10.2: Trabajar con Eventos
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Eventos Complementarios
Ahora examinemos la probabilidad de que no ocurra un evento. Al igual que en el apartado anterior, considere la situación de rodar un dado de seis lados y primero compute la probabilidad de rodar un seis: la respuesta es\(P(\text{six}) =\dfrac{1}{6}\). Ahora considere la probabilidad de que no rodemos un seis: hay 5 resultados que no son un seis, entonces la respuesta es\(P(\text{not a six}) = \dfrac{5}{6}\). Observe que
\(P(\text{six}) + P(\text{not a six}) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\)
Esto no es una coincidencia. Considerar una situación genérica con n posibles resultados y un evento\(E\) que corresponda a\(m\) de estos resultados. Entonces los\(n - m\) resultados restantes corresponden a\(E\) no suceder, así
\(P(\text{not } E) = \dfrac{n-m}{n} = \dfrac{n}{n} - \dfrac{m}{n} = 1 - \dfrac{m}{n} = 1 - P(E) \)
El complemento de un evento es el evento “\(E\)no sucede”.
La notación\(\overline{E}\) o\(E^c\) se utiliza para el complemento de evento\(E\). Podemos calcular la probabilidad del complemento usando\(P(\overline{E}) = 1 - P(E)\). Observe también eso\(P(E) = 1 - P(\overline{E})\).
Si sacas una carta aleatoria de una baraja de naipes, ¿cuál es la probabilidad de que no sea un corazón?
Solución
Hay 13 corazones en la baraja, entonces\(P(\text{heart}) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}\).
La probabilidad de no dibujar un corazón es el complemento:
\(P(\text{not heart}) = 1 - P(\text{heart}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Probabilidad de dos eventos independientes
Supongamos que volteamos una moneda y rodamos un dado, y queríamos saber la probabilidad de conseguir una cabeza en la moneda y un 6 en el dado.
Solución
Podríamos enumerar todos los resultados posibles: {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.
Observe que hay resultados\(2 \cdot 6 = 12\) totales. Fuera de estos, solo\(1\) está el resultado deseado, por lo que la probabilidad es\(\dfrac{1}{12}\).
El ejemplo anterior encontrando la probabilidad de dos eventos independientes.
Los eventos A y B son eventos independientes si la probabilidad de que ocurra el Evento B es la misma independientemente de que ocurra o no el Evento A.
¿Estos eventos son independientes?
a) Una moneda justa es arrojada dos veces. Los dos eventos son (1) el primer lanzamiento es una cabeza y (2) el segundo lanzamiento es una cabeza.
b) Los dos eventos (1) “Lloverá mañana en Houston” y (2) “Lloverá mañana en Galveston” (una ciudad cercana a Houston).
c) Se saca una carta de una baraja, luego se extrae una segunda carta sin sustituir la primera.
Solución
a) La probabilidad de que una cabeza salga en el segundo lanzamiento es\(\dfrac{1}{2}\) independientemente de si una cabeza se le ocurrió o no en el primer lanzamiento, por lo que estos eventos son independientes.
b) Estos eventos no son independientes porque es más probable que llueva en Galveston los días que llueve en Houston que en días que no lo hace.
c) La probabilidad de que la segunda carta sea roja depende de si la primera carta es roja o no, por lo que estos eventos no son independientes.
Cuando dos eventos son independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es producto de las probabilidades de los eventos individuales.
Si los eventos\(A\) y\(B\) son independientes, entonces la probabilidad de que ambos\(A\) y\(B\) ocurran es
\[P(A \text{ and } B) = P(A) \cdot P(B) \nonumber \]
donde\(P(A \text{ and } B)\) está la probabilidad de que ocurran eventos\(A\) y\(B\) ambos,\(P(A)\) es la probabilidad de\(A\) que ocurra un evento, y\(P(B)\) es la probabilidad de\(B\) que ocurra un evento.
Si miras hacia atrás en el ejemplo de moneda y morir anterior, puedes ver cómo el número de resultados del primer evento multiplicado por el número de resultados en el segundo evento se multiplicó para igualar el número total de resultados posibles en el evento combinado.
En tu cajón, tienes 10 pares de calcetines, 6 de los cuales son blancos, y 7 playeras, 3 de las cuales son blancas. Si metes al azar y sacas un par de calcetines y una camiseta, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean blancos?
Solución
La probabilidad de elegir un par de calcetines blancos es\(\dfrac{6}{10}\).
La probabilidad de elegir una camiseta blanca es\(\dfrac{3}{7}\).
Dado que la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un calcetín blanco es la misma independientemente de que seleccionemos o no al azar una camiseta blanca del cajón, entonces estos son eventos independientes. Por lo tanto, podemos usar la fórmula de probabilidad para eventos independientes.
La probabilidad de que ambos sean blancos es\(\dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{18}{70} = \dfrac{9}{35}\)
Una carta es sacada de una baraja de cartas y anotada. Luego se reemplaza la carta, se baraja la baraja y se retira una segunda carta y se anota. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean Ases?
En los ejemplos anteriores se analizó la probabilidad de que ambos eventos ocurran. Ahora veremos la probabilidad de que ocurra cualquiera de los eventos
Probabilidad de que ocurran dos eventos
Supongamos que volteamos una moneda y rodamos un dado, y queríamos saber la probabilidad de obtener una cabeza sobre la moneda o un 6 en el dado.
Solución
Aquí, todavía hay 12 posibles resultados: {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.
Simplemente contando, podemos ver que 7 de los resultados tienen una cabeza en la moneda o un 6 en el dado o ambos — usamos o inclusivamente aquí (estos 7 resultados son H1, H2, H3, H4, H5, H6, T6), entonces la probabilidad es\(\dfrac{7}{12}\). ¿Cómo podríamos haber encontrado esto a partir de las probabilidades individuales?
Como cabría esperar,\(\dfrac{1}{2}\) de estos resultados tienen una cabeza, y\(\dfrac{1}{6}\) de estos resultados tienen un 6 en el dado. Si agregamos estos,\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{8}{12}\), que no es la probabilidad correcta. Mirando los resultados podemos ver por qué: el resultado H6 se habría contado dos veces, ya que contiene tanto una cabeza como un 6; la probabilidad de tanto una cabeza como de rodar un 6 es\(\dfrac{1}{12}\).
Si restamos este doble conteo, tenemos la probabilidad correcta:\(\dfrac{8}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{7}{12}\)
La probabilidad de\(B\) que ocurra\(A\) o ocurra (o ambos) es
\[P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) – P(A \text{ and } B) \nonumber \]
Supongamos que sacamos una carta de una baraja estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que consigamos una Reina o un Rey?
Solución
Hay 4 Reinas y 4 Reyes en la baraja. De ahí, 8 resultados correspondientes a una Reina o Rey de 52 posibles resultados. Así, la probabilidad de dibujar una Reina o un Rey es
\(P(\text{King or Queen}) = \dfrac{8}{52}\)
Tenga en cuenta que en este caso, no hay cartas que sean a la vez una Reina y un Rey, entonces\(P(\text{King or Queen}) = 0\). Usando la regla de probabilidad, obtenemos
\(P(\text{King or Queen}) = P(\text{King}) + P(\text{Queen}) - P(\text{King and Queen}) = \dfrac{4}{52} + \dfrac{4}{52} - 0 = \dfrac{8}{52}\)
En el último ejemplo, los hechos fueron mutuamente excluyentes, entonces\(P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)\).
Dos eventos son mutuamente excluyentes si los eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si este es el caso, entonces podemos usar la fórmula
\[P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) \nonumber \]
para encontrar la probabilidad.
Algunos ejemplos:
- Si tiramos una moneda, la moneda aterriza en la cabeza o en la cola, pero no en ambas.
- Si rogamos una carta, la carta no puede ser reina y rey al mismo tiempo (ni dos caras cualesquiera). Cuidado, sin embargo, porque si rotas una carta de una baraja, entonces la carta podría ser un corazón y un 8 al mismo tiempo, haciéndolos no mutuamente excluyentes.
Supongamos que sacamos una carta de una baraja estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos una tarjeta roja o un Rey?
Solución
La mitad de las tarjetas son rojas, entonces\(P(\text{red}) = \dfrac{26}{52}\)
Hay cuatro reyes, entonces\(P(\text{King}) = \dfrac{4}{52}\)
Hay dos reyes rojos, entonces\(P(\text{Red and King}) = \dfrac{2}{52}\)
Luego podemos calcular
\(P(\text{Red or King}) = P(\text{Red}) + P(\text{King}) - P(\text{Red and King}) = \dfrac{26}{52} + \dfrac{4}{52} - \dfrac{2}{52} = \dfrac{28}{52}\)
Probabilidad de al menos uno
La probabilidad de que ocurra al menos un evento es
\[P(\text{at least one}) = 1 - P(\text{none}) \nonumber \]
En una población numerosa, 70% de las personas han sido vacunadas. Si se seleccionan al azar 5 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas haya sido vacunada?
Solución
Dado que necesitamos encontrar la probabilidad de que al menos una de las 5 personas seleccionadas sea vacunada, obtenemos
\(P(\text{at least one}) = 1 - P(\text{none})\)
\(P(\text{at least one is vaccinated}) = 1 - P(\text{none of the 5 are vaccinated})\)
Si 70% de las personas están vacunadas, entonces esto significa que el 30% no están vacunadas. Por lo tanto,
\(P(\text{at least one is vaccinated}) = 1 - P(\text{none of the 5 are vaccinated})\)
\(= 1 – P(1^{st } \text{ isn’t vaccinated and \( 2^{nd}\)no está vacunado...})\)
\(= 1 - (0.30) (0.30) (0.30) (0.30) (0.30)\)
\(= 1 - (0.30)^5 = 0.99757\)
Así, existe una probabilidad de 0.99757 o 99.757% de que al menos una de las 5 personas seleccionadas sea vacunada.
En tu cajón, tienes 10 pares de calcetines, 6 de los cuales son blancos, y 7 playeras, 3 de las cuales son blancas. Si te metes y agarras al azar un par de calcetines y una camiseta, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno sea blanco?
En la siguiente tabla se muestra el número de sujetos de la encuesta que han recibido y no recibido una multa por exceso de velocidad en el último año, y el color de su automóvil. Encuentra la probabilidad de que una persona elegida al azar:
a) Tiene un auto rojo y tiene una multa por exceso de velocidad
b) Tiene un auto rojo o tiene una multa por exceso de velocidad.
Solución
| Boleto por exceso de | Boleto sin exceso de velocidad | Total | |
| Coche Rojo | 15 | 135 | 150 |
| Coche no rojo | 45 | 470 | 515 |
| Total | 60 | 605 | 665 |
Podemos ver que 15 personas de los 665 encuestados tenían tanto un auto rojo como obtuvieron una multa por exceso de velocidad, por lo que la probabilidad es\(\dfrac{15}{665} ≈ 0.0226\)
Observe que tener un auto rojo y obtener una multa por exceso de velocidad no son eventos independientes, por lo que la probabilidad de que ambos ocurran no es simplemente producto de probabilidades de que cada uno ocurra.
Podríamos responder a esta pregunta simplemente sumando los números:\(15\) personas con autos rojos y boletos por exceso de velocidad +\(135\) con autos rojos pero sin boleto +\(45\) con boleto pero sin carro rojo =\(195\) personas. Entonces, la probabilidad es\(\dfrac{195}{665} ≈ 0.2932\)
También podríamos haber encontrado esta probabilidad por:
\(P(\text{had a red car}) + P(\text{got a speeding ticket}) – P(\text{had a red car and got a speeding ticket})\)
\(= \dfrac{150}{665} + \dfrac{60}{665} - \dfrac{15}{665} = \dfrac{195}{665}\)
Probabilidad Condicional
A menudo se requiere calcular la probabilidad de un evento dado que se ha producido otro evento.
¿Cuál es la probabilidad de que dos cartas sorteadas al azar de una baraja de naipes sean ambas ases?
Solución
Podría parecer que podrías usar la fórmula para la probabilidad de dos eventos independientes y simplemente multiplicar\(\dfrac{4}{52} \cdot \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{169}\). Esto sería incorrecto, sin embargo, porque los dos hechos no son independientes. Si la primera carta extraída es un as, entonces la probabilidad de que la segunda carta sea también un as sería menor porque solo quedarían tres ases en la baraja.
Una vez que la primera carta elegida es un as, la probabilidad de que la segunda carta elegida sea también un as se denomina probabilidad condicional de sacar un as. En este caso, la “condición” es que la primera carta sea un as. Simbólicamente, escribimos esto como:
\(P(\text{ace on second draw} | \text{an ace on the first draw})\)
La barra vertical “|” se lee como “dada”, por lo que la expresión anterior es la abreviatura de “La probabilidad de que se dibuje un as en el segundo sorteo dado que se dibujó un as en el primer sorteo”. ¿Cuál es esta probabilidad? Después de que se empata un as en el primer sorteo, quedan 3 ases de 51 cartas totales. Esto significa que la probabilidad condicional de dibujar un as después de que ya se haya dibujado un as es\(\dfrac{3}{51} = \dfrac{1}{17}\).
Así, la probabilidad de que ambas cartas sean ases es\(\dfrac{4}{52} \cdot \dfrac{3}{51} = \dfrac{12}{2652} = \dfrac{1}{221}\).
La probabilidad de que\(B\) ocurra el evento, dado que ese evento\(A\) ha ocurrido, se representa como\(P(B | A)\).
Esto se lee como “la probabilidad de\(B\) dar\(A\)”
Encuentra la probabilidad de que un dado enrollado muestre un 6, dado que una moneda volteada muestra una cabeza.
Solución
Se trata de dos eventos independientes, por lo que la probabilidad de que la matriz ruede un 6 es\(\dfrac{1}{6}\), independientemente del resultado del volteo de la moneda.
En la siguiente tabla se muestra el número de sujetos de la encuesta que han recibido y no recibido una multa por exceso de velocidad en el último año, y el color de su automóvil. Encuentra la probabilidad de que una persona elegida al azar:
a) Tiene multa por exceso de velocidad dado que tienen un auto rojo
b) Tiene un auto rojo dado que tienen multa por exceso de velocidad
| Boleto por exceso de | Boleto sin exceso de velocidad | Total | |
| Coche Rojo | 15 | 135 | 150 |
| Coche no rojo | 45 | 470 | 515 |
| Total | 60 | 605 | 665 |
Solución
a) Como sabemos que la persona tiene un auto rojo, sólo estamos considerando a las 150 personas de la primera fila de la mesa. De esos, 15 tienen multa por exceso de velocidad, por lo que
\(P(\text{ticket} | \text{red car}) = \dfrac{15}{150} = \dfrac{1}{10} = 0.1 \)
b) Como sabemos que la persona tiene una multa por exceso de velocidad, sólo estamos considerando a las 60 personas en la primera columna de la mesa. De esos, 15 tienen un auto rojo, entonces
\(P(\text{red car} | \text{ticket}) = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4} = 0.25 \)
Aviso del último ejemplo que no\(P(B | A)\) es igual a\(P(A | B)\).
Este tipo de probabilidades condicionales son lo que utilizan las compañías de seguros para determinar sus tarifas de seguro. Miran la probabilidad condicional de que tengas accidente, dada tu edad, tu auto, el color de tu auto, tu historial de manejo, etc., y el precio de tu póliza en función de esa probabilidad.
Si los eventos\(A\) y no\(B\) son independientes, entonces
\[P(A \text{ and } B) = P(A) \cdot P(B | A) \nonumber \]
Si sacas 2 cartas de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean espadas?
Solución
La probabilidad de que la primera carta sea una pala es\(\dfrac{13}{52}\).
La probabilidad de que la segunda carta sea una pala, dado que la primera era una pala, es\(\dfrac{12}{51}\), ya que hay una pala menos en la baraja, y una menos total de cartas.
La probabilidad de que ambas cartas sean espadas es\(\dfrac{13}{52} \cdot \dfrac{12}{51} = \dfrac{156}{2652} ≈ 0.0588 \)
Si rotas dos cartas de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que consigas el As de Diamantes y una carta negra?
Solución
Puede satisfacer esta condición teniendo el Caso A o el Caso B, de la siguiente manera:
Caso A) puedes obtener primero el As de Diamantes y luego una tarjeta negra o
Caso B) puedes obtener primero una tarjeta negra y luego el As de Diamantes.
Calculemos la probabilidad del Caso A. La probabilidad de que la primera carta sea el As de Diamantes es\(\dfrac{1}{52}\). La probabilidad de que la segunda carta sea negra dado que la primera carta es el As de Diamantes es\(\dfrac{26}{51}\) porque 26 de las 51 cartas restantes son negras. Por lo tanto, la probabilidad es\(\dfrac{1}{52} \cdot \dfrac{26}{51} = \dfrac{1}{102}\).
Ahora para el Caso B: la probabilidad de que la primera carta sea negra es\(\dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}\). La probabilidad de que la segunda carta sea el As de Diamantes dado que la primera carta es negra es\(\dfrac{1}{51}\). La probabilidad del Caso B es\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{51} = \dfrac{1}{102}\), pues, la misma que la probabilidad del Caso 1.
Recordemos que la probabilidad de\(A\) o\(B\) es\(P(A) + P(B) - P(A \text{ and } B)\). En este problema,\(P(A \text{ and } B) = 0\) ya que la primera carta no puede ser el As de Diamantes y ser una carta negra. Por lo tanto, la probabilidad del Caso A o Caso B es\(\dfrac{1}{101} + \dfrac{1}{101} = \dfrac{2}{101}\). La probabilidad de que obtengas el As de Diamantes y una carta negra al sacar dos cartas de una baraja es\(\dfrac{2}{101}\).
En tu cajón, tienes 10 pares de calcetines, 6 de los cuales son blancos. Si te metes y agarras al azar dos pares de calcetines, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean blancos?
amplio 18 Se realizó una prueba de embarazo domiciliaria a mujeres, posteriormente se verificó el embarazo a través de análisis de sangre. La siguiente tabla muestra los resultados de la prueba de embarazo domiciliaria. Encuentra
a)\(P(\text{not pregnant} | \text{positive test result})\)
b)\(P(\text{positive test result} | \text{not pregnant})\)
| Prueba Positiva | Prueba Negativa | Total | |
| Embarazada | 70 | 4 | 74 |
| No Embarazada | 5 | 14 | 19 |
| Total | 75 | 18 | 93 |
Solución
a) Como sabemos que el resultado de la prueba fue positivo, estamos limitados a las 75 mujeres de la primera columna, de las cuales 5 no estaban embarazadas. \(P(\text{not pregnant} | \text{positive test result}) = \dfrac{5}{75} ≈ 0.067\).
b) Como sabemos que la mujer no está embarazada, nos limitamos a las 19 mujeres de la segunda fila, de las cuales 5 tuvieron una prueba positiva. \(P(\text{positive test result} | \text{not pregnant}) = \dfrac{5}{19} ≈ 0.263\).
El segundo resultado es lo que suele llamarse falso positivo: Un resultado positivo cuando la mujer no está realmente embarazada.