8.5: Eventos Independientes

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, usted:

1. Definir eventos independientes
2. Identificar si dos eventos son independientes o dependientes

En el último apartado, consideramos probabilidades condicionales. En algunos ejemplos, la probabilidad de un evento cambió cuando se proporcionó información adicional. No siempre es así. La información adicional puede o no alterar la probabilidad del evento.

En Ejemplo\(\PageIndex{1}\) revisamos la discusión al inicio de la sección anterior y luego contrastamos eso con Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Una carta es extraída de una baraja. Encuentra las siguientes probabilidades.

1. La tarjeta es un rey.
2. La carta es un rey dado que la carta es una carta de cara.

Solución

a. Claramente,\(P\) (La carta es un rey) = 4/52 = 1/13.

b. para encontrar\(P\) (La carta es un rey | La carta es una carta de cara), razonamos de la siguiente manera:

Hay 12 cartas de cara en una baraja de cartas. Hay 4 reyes en una baraja de cartas.

\(P\)(La carta es un rey | La carta es una carta de cara) = 4/12 = 1/3.

El lector debe observar que en el ejemplo anterior,

\(P\)(La carta es un rey | La carta es una carta de cara)\(\neq\)\(P\) (La carta es un rey)

Es decir, la información adicional, sabiendo que la carta seleccionada es una carta de cara cambió la probabilidad de obtener un rey.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Una carta es extraída de una baraja. Encuentra las siguientes probabilidades.

1. La tarjeta es un rey.
2. La tarjeta es un rey dado que una tarjeta roja ha mostrado.

Solución

a. Claramente,\(P\) (La carta es un rey) = 4/52 = 1/13.

b. para encontrar\(P\) (La tarjeta es un rey | Se ha mostrado una tarjeta roja), razonamos de la siguiente manera:

Dado que se ha mostrado una tarjeta roja, sólo hay veintiséis posibilidades. De las 26 tarjetas rojas, hay dos reyes. Por lo tanto,

\(P\)(La tarjeta es un rey | Se ha mostrado una tarjeta roja) = 2/26 = 1/13.

El lector debe observar que en el ejemplo anterior,

\(P\)(La tarjeta es un rey | Se ha mostrado una tarjeta roja) =\(P\) (La carta es un rey)

Es decir, la información adicional, que ha mostrado una tarjeta roja, no afectó la probabilidad de obtener un rey.

Siempre que la probabilidad de un evento no\(E\) se vea afectada por la ocurrencia de otro evento\(F\), y viceversa, decimos que los dos eventos\(E\) y\(F\) son independientes. Esto lleva a la siguiente definición.

Definición: Independiente

Dos Eventos\(E\) y\(F\) son independientes si y sólo si al menos una de las dos condiciones siguientes es verdadera.

1. \(\mathbf{P}(\mathbf{E} | \mathbf{F})=\mathbf{P}(\mathbf{E})\)o
2. \(\mathbf{P}(\mathbf{F} | \mathbf{E})=\mathbf{P}(\mathbf{F})\)

Si los eventos no son independientes, entonces son dependientes.

Si una de estas condiciones es cierta, entonces ambas son ciertas.

Podemos usar la definición de independencia para determinar si dos eventos son independientes.

Podemos usar esa definición para desarrollar otra forma de probar si dos eventos son independientes.

Recordemos la fórmula de probabilidad condicional:

\[\mathrm{P}(\mathrm{E} | \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})} \nonumber \]

Multiplicando ambos lados por\(\mathrm{P}(\mathrm{F})\), obtenemos

\[\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E} | \mathrm{F}) \mathrm{P}(\mathrm{F}) \nonumber \]

Ahora bien, si los dos eventos son independientes, entonces por definición

\[\mathrm{P}(\mathrm{E} | \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \nonumber \]

Sustituyendo,\(P(E \cap F)=P(E) P(F)\)

Lo declaramos formalmente de la siguiente manera.

Prueba para la independencia

Dos eventos\(E\) y\(F\) son independientes si y solo si

\[\mathbf{P}(\mathbf{E} \cap \mathbf{F})=\mathbf{P}(\mathbf{E}) \mathbf{P}(\mathbf{F}) \nonumber \]

En los Ejemplos\(\PageIndex{3}\) y\(\PageIndex{4}\), examinaremos cómo verificar la independencia usando ambos métodos:

• Examinar la probabilidad de intersección de eventos para verificar si\(P(E \cap F)=P(E) P(F)\)
• Examinar las probabilidades condicionales para verificar\(P(E | F)=P(E)\) si\(P(F|E)=P(F)\)

Necesitamos usar solo uno de estos métodos. Ambos métodos, si se usan correctamente, siempre darán resultados que sean consistentes entre sí.

Utilizar el método que parezca más fácil en base a la información dada en el problema.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

En la siguiente tabla se muestra la distribución de las personas daltónicas por género.

	Macho (M)	Hembra (F)	Total
daltónicos (C)	6	1	7
No daltónicos (N)	46	47	93
Total	52	48	100

donde\(M\) representa masculino,\(F\) representa hembra,\(C\) representa daltónicos y\(N\) no daltónicos. ¿Los eventos son daltónicos y masculinos independientes?

Solución 1: Según la prueba de independencia,\(C\) y\(M\) son independientes si y solo si\(\mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{M})=\mathrm{P}(\mathrm{C}) \mathrm{P}(\mathrm{M})\).

De la tabla:\(P(C)\) = 7/100,\(P(M)\) = 52/100 y\(P(C \cap M)\) = 6/100

Entonces\(P(C) P(M)\) = (7/100) (52/100) = .0364

que no es igual a\(P(C \cap M)\) = 6/100 = .06

Por lo tanto, los dos hechos no son independientes. Podemos decir que son dependientes.

Solución 2:\(C\) y\(M\) son independientes si y solo si\(P(C|M) = P(C)\).

Del total de la columna\(P(C)\) = 7/100 = 0.07

De la columna masculina\(P(C|M)\) = 6/52= 0.1154

Por lo tanto\(P(C|M) \neq P(C)\), indicando que los dos hechos no son independientes.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

En una ciudad con dos aeropuertos, se encuestaron 100 vuelos. 20 de esos vuelos partieron tarde.

• 45 vuelos en la encuesta partieron del aeropuerto A; 9 de esos vuelos partieron tarde.
• 55 vuelos en la encuesta partieron del aeropuerto B; 11 vuelos partieron tarde.

¿Los eventos “salen del aeropuerto A” y “partieron tarde” son independientes?

Solución 1

Que A sea el evento de que un vuelo salga del aeropuerto A, y L el evento de que un vuelo salga tarde. Tenemos

\(P(A \cap L)\)= 9/100,\(P(A)\) = 45/100 y\(P(L)\) = 20/100

Para que dos eventos sean independientes, debemos tener\(P(A \cap L) = P(A) P(L)\)

Desde\(P(A \cap L)\) = 9/100 = 0.09

y\(P(A) P(L)\) = (45/100) (20/100) = 900/10000 = 0.09

los dos eventos “que salen del aeropuerto A” y “que salen tarde” son independientes.

Solución 2

La definición de eventos independientes establece que dos eventos son independientes si\(P(E|F)=P(E)\).

En este problema se nos da que

\(P(L|A)\)= 9/45= 0.2 y\(P(L)\) = 20/100 = 0.2

\(P(L|A) = P(L)\), por lo que los eventos “que salen del aeropuerto A” y “salen tarde” son independientes.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Una moneda se lanza tres veces, y los eventos\(E\),\(F\) y\(G\) se definen de la siguiente manera:

\(E\): La moneda muestra una cabeza en el primer lanzamiento.

\(F\): Aparecen al menos dos cabezas.

\(G\): Las cabezas aparecen en dos tiradas sucesivas.

Determinar si los siguientes eventos son independientes.

1. \(E\)y\(F\)
2. \(F\)y\(G\)
3. \(E\)y\(G\)

Solución

Enumeramos el espacio muestral, los eventos, sus intersecciones y las probabilidades.

\ begin {alineado}
&\ mathrm {S} =\ {\ mathrm {HHH},\ mathrm {HHT},\ mathrm {HTH},\ mathrm {HTT},\ mathrm {THH},\ mathrm {THT},\ mathrm {TTH},\ mathrm {TTT}\\
&\ begin {array} {ll}
\ mathrm {E} =\ {\ mathrm {HHH},\ mathrm {HHT},\ mathrm {HTH},\ mathrm {HTT}\}, &\ mathrm {P} (\ mathrm {E}) =4/8\ text {o} 1/2\\
\ mathrm {F} =\ {\ mathrm {HHH},\ mathrm {HHT},\ mathrm {HTH},\ mathrm {THH}\}, &\ mathrm {P} (\ mathrm {F}) =4/8\ text {o} 1/2\
\ mathrm {G} =\ {\ mathrm {HHT},\ mathrm {THH}\}, &\ mathrm {P} (\ mathrm {G}) =2/8\ texto {o} 1/4\\
\ mathrm {E}\ cap\ mathrm {F} =\ {\ mathrm {HHH},\ mathrm {HHT},\ mathrm {HTH}\}, &\ mathrm {P} (\ mathrm {E}\ cap\ mathrm {F}) =3/8\
\ mathrm {F}\ cap\ mathrm {G} =\ {\ mathrm {HHT},\ mathrm {THH}\}, &\ mathrm {P} (\ mathrm {F}\ cap\ mathrm {G}) =2/8\ texto {o} 1/4\\
\ mathrm {E}\ cap\ mathrm {G} =\ {\ mathrm { HHT}\} &\ mathrm {P} (\ mathrm {E}\ cap\ mathrm {G}) =1/8
\ end {array}
\ end {alineado}

a.\(E\) y\(F\) será independiente si y sólo si\(P(E \cap F) = P(E) P(F)\)

\(P(E \cap F) = 3/8\)y\(P(E) P(F) = 1/2 \cdot 1/2 = 1/4\).

Desde 3/8 ≠ 1/4, tenemos\(P(E \cap F) \neq P(E) P(F)\).

Eventos\(E\) y no\(F\) son independientes.

b.\(F\) y\(G\) será independiente si y sólo si\(P(F \cap G) = P(F) P(G)\).

\(P(F \cap G) = 1/4\)y\(P(F) P(G) = 1/2 \cdot 1/4 =1/8\).

Desde 3/8 ≠ 1/4, tenemos\(P(F \cap G) \neq P(F) P(G)\).

Eventos\(F\) y no\(G\) son independientes.

c.\(E\) y\(G\) será independiente si\(P(E \cap G) = P(E) P(G)\)

\(P(E \cap G) = 1/8\)y\(P(E) P(G) = 1/2 \cdot 1/4 =1/8\)

Eventos\(E\) y\(G\) son eventos independientes porque\(P(E \cap G) = P(E) P(G)\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

La probabilidad de que Jaime visite a su tía en Baltimore este año es de .30, y la probabilidad de que vaya a hacer rafting en el río Colorado es de .50. Si los dos eventos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que Jaime haga ambas cosas?

Solución

Que\(A\) sea el evento que Jaime visitará a su tía este año, y\(R\) sea el evento que vaya a hacer rafting en el río.

Nos dan\(P(A)\) = .30 y\(P(R)\) = .50, y queremos encontrar\(P(A \cap R)\).

Ya que se nos dice que los acontecimientos\(A\) y\(R\) son independientes,

\[P(A \cap R)=P(A) P(R)=(.30)(.50)=.15 \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Dado\(P(B | A) = .4\). Si A y B son independientes, encuentra\(P(B)\).

Solución

Si\(A\) y\(B\) son independientes, entonces por definición\(P(B | A) = P(B)\)

Por lo tanto,\(P(B) = .4\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Dado\(P(A) =.7\),\(P(B| A) = .5\). Encuentra\(P(A \cap B)\).

Solución 1

Por definición\(P(B | A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

Sustituyendo, tenemos

\[.5=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{.7} \nonumber \]

Por lo tanto,\(P(A \cap B) = .35\)

Solución 2

Nuevamente, comience con\(P(B | A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

Multiplicando ambos lados por\(P(A)\) da

\[P(A \cap B)=P(B | A) P(A)=(.5)(.7)=.35 \nonumber \]

Ambas soluciones al Ejemplo\(\PageIndex{8}\) son en realidad las mismas, excepto que en la Solución 2 retrasamos la sustitución de los valores en la ecuación hasta después de que resolvimos la ecuación para\(P(A \cap B)\). Eso da el siguiente resultado:

Regla de multiplicación para eventos que NO son independientes

Si los eventos\(E\) y no\(F\) son independientes

\[\mathbf{P}(\mathbf{E} \cap \mathbf{F})=\mathbf{P}(\mathbf{E} | \mathbf{F}) \mathbf{P}(\mathbf{F}) \quad \text { and } \quad \mathbf{P}(\mathbf{E} \cap \mathbf{F})=\mathbf{P}(\mathbf{F} | \mathbf{E}) \mathbf{P}(\mathbf{E}) \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Dado\(P(A) =.5\),\(P(A \cup B ) = .7\), si\(A\) y\(B\) son independientes, encontrar\(P(B)\).

Solución

La regla de adición establece que

\[\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \nonumber \]

Dado que\(A\) y\(B\) son independientes,\(P(A \cap B)=P(A) P(B)\)

Sustituimos\(P(A \cap B)\) en la fórmula de adición y obtenemos

\[\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}) \mathrm{P}(\mathrm{B}) \nonumber \]

Al dejar\(P(B) = x\) y sustituir valores, obtenemos

\ [\ begin {array} {l}
.7=.5+x-.5 x\
.7=.5+.5 x\\
.2=.5 x\\
.4=x
\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto,\(P(B) = .4\)