2.6: Suma y resta con otras bases
- Page ID
- 112899
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Adición en Otras Bases
Como vimos en la sección anterior con el sistema de numeración maya, podemos sumar o restar en otras bases. A continuación se presentan una serie de pasos, pero, en general, agregamos como de costumbre al tiempo que encontramos su número equivalente desde la base 10 hasta la nueva base.
- Reescribe la suma verticalmente, si no lo es ya.
- Comienza en el lugar de unos (como de costumbre), pero encuentra el número que representa la suma en base b.
- Si la suma es mayor que la base b, entonces arrastre al valor posicional b 1.
- Repita los pasos 2 y 3 para los valores b 2, b 3,... posicionales.
Sumar en la base dos: 111 dos + 11 dos
Solución
Escribiendo esto verticalmente, obtenemos
\( 111_{two} \)
\(\\ + \underline{11_{two}} \)
Vamos a agregar los que se colocan como de costumbre. Si estuviéramos en base 10, 1+1=2; 2 en base 10 equivale a 0 en base 2 y llevamos 1 al lugar de los 2. Recordemos, la base dos es {0,1}. De ahí que el lugar de unos es 0:
\( 11^{+1}1_{two} \)
\(\\ + \underline{ 1 \;\;\; 1_{two}} \)
\(\; 1 \;\; 0_{two} \)
Sumando en el lugar de los 2, 1+1+1=3 en la base 10, pero 3 es 1 en la base 2 y llevamos 1 al lugar de 2 2:
\( 1^{+1}11_{two} \)
\( + \underline{\;\;\;11_{two}} \)
\( 0 \;\;\; 10_{two} \)
Sumando en el lugar de 2 2, obtenemos 1+1=2 en base 10, pero 2 en base 10 es 0 en base 2 y llevamos un 1 sobre el lugar de 2 3:
\( +1\;1\;11_{two} \)
\( + \underline{\;\;\;\;\;11_{two}} \)
\( 1 \;\;\; 010_{two} \)
De ahí que 111 dos + 11 dos = 1010 dos. Tenga en cuenta que otra forma de hacer esto es convertir cada número a base 10 y agregar como de costumbre, luego convertir el resultado nuevamente en base 2.
Sumar en base cinco: 44 cinco + 42 cinco
Solución
Probemos esto convirtiendo cada número a base 10, agregándolos, luego convirtiendo la suma nuevamente en base 5:
44 cinco = 4 (5) + 4 (1) = 24 diez
42 cinco = 4 (5) + 2 (1) = 22 diez
A continuación, sumamos los números base 10:
24 + 22 = 46 diez
Al convertir 46 en base diez en un número en la base 5, utilizamos la técnica de las secciones anteriores y obtenemos 141 cinco. Así, 46 en la base 10 equivale a 141 en la base 5.
Resta en Otras Bases
Reescribe la resta verticalmente, si no lo es ya.
Comienza en el lugar de unos (como de costumbre), pero encuentra el número que representa la diferencia en base b.
Si el lugar unos del minuendo es menor que el lugar del sustraendo, entonces toma prestado del valor posicionar a la izquierda en esa base b. Después restar como de costumbre.
Repita los pasos 2 y 3 para los valores posicionales b 2, b 3.
Restar en base 5:240 cinco - 40 cinco
Solución
\( 240_{five} \)
\(- \underline{40_{five}} \)
Si tomamos el lugar unos, 0-0 =0, que es 0 en base 5, entonces el lugar de unos se queda 0.
\( 240_{five} \)
\(- \underline{40_{five}} \)
\( 0\)
Ahora tomemos el lugar de los 5's: 4-4=0. Dado que 0 está en la base 5, entonces el lugar de los 5 es 0.
\( 240_{five} \)
\(- \underline{40_{five}} \)
\( 00\;\)
Echemos un vistazo al lugar de 5 2's. Aviso, podemos simplemente dejar caer los dos hacia abajo y obtener
\( 240_{five} \)
\(- \underline{40_{five}} \)
\( 200_{5}\;\;\)
Así, 240 cinco - 40 cinco = 200 cinco.
¿Y si tenemos que pedir prestado? Podemos restar con endeudamiento fácilmente en base 10, pero ¿y si quisiéramos restar dos números que incluían el préstamo? A ver.
Restar en base 5:404 cinco - 323 cinco
Solución
Reescribiendo esto verticalmente, obtenemos
\( 404_{five} \)
\(- \underline{323_{five}} \)
Restando en el lugar de unos, obtenemos 4-3=1. Ya que 1 está en la base 5, entonces el lugar de unos es 1.
\(\; 404_{five} \)
\(- \underline{323_{five}} \)
\( 1\)
Mirando el lugar de los 5's, fíjese que 0 es menor que 2 y tenemos que pedir prestado del lugar de los 52's. Recordemos, estamos en base 5, así que cuando pedimos prestado, seguimos reducimos 4 a 3, pero llevamos 5 ya que estamos en base 5:
\(\; 4^3 0^5 4_{five} \)
\(- \underline{3\;2\;3_{five}} \)
\( 0\;3\;1_{five}\)
Ahora, restamos como de costumbre: 5-2 = 3. Dado que 3 está en la base 5, entonces el lugar de los 5 es 3. Restando en el lugar de 5 2, obtenemos 3-3=0; de ahí que el lugar de 5 2 es 0.
Así, 404 cinco - 323 cinco = 31 cinco.
Conclusión
En este capítulo, hemos esbozado brevemente el desarrollo de los números y nuestro sistema de conteo, con énfasis en la parte “breve”. Existen numerosas fuentes de información e investigación que llenan muchos volúmenes de libros sobre este tema. Desafortunadamente, no podemos comenzar a acercarnos a cubrir toda la información que hay por ahí.
Solo hemos arañado la superficie de la riqueza de investigación e información que existe sobre el desarrollo de los números y el conteo a lo largo de la historia humana. Es importante señalar que el sistema que usamos todos los días es producto de miles de años de progreso y desarrollo. Representa contribuciones de muchas civilizaciones y culturas. No nos baja del cielo, un regalo de los dioses. No es la creación de un editor de libros de texto. En efecto, es tan humano como nosotros, como lo es el resto de las matemáticas. Detrás de cada símbolo, fórmula y regla hay un rostro humano por encontrar, o al menos buscado.
Además, esperamos que ahora tenga una apreciación básica de lo interesantes y diversos que pueden llegar a ser los sistemas numéricos. Además, estamos bastante seguros de que también has empezado a reconocer que damos por sentado nuestro propio sistema numérico tanto que cuando tratamos de adaptarnos a otros sistemas o bases, realmente nos encontramos teniendo que concentrarnos y pensar en lo que está pasando.
1. 1+6×3+3×6+2×12 = 61 gatos.
2. De izquierda a derecha:
Cordón 1 = 2,162
Cordón 2 = 301
Cordón 3 = 0
Cordón 4 = 2,070
3. 41065 7 = 9994 10
4. 143 10 = 1033 5
5. 21021 3 = 196 10
6. 657 10 = 22101 4
7. 8377 10 = 20271 8
8. 9352 10 = 244402 5
9. 1500 10 = 2001120 3
10. 1562
11. 10553 10 = 1,6,7,13 20
12. 5617 10 = 14,0,17 20. Tenga en cuenta que hay un cero en el lugar de los 20, por lo que deberá usar el símbolo de cero apropiado entre los lugares de los unos y 400.
13. Se muestra una solución de muestra.
