1.4: Aplicaciones
- Page ID
- 113601
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)En esta sección, aprenderá a usar funciones lineales para modelar aplicaciones del mundo real
Ahora que hemos aprendido a determinar ecuaciones de líneas, llegamos a aplicar estas ideas en una variedad de situaciones de la vida real.
Lea atentamente el problema. Destacar información importante. Lleve un registro de qué valores corresponden a la variable independiente (x) y cuáles corresponden a la variable dependiente (y).
Un servicio de taxi cobra $0.50 por milla más una tarifa plana de $5. ¿Cuál será el costo de viajar 20 millas? ¿Cuál será el costo de viajar\(x\) millas?
Solución
\(x\)= distancia recorrida, en millas y\(y\) = costo en dólares
El costo de viajar 20 millas es
\[y = (0.50)(20) + 5 = 10 + 5 = 15 \nonumber \]
El costo de viajar\(x\) millas es
\[y = (0.50)(x) + 5 = 0.50x + 5 \nonumber \]
En este problema, $0.50 por milla se conoce como el costo variable, y el cargo plano $5 como el costo fijo. Ahora bien, si miramos nuestra ecuación de costos\(y = .50x + 5\), podemos ver que el costo variable corresponde a la pendiente y el costo fijo a la\(y\) -intercepción.
El costo variable para fabricar un producto es de $10 por artículo y el costo fijo de $2500. Si\(x\) representa el número de artículos fabricados y\(y\) representa el costo total, escriba la función de costo.
Solución
- El costo variable de $10 por artículo nos dice eso\(m = 10\).
- El costo fijo representa la\(y\) -intercepción. Entonces\(b = 2500\).
Por lo tanto, la ecuación de costo es\(y = 10x + 2500\).
Cuesta $750 fabricar 25 artículos, y $1000 fabricar 50 artículos. Suponiendo que se mantenga una relación lineal, encuentre la ecuación de costo y use esta función para predecir el costo de 100 artículos.
Solución
Dejamos\(x\) = el número de artículos fabricados, y dejamos\(y\) = el costo.
Resolver este problema equivale a encontrar una ecuación de una línea que pase por los puntos (25, 750) y (50, 1000).
\[ m = \frac{1000-750}{50-25} = 10 \nonumber \]
Por lo tanto, la ecuación parcial es\(y = 10x + b\)
Al sustituir uno de los puntos de la ecuación, obtenemos\(b = 500\)
Por lo tanto, la ecuación de costos es\(y = 10x + 500\)
Para encontrar el costo de 100 artículos, sumételo\(x = 100\) en la ecuación\(y = 10x + 500\)
Entonces el costo es
\[y = 10(100) + 500 = 1500 \nonumber \]
Cuesta 1500 dólares fabricar 100 artículos.
La temperatura de congelación del agua en Celsius es de 0 grados y en Fahrenheit 32 grados. Y las temperaturas de ebullición del agua en Celsius, y Fahrenheit son de 100 grados, y 212 grados, respectivamente. Escribe una ecuación de conversión de Celsius a Fahrenheit y usa esta ecuación para convertir 30 grados Celsius en Fahrenheit.
Solución
Veamos lo que se da.
| Celsius | Fahrenheit |
| 0 | 32 |
| 100 | 212 |
Nuevamente, resolver este problema equivale a encontrar una ecuación de una línea que pase por los puntos (0, 32) y (100, 212).
Ya que estamos encontrando una relación lineal, estamos buscando una ecuación\(y = mx + b\), o en este caso\(F = mC + b\), donde\(x\) o\(C\) representemos la temperatura en Celsius, e y o F la temperatura en Fahrenheit.
\[ \text{slope m } = \frac{312-32}{100-0} = \frac{9}{5} \nonumber \]
La ecuación es\(F = \frac{9}{5}C + b\)
Sustituyendo el punto (0, 32), obtenemos
\[F = \frac{9}{5}C + 32 \nonumber. \nonumber \]
Para convertir 30 grados Celsius en Fahrenheit, sustituya\(C = 30\) en la ecuación
\ begin {alineado}
&\ mathrm {F} =\ frac {9} {5}\ mathrm {C} +32\\
&\ mathrm {F} =\ frac {9} {5} (30) +32=86
\ end {alineado}
La población de Canadá en el año 1980 era de 24.5 millones, y en el año 2010 era de 34 millones. La población de Canadá durante ese período de tiempo puede ser modelada aproximadamente por una función lineal. Dejar x representar el tiempo como el número de años posteriores a 1980 y dejar que y represente el tamaño de la población.
- Escribir la función lineal que da una relación entre el tiempo y la población.
- Suponiendo que la población siga creciendo linealmente en el futuro, utilice esta ecuación para predecir la población de Canadá en el año 2025.
Solución
El problema se puede hacer más fácil usando 1980 como año base, es decir, elegimos el año 1980 como el año cero. Esto significará que el año 2010 corresponderá al año 30. Ahora miramos la información que tenemos:
| Año | Población |
| 0 (1980) | 24.5 millones |
| 30 (2010) | 34 millones |
a. resolver este problema equivale a encontrar una ecuación de una línea que pase por los puntos (0, 24.5) y (30, 34). Utilizamos estos dos puntos para encontrar la pendiente:
\[ m = \frac{34-24.5}{30-0}=\frac{9.5}{30} = 0.32 \nonumber \]
La\(y\) -intercepción ocurre cuando\(x = 0\), entonces\(b = 24.5\)
\[ y =0.32x + 24.5 \nonumber \]
b. Ahora para predecir la población en el año 2025, dejamos\(x=2025-1980=45\)
\ begin {alineado}
&y=0.32 x+24.5\\
&y=0.32 (45) +24.5=38.9
\ end {alineado}
En el año 2025, pronosticamos que la población de Canadá será de 38.9 millones de personas.
Obsérvese que asumimos que la tendencia poblacional seguirá siendo lineal. Por lo tanto, si las tendencias poblacionales cambian y esta suposición no sigue siendo cierta en el futuro, esta predicción puede no ser precisa.