes utilizan ambos servicios dos veces. Para encontrar la cardinalidad de\(F \cup T\), podemos sumar la cardinalidad de\(F\) y la cardinalidad de\(T\), luego restar aquellos en intersección que hemos contado dos veces. En símbolos,
\(\mathrm{n}(F \cup T)=\mathrm{n}(F)+\mathrm{n}(T)-\mathrm{n}(F \cap T)\)
\(\mathrm{n}(F \cup T)=70 \%+40 \%-20 \%=90 \%\)
Ahora bien, para encontrar cuántas personas no han utilizado ninguno de los dos servicios, estamos buscando la cardinalidad de\((F \cup T)^{c}\). ya que el conjunto universal contiene\(100 \%\) de personas y la cardinalidad de\(F \cup T=90 \%\), la cardinalidad de\((F \cup 7)^{c}\) debe ser la otra\(10 \%\)
El ejemplo anterior ilustraba dos propiedades importantes
\(\mathrm{n}(A \cup B)=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)-\mathrm{n}(A \cap B)\)
\(n\left(A^{\circ}\right)=n(U)-n(A)\)
Observe que la primera propiedad también se puede escribir en forma equivalente resolviendo para la cardinalidad de la intersección:
\(\mathrm{n}(A \cap B)=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)-\mathrm{n}(A \cup B)\)
Agregar texto aquí.Se encuestó a cincuenta estudiantes, y se les preguntó si estaban tomando un curso de ciencias sociales (SS), humanidades (HM) o ciencias naturales (NS) al trimestre siguiente.
\(\begin{array}{ll} \text{21 were taking a SS course} & \text{26 were taking a HM course} \\ \text{19 were taking a NS course} & \text{9 were taking SS and HM} \\ \text{7 were taking SS and NS} & \text{10 were taking HM and NS} \\ \text{3 were taking all three} & \text{7 were taking none} \end{array}\)
¿Cuántos alumnos solo están tomando un curso de SS?
Solución
Podría ser útil mirar un diagrama de Venn.
A partir de los datos dados, sabemos que hay 3 estudiantes en la región\(e\) y 7 estudiantes en la región\(h\)
ya que 7 alumnos estaban tomando un\(S S\) y\(N S\) curso, lo sabemos\(n(d)+n(e)=7\). ya que sabemos que hay 3 alumnos en la región 3, debe haber
\(7-3=4\) alumnos en la región\(d\)
De igual manera, ya que hay 10 alumnos cursando\(\mathrm{HM}\) y\(\mathrm{NS}\), que incluye regiones\(e\) y\(f\), debe haber
\(10-3=7\)estudiantes en la región\(f\)
Ya que 9 alumnos estaban tomando\(\mathrm{SS}\) y\(\mathrm{HM}\), debe haber\(9-3=6\) alumnos en región\(b\)
Ahora, sabemos que 21 alumnos estaban tomando un curso de SS. Esto incluye a estudiantes de regiones\(a, b, d,\)\(e .\) y como conocemos el número de estudiantes en todos menos región\(a,\) podemos determinar que\(21-6-4-3=8\) los estudiantes están en la región\(a\)
8 alumnos están tomando solamente un curso de SS.
Ciento cincuenta personas fueron encuestadas y se les preguntó si creían en ovnis, fantasmas y Bigfoot.
\(\begin{array}{ll} \text{43 believed in UFOs} & \text{44 believed in ghosts} \\ \text{25 believed in Bigfoot} & \text{10 believed in UFOs and ghosts} \\ \text{8 believed in ghosts and Bigfoot} & \text{5 believed in UFOs and Bigfoot} \\ \text{2 believed in all three} & \text{} \end{array}\)
¿Cuántas personas encuestadas creían en al menos una de estas cosas?
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Comenzando por la intersección de los tres círculos, trabajamos nuestra salida. ya que 10 personas creen en ovnis y fantasmas, y 2 creen en los tres, eso deja 8 que creen solo en ovnis y fantasmas. Trabajamos nuestra salida, llenando todas las regiones. Una vez que tenemos, podemos sumar todas esas regiones, consiguiendo 91 personas en la unión de los tres conjuntos. Esto deja\(150-91=59\) a quien no cree en ninguno.