6.3: Anualidades y fondos de hundimiento
- Page ID
- 113618
Objetivos de aprendizaje
En esta sección, aprenderás a:
- Encuentra el valor futuro de una anualidad.
- Encuentra el monto de los pagos a un fondo de hundimiento.
Anualidad Ordinaria
En las dos primeras secciones de este capítulo, examinamos problemas donde se depositó una cantidad de dinero a tanto alzado en una cuenta y se dejó ahí durante todo el periodo de tiempo. Ahora haremos problemas donde se realicen pagos oportunos en una cuenta. Cuando se realiza una secuencia de pagos de alguna cantidad fija en una cuenta a intervalos de tiempo iguales, a eso lo llamamos anualidad. Y este es el tema de esta sección.
Para desarrollar una fórmula para encontrar el valor de una anualidad, necesitaremos recordar la fórmula para la suma de una serie geométrica. Una serie geométrica es de la forma:
\[a + ax + ax^2 + ax^3+ \ldots + ax^n. \label{eq1} \]
En una serie geométrica, cada término posterior se obtiene multiplicando el término anterior por un número, denominado la relación común. Una serie geométrica se determina completamente conociendo su primer término, la relación común y el número de términos.
El primer término de la serie en la Ecuación\ ref {eq1} es\(a\), la relación común es\(x\), y el número de términos es\(n\). A continuación se presentan algunos ejemplos de series geométricas.
\[3 + 6 + 12 + 24 + 48 \nonumber \]
Esta serie anterior tiene primer término\(a = 3\) y relación común\(x = 2\)
\[2 + 6 + 18 + 54 + 162\nonumber \]
Esta serie anterior tiene primer término\(a = 2\) y relación común\(x = 3\)
\[37 + 3.7 + 0.37 + 0.037 + 0.0037\nonumber \]
Esta serie anterior tiene primer término\(a = 35\) y relación común\(x = 0.1\)
En tu clase de álgebra, desarrollaste una fórmula para encontrar la suma de una serie geométrica. Probablemente usaste\(r\) como símbolo para la relación, pero nosotros estamos usando\(x\) porque\(r\) es el símbolo que hemos estado usando para la tasa de interés. La fórmula para la suma de una serie geométrica con primer término\(a\) y relación común\(x\) es:
\[\frac{a\left(x^{n}-1\right)}{x-1} \nonumber \]
Utilizaremos esta fórmula para encontrar el valor de una anualidad. Considera el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Si al final de cada mes se realiza un depósito de $500 en una cuenta que paga 8% compuesto mensualmente, ¿cuál será el monto final después de cinco años?
Solución
Hay 60 depósitos realizados en esta cuenta. El primer pago permanece en la cuenta por 59 meses, el segundo pago por 58 meses, el tercero por 57 meses, y así sucesivamente.
- El primer pago de $500 se acumulará hasta un monto de $500 (1 + 0.08/12) 59.
- El segundo pago de $500 se acumulará hasta un monto de $500 (1 + 0.08/12) 58.
- El tercer pago se acumulará a $500 (1 + 0.08/12) 57.
- El cuarto pago se acumulará a $500 (1 + 0.08/12) 56.
Y así sucesivamente..
Finalmente el próximo a último (59 º) pago se acumulará a\($500(1 + 0.08/12)^1\).
El último pago se realiza al mismo tiempo que se realiza, y no ganará ningún interés.
Para encontrar el monto total en cinco años, necesitamos sumar el valor acumulado de estos sesenta pagos.
Es decir, necesitamos encontrar la suma de las siguientes series.
\[\$ 500(1+0.08 / 12)^{59}+\$ 500(1+0.08 / 12)^{58}+\$ 500(1+0.08 / 12)^{57}+\ldots+\$ 500 \nonumber \]
Escrito al revés, tenemos
\[ \$500 +\$ 500(1+0.08 / 12)+\$ 500(1+0.08 / 12)^{2}+\ldots+\$ 500(1+0.08 / 12)^{59} \nonumber \]
Esta es una serie geométrica con\(a = $500\),\(r = (1 + 0.08/12\), y\(n = 59\). La suma es
\[\begin{align*} \text{sum} &= \dfrac{\$ 500\left[(1+0.08 / 12)^{60}-1\right]}{0.08 / 12} \\[4pt] &=\$ 500(73.47686) \\[4pt] &=\$ 36,738.43 \end{align*} \nonumber \]
Cuando los pagos se realizan al final de cada periodo y no al inicio, lo llamamos anualidad ordinaria.
Valor futuro de una anualidad ordinaria
Si se realiza un pago de m dólares en una cuenta n veces al año a un interés\(r\), entonces el monto final\(A\) después de\(t\) años es
\[\mathbf{A}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}-\mathbf{1}\right]}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \nonumber \]
El valor futuro también se llama el valor acumulado
Tanya deposita 300 dólares al final de cada trimestre en su cuenta de ahorros. Si la cuenta gana 5.75% compuesto trimestralmente, ¿cuánto dinero tendrá en 4 años?
Solución
El valor futuro de esta anualidad se puede encontrar utilizando la fórmula anterior.
\[\begin{align*} A&=\frac{\$ 300\left[(1+.0575 / 4)^{16}-1\right]}{0.0575 / 4} \\[4pt] &=\$ 300(17.8463) \\[4pt] &=\$ 5353.89 \end{align*} \nonumber \]
Si Tanya deposita $300 en una cuenta de ahorro ganando 5.75% compuesto trimestralmente por 4 años, entonces al final de 4 años tendrá $5,353.89
Robert necesita 5.000 dólares en tres años. ¿Cuánto debe depositar cada mes en una cuenta que paga 8% compuesto mensualmente para lograr su objetivo?
Solución
Si Robert ahorra m dólares mensuales, después de tres años tendrá
\[\dfrac{m\left[(1+.08 / 12)^{36}-1\right]}{0.08 / 12} \nonumber \]
Pero nos gustaría que esta cantidad fuera de $5,000. Por lo tanto,
\[\begin{align*} \frac{\mathrm{m}\left[(1+.08 / 12)^{36}-1\right]}{.08 / 12} &=\$ 5000 \\[4pt] \mathrm{m}(40.5356) &=\$ 5000 \\[4pt] \mathrm{m} &=\frac{5000}{40.5356}\\[4pt] &=\$ 123.35 \end{align*} \nonumber \]
Robert necesita depositar $123.35 al final de cada mes por 3 años en una cuenta pagando 8% compuesto mensualmente para tener $5,000 al final de 5 años.
Fondo de Hundimiento
Cuando una empresa deposita dinero a intervalos regulares en una cuenta con el fin de ahorrar para una compra futura de equipo, el fondo de ahorro se denomina “fondo de hundimiento”. El cálculo del depósito del fondo de hundimiento utiliza el mismo método que el problema anterior.
Un negocio necesita $450,000 en cinco años. ¿Cuánto se debe depositar cada trimestre en un fondo de hundimiento que gana 9% compuesto trimestralmente para tener esta cantidad en cinco años?
Solución
Nuevamente, supongamos que los\(m\) dólares se depositan cada trimestre en el fondo de hundimiento. Después de cinco años, el valor futuro del fondo debería ser de $450,000. Esto sugiere la siguiente relación:
\ [\ begin {align*}\ dfrac {\ mathrm {m}\ left [(1+ 0.09/4) ^ {20} -1\ derecha]} {0.09/4} &=\ $450,000\ [4pt]\ mathrm {m} (24.9115) &=450,000\\ [4pt]
\ mathrm {m} &=\ dfrac {450000} 24.9115}\\[4pt] &=\$ 18,063.93 \end{align*} \nonumber \]
El negocio necesita depositar $18,063.93 al final de cada trimestre por 5 años en un fondo de hundimiento que obtenga intereses de 9% compuestos trimestralmente para tener $450,000 al final de 5 años.
Anualidad adeudada
Si el pago se realiza al inicio de cada periodo, y no al final, lo llamamos anualidad adeudada. La fórmula para la anualidad adeudada se puede derivar de manera similar. Reconsiderar el Ejemplo 1, con el cambio de que los depósitos se realizan al inicio de cada mes.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Si al inicio de cada mes se realiza un depósito de $500 en una cuenta que paga 8% compuesto mensualmente, ¿cuál será el monto final después de cinco años?
Solución
Hay 60 depósitos realizados en esta cuenta. El primer pago permanece en la cuenta por 60 meses, el segundo pago por 59 meses, el tercero por 58 meses, y así sucesivamente.
- El primer pago de $500 se acumulará a una cantidad de\($500(1 + 0.08/12)^{60}\).
- El segundo pago de $500 se acumulará a una cantidad de\($500(1 + .08/12)^{59}\).
- El tercer pago se acumulará a\($500(1 + 0.08/12)^{58}\).
Y así sucesivamente..
El último pago está en la cuenta por un mes y se acumula a\($500(1 + 0.08/12)\)
Para encontrar el monto total en cinco años, necesitamos encontrar la suma de la serie:
\[$500(1 + 0.08/12)^{60} + $500(1 + 0.08/12)^{59} + $500(1 + 0.08/12)^{58} + \ldots + $500(1 + 0.08/12) \nonumber \]
Escrito al revés, tenemos
\[$500(1 + 0.08/12) + $500(1 + 0.08/12)^2 + \ldots + $500(1 + 0.08/12)^{60} \nonumber \]
Si sumamos $500 a esta serie, y luego restamos esos $500, el valor no cambiará. Obtenemos
\[\textbf{\$500} + $500(1 + 0.08/12) + $500(1 + 0.08/12)^2 + \ldots + $500(1 + 0.08/12)^{60} - \textbf{\$500} \nonumber \]
A excepción del último término, tenemos una serie geométrica con\(a\) = $500,\(r\) = (1 + .08/12), y\(n\) = 60. Por lo tanto la suma es
\[\begin{align*} \mathrm{A} &=\frac{\$ 500\left[(1+0.08 / 12)^{61}-1\right]}{0.08 / 12}-\$ 500 \\[4pt] &=\$ 500(74.9667)-\$ 500 \\[4pt] &=\$ 37483.35-\$ 500 \\[4pt] &=\$ 36983.35 \end{align*} \nonumber \]
Entonces, en el caso de una anualidad vencida, para encontrar el valor futuro, aumentamos el número de periodos\(n\) en 1, y restamos un pago.
\[\mathrm{A}=\frac{\mathrm{m}\left[(1+\mathrm{r} / \mathrm{n})^{\mathrm{nt}+1}-1\right]}{\mathrm{r} / \mathrm{n}}-\mathrm{m} \nonumber \]
La mayoría de los problemas que vamos a hacer en este capítulo involucran anualidades ordinarias, por lo tanto, bajaremos el significado de la última fórmula para la anualidad adeudada. Mencionamos la fórmula para la anualidad adeudada solo por completitud.
Resumen
Por último, es el deseo del autor que el alumno aprenda los conceptos de una manera que no tenga que memorizar todas las fórmulas. Es por ello que las fórmulas se mantienen al mínimo. Pero antes de concluir esta sección volveremos a mencionar una sola ecuación que nos ayudará a encontrar el valor futuro, así como el pago del fondo de hundimiento.
Si un pago de\(m\) dólares se realiza en una cuenta\(n\) veces al año a un interés\(r\), entonces el valor futuro\(\mathrm{A}\) después de\(t\) años es
\[\mathbf{A}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n t}}-\mathbf{1} \right]}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \nonumber \]
Tenga en cuenta que la fórmula asume que el período de pago es el mismo que el período compuesto. Si estos no son lo mismo, entonces esta fórmula no aplica.