1.4: Resolución y estimación de problemas

Finalmente, reuniremos las herramientas matemáticas que hemos revisado y las usaremos para abordar problemas más complejos. En muchos problemas, es tentador tomar la información dada, conectarla a cualquier fórmula que tengas a mano, y esperar que el resultado sea lo que se suponía que encontrarías. Lo más probable es que este enfoque te haya servido bien en otras clases de matemáticas.

Este enfoque no funciona bien con problemas de la vida real. En cambio, la solución de problemas se aborda mejor comenzando primero por el final: identificar exactamente lo que estás buscando. A partir de ahí, entonces trabajas hacia atrás, preguntando “¿qué información y procedimientos voy a necesitar para encontrar esto?” Muy pocas preguntas interesantes se pueden responder en un solo paso matemático; muchas veces necesitarás encadenar una vía de solución, una serie de pasos que te permitirán responder a la pregunta.

Definición: Proceso de resolución de problemas

1. Identifica la pregunta que intentas responder.
2. Trabaja hacia atrás, identificando la información que necesitarás y las relaciones que usarás para responder a esa pregunta.
3. Continuar trabajando hacia atrás, creando una vía de solución.
4. Si te falta la información necesaria, búscala o estimarla. Si tienes información innecesaria, ignórala.
5. Resuelve el problema, siguiendo tu vía de solución.

En la mayoría de los problemas en los que trabajamos, estaremos aproximando una solución, porque no vamos a tener una información perfecta. Comenzaremos con algunos ejemplos donde podremos aproximar la solución utilizando los conocimientos básicos de nuestras vidas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuántas veces late tu corazón en un año?

Solución

Esta pregunta es preguntar por la frecuencia de latidos cardíacos al año. Ya que un año es mucho tiempo para medir los latidos cardíacos, si conociéramos la frecuencia de latidos cardíacos por minuto, podríamos escalar esa cantidad hasta un año. Entonces, la información que necesitamos para responder a esta pregunta son latidos cardíacos por minuto. Esto es algo que puedes medir fácilmente contando tu pulso mientras miras un reloj por un minuto.

Supongamos que cuentas 80 latidos en un minuto. Para convertir esto a latidos por año:

\( \dfrac{80 \text{ beats}}{1 \text{ minute}} \cdot \dfrac{60 \text{ minutes}}{1 \text{ hour}} \cdot \dfrac{24 \text{ hours}}{1 \text{ day}} \cdot \dfrac{365 \text{ days}}{1 \text{ year}} = 42,048,000 \text{ beats per year} \)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Qué tan gruesa es una sola hoja de papel? ¿Cuánto pesa?

Solución

Si bien es posible que tengas una hoja de papel a mano, tratar de medirla sería complicado. En su lugar, podríamos imaginar una pila de papel, y luego escalar el grosor y el peso a una sola hoja. Si alguna vez has comprado papel para una impresora o copiadora, probablemente compraste una resma, que contiene 500 hojas. Podríamos estimar que una resma de papel tiene aproximadamente 2 pulgadas de grosor y pesa alrededor de 5 libras. Escalando estos hacia abajo,

\( \dfrac{2 \text{ inches}}{\text{ ream}} \cdot \dfrac{1 \text{ ream}}{500 \text{ pages}} = 0.004 \text{ inches per sheet} \\ \dfrac{5 \text{ inches}}{\text{ ream}} \cdot \dfrac{1 \text{ ream}}{500 \text{ pages}} = 0.004 \text{ pounds per sheet, or \(0.16\)onzas por hoja.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Una receta de muffins de calabacín afirma que produce 12 magdalenas, con 250 calorías por muffins. En cambio decides hacer mini-muffins, y la receta rinde 20 magdalenas. Si comes 4, ¿cuántas calorías consumirás?

Solución

Existen varias vías de solución posibles para responder a esta pregunta. Exploraremos uno.

Para responder a la pregunta de cuántas calorías contendrán 4 mini-muffins, nos gustaría saber la cantidad de calorías en cada mini-muffins. Para encontrar las calorías en cada mini-muffins, primero podríamos encontrar las calorías totales para toda la receta, luego dividirla por el número de mini-muffins producidos. Para encontrar el total de calorías para la receta, podríamos multiplicar las calorías por muffin estándar por el número por muffin. Observe que esto produce una vía de solución de varios pasos. A menudo es más fácil resolver un problema en pequeños pasos, en lugar de tratar de encontrar una manera de saltar directamente de la información dada a la solución.

Ahora podemos ejecutar nuestro plan:

\(12 \text{ muffins} \cdot \dfrac{250 \text{ calories}}{\text{muffin}} = 3000 \text{ calories for the whole recipe} \\ \dfrac{3000 \text{ calories}}{20 \text{ mini-muffin}} \text{ gives 150 calories per mini-muffin} \\ 4 \text{ mini-muffins} \cdot \dfrac{150 \text{ calories}}{\text{mini-muffin}} = \text{total } 600 \text{ calories consumed} \)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Necesitas reemplazar las tablas en tu cubierta. ¿Sobre cuánto costarán los materiales?

Solución

Hay dos enfoques que podríamos tomar para este problema:

1. Estimar el número de tableros que necesitaremos y encuentre el costo por placa, o
2. Estime el área de la cubierta y encuentre el costo aproximado por pie cuadrado para tablas de cubierta. Tomaremos este último enfoque.

Para esta vía de solución, podremos responder a la pregunta si conocemos el costo por pie cuadrado para tablas de tarima y los pies cuadrados de la cubierta. Para encontrar el costo por pie cuadrado para tablas de tarima, podríamos calcular el área de una sola tabla y dividirla en el costo de esa tabla. Podemos calcular los pies cuadrados de la cubierta usando fórmulas geométricas. Entonces primero necesitamos información: las dimensiones de la cubierta, y el costo y dimensiones de una sola tabla de cubierta.

Supongamos que al medir la plataforma, es rectangular, mide 16 pies por 24 pies, para un área total de 384 pies\(^2\).

De una visita a la tienda local para el hogar, encuentras que una tabla de cubierta de cedro de 8 pies por 4 pulgadas cuesta alrededor de $7.50. El área de esta placa, haciendo la conversión necesaria de pulgadas a pies, es:

\( 8 \text{ feet} \cdot 4 \text{ inches} \cdot \dfrac{1 \text{ foot}}{12 \text{ inches}} = 2.667 \text{ ft}^2. \\ \text{The cost per square foot is then } \dfrac{$7.50}{2.667 \text{ ft}^2} = $2.8125 \text{ per ft}^2. \\ \text{This will allow us to estimate the material cost for the whole } 384 \text{ ft}^2 \text{ deck: } \$384 \text{ ft}^2 \cdot \dfrac{$2.8125}{\text{ft}^2} = $1080 \text{ total cost} \)

Por supuesto, esta estimación de costos supone que no hay desperdicio, lo cual rara vez es el caso. Es común agregar al menos 10% a la estimación de costos para contabilizar los desechos.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

¿Vale la pena comprar un híbrido Hyundai Sonata en lugar del Hyundai Sonata regular?

Solución

Para tomar esta decisión, primero debemos decidir cuál será nuestra base para la comparación. Para los fines de este ejemplo, nos centraremos en los costos de combustible y compra, pero los impactos ambientales y los costos de mantenimiento son otros factores que un comprador podría considerar.

Podría ser interesante comparar el costo de la gasolina para hacer funcionar ambos autos durante un año. Para determinar esto, necesitaremos saber las millas por galón que obtienen ambos autos, así como el número de millas que esperamos conducir en un año. A partir de esa información, podemos encontrar la cantidad de galones requeridos a partir de un año. Usando el precio del gas por galón, podemos encontrar el costo de funcionamiento.

Desde el sitio web de Hyundai, la Sonata 2013 obtendrá 24 millas por galón (mpg) en la ciudad y 35 mpg en la carretera. El híbrido obtendrá 35 mpg en la ciudad, y 40 mpg en la carretera.

Un conductor promedio conduce alrededor de 12,000 millas al año. Supongamos que esperas conducir alrededor del 75% de eso en la ciudad, así que 9,000 millas de ciudad al año, y 3,000 millas de carretera al año.

Entonces podemos encontrar la cantidad de galones que cada auto requeriría para el año.

\( \text{Sonata: } 9000 \text{ city miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{24 \text{ city miles}} + 3000 \text{ highway miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{35 \text{ city miles}} = 460.7 \text{ gallons} \\ \text{Hybrid: } 9000 \text{ city miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{35 \text{ city miles}} + 3000 \text{ highway miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{40 \text{ city miles}} = 332.1 \text{ gallons} \\ \text{If gas in your area averages about \($\)3.50 podemos usar eso para encontrar el costo de funcionamiento:}\\\ text {Sonata:} 460.7\ text {galones}\ cdot\ dfrac {$3.50} {\ text {galón}} = $1612.45\\ texto {Híbrido:} 332.1\ text {galones}\ cdot\ dfrac {$3.50} {\ text {galón}} = $1162.35\)

El híbrido ahorrará 450.10 dólares al año. Los costos de gas para el híbrido son aproximadamente más\( \dfrac{$450.10}{$1612.45} = 0.279 = 27.9% \) bajos que los costos para la Sonata estándar.

Si bien aquí son útiles tanto las comparaciones absolutas como las relativas, todavía dificultan responder a la pregunta original, ya que “vale la pena” implica que hay alguna compensación por el ahorro de gas. En efecto, la Sonata híbrida cuesta alrededor de $25,850, en comparación con el modelo base para la Sonata regular, en 20.895 dólares.

Para responder mejor a la pregunta “vale la pena”, podríamos explorar cuánto tiempo tardará el ahorro de gas para recuperar el costo inicial adicional. El híbrido cuesta $4,965 más. Con ahorros de gas de 451.10 dólares anuales, tardarán alrededor de 11 años para que los ahorros de gas compensen los costos iniciales más altos.

Podemos concluir que si esperas ser dueño del auto 11 años, el híbrido realmente vale la pena. Si planeas ser dueño del auto por menos de 11 años, aún puede valer la pena, ya que el valor de reventa del híbrido puede ser mayor, o por otras razones no monetarias. Este es un caso en el que las matemáticas pueden ayudar a guiar tu decisión, pero no puede tomarla por ti.

Pruébalo ahora 6

Si viaja de Seattle, WA a Spokane WA para una conferencia de tres días, ¿tiene más sentido conducir o volar?

Pruébalo ahora Respuestas

1. El precio de venta es de $799 (0.70) = $559.30. Después de impuestos, el precio es de $559.30 (1.092) = $610.76
2. 2001-2002: Cambio absoluto: 0.43 billones de dólares. Cambio relativo: 7.45% 2005-2006: Cambio absoluto: 0.54 billones de dólares. Cambio relativo: 6.83% 2005-2006 experimentó un aumento absoluto mayor, pero un incremento relativo menor.
3. Sin más información, es difícil juzgar estos argumentos. Esto se ve agravado por la complejidad de Medicare. Resulta que los 716 mil millones de dólares no son un recorte en el gasto corriente, sino un recorte en futuros aumentos en el gasto, reduciendo en gran medida el crecimiento futuro en los pagos de atención médica. En este caso, al menos las afirmaciones numéricas en ambos enunciados podrían considerarse al menos parcialmente verdaderas. Aquí hay una fuente de más información si te interesa: http://factcheck.org/2012/08/a-campa... -de-medida/
4. \( 18 \text{ inches} \cdot \dfrac{1 \text{ foot}}{12 \text{ inches}} \cdot \dfrac{19.8 \text{ pounds}}{1000 \text{ feet}} \cdot \dfrac{16 \text{ ounces}}{1 \text{ pound}} ≈ 0.475 \text{ ounces} \)
5. La caja de arena original tiene un volumen de 64 pies\(^3\). La caja de arena más pequeña tiene un volumen de 24 pies\(^3\). \( \dfrac{48 \text{ bags}}{64 \text{ ft}^3} = \dfrac{x \text{ bags}}{24 \text{ ft}^3} \)resultados en\(x =\) 18 bolsas
6. No se proporciona suficiente información para responder a la pregunta, por lo que tendremos que hacer algunas suposiciones, y buscar algunos valores.

Supuestos:

1. Somos dueños de un auto. Supongamos que se pone 24 millas al galón. Solo consideraremos el costo del gas.
2. No necesitaremos alquilar un auto en Spokane, pero necesitaremos tomar un taxi desde el aeropuerto hasta el hotel de conferencias en el centro y viceversa.
3. Podemos conseguir que alguien nos deje en el aeropuerto, así que no necesitamos considerar el estacionamiento del aeropuerto.
4. No vamos a considerar si vamos a perder dinero al tener que tomarnos un tiempo libre del trabajo para conducir.

Valores buscada (tus valores pueden ser diferentes)

1. Costo del vuelo: $184
2. Costo del taxi: $25 por trayecto (estimación, según el sitio web del hotel)
3. Distancia de manejo: 280 millas por trayecto
4. Costo de la gasolina: $3.79 el galón

Costo por volar: $184 costo de vuelo + $50 en tarifas de taxi = $234.

Costo por conducir: 560 millas ida y vuelta requerirán 23.3 galones de gasolina, con un costo de $88.31.

En base a estos supuestos, conducir es más económico. Sin embargo, nuestra suposición de que solo incluimos el costo del gas puede no ser buena. La ley fiscal le permite deducir $0.55 (en 2012) por cada milla conducida, un valor que da cuenta de la gasolina así como una porción del costo del automóvil, seguro, mantenimiento, etc. Con base en este número, el costo de conducir sería $319.