7.4: Anualidades de pago
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En la última sección, aprendiste sobre anualidades. En una anualidad, comienzas sin nada, pones dinero en una cuenta de forma regular y terminas con dinero en tu cuenta. En esta sección, aprenderemos sobre una variación llamada anualidad de pago. Con una anualidad de pago, comienzas con dinero en la cuenta y sacas dinero de la cuenta de forma regular. Cualquier dinero restante en la cuenta gana intereses. Después de una cantidad fija de tiempo, la cuenta terminará vacía.
Las anualidades de pago se suelen utilizar después de la jubilación. Quizás haya ahorrado 500.000 dólares para la jubilación, y quiera sacar dinero de la cuenta cada mes para vivir. Quieres que el dinero te dure 20 años. Esta es una anualidad de pago. La fórmula se deriva de manera similar a la que hicimos para anualidades de ahorro. Aquí se omiten los detalles.
\[P_0 = \dfrac{d \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{r}{k} \right)^{-Nk} \right) }{\left(\dfrac{r}{k}\right)} \label{payout} \]
donde
- \(P_0\)es el saldo en la cuenta al inicio (monto inicial, o principal).
- \(d\)es el retiro regular (la cantidad que sacas cada año, cada mes, etc.)
- \(r\)es la tasa de interés anual (en forma decimal. Ejemplo:\(5\% = 0.05\))
- \(k\)es el número de períodos compuestos en un año.
- \(N\)es el número de años que planeamos tomar retiros
Al igual que con las anualidades, la frecuencia de composición no siempre se da explícitamente, sino que está determinada por la frecuencia con la que toma los retiros.
Anualidades de pago asumiendo que usted toma dinero de la cuenta en un horario regular (cada mes, año, trimestre, etc.) y dejar que el resto se siente ahí ganando intereses.
- Interés compuesto: Un depósito
- Anualidad: Muchos depósitos
- Anualidad de pago: Muchos retiros
Después de jubilarse, desea poder tomar $1000 cada mes por un total de 20 años de su cuenta de retiro. La cuenta gana 6% de interés. ¿Cuánto necesitará en su cuenta cuando se jubile?
Solución
En este ejemplo,
El retiro mensual:
\(d = $1000\)
6% de tasa anual:
\(r = 0.06\)
Como estamos haciendo retiros mensuales, compondremos mensualmente:
\(k = 12\)
Ya que estaban tomando retiros por 20 años:
\(N = 20\)
Estamos buscando\(P_0\); cuánto dinero necesita estar en la cuenta al principio. Poniendo esto en la Ecuación\ ref {payout}, obtenemos
\[\begin{align*} P_0 &= \dfrac{1000 \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{-20(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)} \\[4pt] &= \dfrac{1000 \times \left( 1 - \left( 1.005 \right)^{-240} \right) }{\left( 0.005 \right)} \\[4pt] &= \dfrac{1000 \times \left( 1 - 0.302 \right) }{\left( 0.005 \right)} = $139,600 \end{align*} \nonumber \]
Deberá tener\($139,600\) en su cuenta cuando se jubile.
Observe que retiró un total de\($240,000\) (\($1000\)un mes por\(240\) meses). La diferencia entre lo que sacaste y con lo que empezaste es el interés ganado. En este caso, es\($240,000 - $139,600 = $100,400\) de interés.
Con estos problemas, es necesario elevar los números a los poderes negativos. La mayoría de las calculadoras tienen un botón separado para negar un número que es diferente al botón de resta. Algunas calculadoras etiquetan esto\((-)\), algunas con\(+/-\). El botón suele estar cerca de la\(=\) clave o del punto decimal.
Si su calculadora muestra operaciones en ella (normalmente una calculadora con pantalla multilínea), para calcular\(1.005^{-240}\) escribiría algo como\(1.005\)\(^\)\((-)\)\(240\)
Si tu calculadora solo muestra un valor a la vez, generalmente presionas la\((-)\) tecla después de un número para anularlo, así ingresarías\(1.005\)\(y^x\)\((-)\)\(240\)\(=\)
Dale una oportunidad\(-\) que deberías obtener\(1.005^{-240} = 0.302096\)
Sabes que tendrás $500,000 en tu cuenta cuando te jubiles. Quieres poder tomar retiros mensuales de la cuenta por un total de 30 años. Tu cuenta de retiro gana 8% de interés. ¿Cuánto vas a poder retirar cada mes?
Solución
En este ejemplo, estamos buscando\(d\).
8% tasa anual:
\(r = 0.08\)
Ya que estamos retirando mensualmente:
\(k = 12\)
30 años:
\(N= 30\)
Estamos comenzando con $500,000:
\(P_{30} = $500,000\)
En este caso, vamos a tener que configurar la Ecuación\ ref {payout}, y resolver para\(d\).
\(500000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1+ \dfrac{0.08}{12} \right)^{-30(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.08}{12}\right)} \)
\(500000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1.00667 \right)^{-360} \right) }{\left( 0.00667 \right)} \)
\(500000 = d(136.232) \)
\(d = \dfrac{500000}{136.232} = $3670.21 \)
Serías capaz de retirar\($3,670.21\) cada mes por\(30\) años.
En general, si quisiéramos obtener el monto de cada retiro, podemos reescribir la fórmula de anualidad de pago (Ecuación\ ref {payout}) como
\[d = \dfrac{P_0 \cdot \dfrac{r}{k}}{\left( 1 - \left( 1 + \dfrac{r}{k} \right)^{-Nk} \right)} \nonumber \]
Un donante da 100.000 dólares a una universidad, y especifica que se va a utilizar para dar becas anuales durante los próximos 20 años. Si la universidad puede ganar 4% de interés, ¿cuánto pueden dar en becas cada año?