7.7: Teorema Binomial

Terminamos este capítulo con una aplicación más de combinaciones. Se utilizan combinaciones para determinar los coeficientes de una expansión binomial como$(x + y)^n$. Ampliar una expresión binomial multiplicándola es una tarea muy tediosa, y no se practica. En cambio, se utiliza una fórmula conocida como Teorema Binomial para determinar dicha expansión. Antes de introducir el Teorema Binomial, sin embargo, consideramos las siguientes expansiones.

\ [\ begin {array} {l}
(x+y) ^ {2} =x^ {2} +2 x y+y^ {2}\\
(x+y) ^ {3} =x^ {3} +3 x^ {2} y+3 x y^ {2} +y^ {3}\\
(x+y) ^ {4} =x^ {4} +4 x^ {2} y+6 x^ {2} y^ {2} +4 x y^ {3} +y^ {4}\\
(x+y) ^ {5} =x^ {5} +5 x^ {4} y+10 x^ {3} y^ {2} +10 x^ {2} y^ {3} +5 x y^ {4} +y^ {5}\\
(x+y) ^ {6} = x 6+6 x^ {5} y+15 x^ {4} y^ {2} +20 x^ {3} y^ {3} +15 x^ {2} y^ {4} +6 x y^ {5} +y^ {6}
\ end {array}\ nonumber\]

Hacemos las siguientes observaciones.

1. Hay$n + 1$ términos en la expansión$(x + y)^n$
2. La suma de los poderes de$x$ y$y$ es$n$.
3. Los poderes de$x$ comenzar con$n$ y disminuyen en uno con cada término sucesivo.
   Los poderes de$y$ comienzan con 0 y aumentan en uno con cada término sucesivo.

Supongamos que queremos expandirnos$(x + y)^3$. Primero escribimos la expansión sin los coeficientes. Sustituimos temporalmente un espacio en blanco en lugar de los coeficientes.

$$(x+y)^{3}=\square x^{3}+\square x^{2} y+\square x y^{2}+\square y^{3} \label{I}$$

Nuestro siguiente trabajo es reemplazar cada uno de los espacios en blanco en la ecuación (\ ref {I}) con los coeficientes correspondientes que pertenecen a esta expansión. Claramente,

$$(x+y)^{3}=(x+y)(x+y)(x+y) \nonumber$$

Si multiplicamos el lado derecho y no cobramos términos, obtenemos lo siguiente.

$$xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy \nonumber$$

Cada producto en la expansión anterior es el resultado de multiplicar tres variables al elegir una de cada uno de los factores$(x+y)(x+y)(x+y)$. Por ejemplo, el producto$xxy$ se obtiene eligiendo$x$ del primer factor,$x$ del segundo factor, y$y$ del tercer factor. Hay tres productos de este tipo que simplifican a$x^2y$, a saber$xxy$,$xyx$, y$yxx$. Estos productos se llevan a cabo cuando elegimos uno$x$ de dos de los factores y elegimos uno$y$ del otro factor. Claramente esto se puede hacer en 3C2, o 3 formas. Por lo tanto, el coeficiente del término$x^2y$ es 3. Los coeficientes de los otros términos se obtienen de manera similar.

Ahora reemplazamos los espacios en blanco con los coeficientes en la ecuación (\ ref {I}), y obtenemos

$$(x+y)^{3}=x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra el coeficiente del término$x^2y^5$ en la expansión$(x+y)^7$.

Solución

La expansión$(x + y)^7 = (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y)$

Al multiplicar el lado derecho, cada producto se obtiene escogiendo uno$x$ o$y$ de cada uno de los siete factores$(x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y)$.

El término$x^2y^5$ se obtiene eligiendo uno$x$ de dos de los factores y uno$y$ de los otros cinco factores. Esto se puede hacer en 7C2, o 21 formas.

Por lo tanto, el coeficiente del término$x^2y^5$ es 21.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Ampliar$(x + y)^7$

Solución

Primero escribimos la expansión sin los coeficientes.

$$(x+y)^{7}=\square x^{7}+\square x^{6} y+ \square x^{5} y^{2}+ \square x^{4} y^{3}+ \square x^{3} y^{4}+\square x^{2} y^{5}+\square x y^{6}+\square y^{7} \nonumber$$

Ahora determinamos el coeficiente de cada término como lo hicimos en Ejemplo$\PageIndex{1}$.

El coeficiente del término$x^7$ es 7C7 o 7CO que equivale a 1.

El coeficiente del término$x^6y$ es 7C6 o 7C1 que equivale a 7.

El coeficiente del término$x^5y^2$ es 7C5 o 7C2 que equivale a 21.

El coeficiente del término$x^4y^3$ es 7C4 o 7C3 que equivale a 35,

y así sucesivamente.

Sustituyendo, obtenemos:$(x+y)^{7}=x^{7}+7 x^{6} y+21 x^{5} y^{2}+35 x^{4} y^{3}+35 x^{3} y^{4}+21 x^{2} y^{5}+7 x y^{6}+y^{7}$

Generalizamos el resultado.

Teorema binomial

$$(x+y)^{n}=_{n} C_{0} x^{n}+_{n} C_{1} x^{n-1} y+_{n} C_{2} x^{n-2} y^{2}+\cdots \cdot+_{n} C_{n-1} x y^{n-1+}_{n} C_{n} y^{n} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Ampliar$(3a-2b)^4$

Solución

Si dejamos$x = 3a$ y$y = - 2b$, y aplicamos el Teorema Binomial, obtenemos

\ begin {alineado}
(3 a-2 b) ^ {4} &=4\ operatorname {Co} (3 a) ^ {4} +4 C l (3 a) ^ {3} (-2 b) +4 C 2 (3 a) ^ {2} (-2 b) ^ {2} +4 C 3 (3 a) (-2 b) ^ {3} +4 C 4 (-2 b) ^ {4}\\
&=1\ izquierda (81 a^ {4}\ derecha) +4\ izquierda (27 a^ {3}\ derecha) (-2 b) +6\ izquierda (9 a^ {2}\ derecha)\ izquierda (4 b^ {2}\ derecha) +4 (3 a)\ izquierda (-8 b^ {3}\ derecha) +1\ izquierda (16 b^ {3}\ derecha)\\
&=81 a^ {4} -216 a^ {3} b+216 a^ {2} b^ {2} -96 a b^ {3} +16 b^ {4}
\ end {alineado}

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra el quinto término de la expansión$(3a-2b)^7$.

Solución

El teorema Binomial nos dice que en el término r-ésimo de una expansión, el exponente del$y$ término es siempre uno menos que$r$, y, el coeficiente del término es$_{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-1}$.

$n = 7$y$r - 1 = 5 - 1= 4$, por lo que el coeficiente es$7 \mathrm{C} 4=35$

Así, el quinto término es$(7 \mathrm{C} 4)(3 \mathrm{a})^{3}(-2 \mathrm{b})^{4}=35\left(27 \mathrm{a}^{3}\right)\left(16 \mathrm{b}^{4}\right)=15120 \mathrm{a}^{3} \mathrm{b}^{4}$