7.3: Anualidades
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Para la mayoría de nosotros, hoy no somos capaces de poner una gran suma de dinero en el banco. En cambio, ahorramos para el futuro depositando una cantidad menor de dinero de cada cheque de pago en el banco. Esta idea se llama anualidad de ahorro. La mayoría de los planes de jubilación como los planes 401k o los planes IRA son ejemplos de anualidades de ahorro.
Una anualidad puede describirse recursivamente de una manera bastante sencilla. Recordemos que el interés compuesto básico se desprende de la relación
\[P_m = \left(1 + \dfrac{r}{k}\right)P_{m-1} \nonumber \]
Para una anualidad de ahorro, simplemente necesitamos agregar un depósito,\(d\), a la cuenta con cada período compuesto:
\[P_m = \left(1 + \dfrac{r}{k}\right)P_{m-1} + d \nonumber \]
Llevar esta ecuación de forma recursiva a forma explícita es un poco más complicado que con interés compuesto. Será más fácil de ver trabajando con un ejemplo en lugar de trabajar en general.
Supongamos que depositaremos $100 cada mes en una cuenta pagando 6% de interés. Suponemos que la cuenta se compone con la misma frecuencia con la que hacemos depósitos a menos que se indique lo contrario. En este ejemplo:
\(r = 0.06 (6\%)\)
\(k = 12\)(12 compuestos/depósitos por año)
\(d = $100\)(nuestro depósito por mes)
Escribir la ecuación recursiva da
\(P_m = \left(1 + \dfrac{0.06}{12}\right)P_{m-1} + 100 = (1.005)P_{m-1} + 100 \)
Suponiendo que comencemos con una cuenta vacía, podemos comenzar a usar esta relación:
\(P_0 = 0\)
\(P_1 = (1.005)P_0 + 100 = 100\)
\(P_2 = (1.005)P_1 + 100 = (1.005)(100) + 100 = 100(1.005) + 100\)
\(P_3 = (1.005)P_2 + 100 = (1.005)(100(1.005 + 100)) + 100 = 100(1.005)^2 + 100(1.005) + 100\)
Continuando con este patrón, después de\(m\) los depósitos, habríamos ahorrado
\(P_m = 100(1.005)^{m-1} + 100(1.005)^{m-2} +...+ 100(1.005) + 100\)
Es decir, después de\(m\) meses, el primer depósito habrá ganado intereses compuestos durante\(m-1\) meses. El segundo depósito habrá ganado intereses por\(m-2\) meses. El depósito de los últimos meses habría ganado sólo un mes de interés. El depósito más reciente aún no habrá ganado intereses.
Sin embargo, esta ecuación deja mucho que desear — ¡no facilita el cálculo del saldo final! Para simplificar las cosas, multiplica ambos lados de la ecuación por\(1.005\):
\(1.005P_m = 1.005(100(1.005)^{m-1} + 100(1.005)^{m-2} +...+ 100(1.005) + 100)\)
Distribuir en el lado derecho de la ecuación da
\(1.005P_m = 100(1.005)^{m} + 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005)^{2} + 100(1.005)\)
Ahora vamos a alinear esto con términos similares de nuestra ecuación original, y restar cada lado
\(1.005P_m = 100(1.005)^{m} + 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005)\)
\(P_m = 100(1.005)^{m-1} +...+ 100(1.005) + 100\)
Casi todos los términos cancelan en el lado derecho cuando restamos, dejando
\(1.005P_m - P_m = 100(1.005)^{m} - 100\)
Resolviendo para\(P_m\)
\(0.005P_m = 100 \left( (1.005)^{m} - 1 \right)\)
\(P_m = \dfrac{100 \left( (1.005)^{m} - 1 \right)}{0.005}\)
Reemplazar m meses con\(12N\), donde\(N\) se mide en años, da
\(P_N = \dfrac{100 \left( (1.005)^{12N} - 1 \right)}{0.005}\)
Recordar\(0.005\) fue\(\dfrac{r}{k}\) y\(100\) fue el depósito\(d\). \(12\)era\(k\), el número de depósito cada año. Generalizando este resultado, obtenemos la fórmula de anualidad de ahorro.
\[P_N = \dfrac{d \left( \left( 1+ \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} - 1 \right) }{\left(\dfrac{r}{k}\right)} \nonumber \]
donde
- \(P_N\)es el saldo en la cuenta después de\(N\) años.
- \(d\)es el depósito regular (la cantidad que depositas cada año, cada mes, etc.)
- \(r\)es la tasa de interés anual en forma decimal.
- \(k\)es el número de períodos compuestos en un año.
- Si no se indica explícitamente la frecuencia de composición, supongamos que hay el mismo número de compuestos en un año que hay depósitos hechos en un año.
Si no se indica la frecuencia de composición, utilízalas como regla general:
- Si realiza sus depósitos todos los meses, utilice la composición mensual,\(k = 12\).
- Si realiza sus depósitos todos los años, utilice la composición anual,\(k = 1\).
- Si realiza sus depósitos cada trimestre, utilice la capitalización trimestral,\(k = 4\).
y así sucesivamente.
Las anualidades asumen que pones dinero en la cuenta en un horario regular (cada mes, año, trimestre, etc.) y que se quede ahí ganando intereses.
El interés compuesto supone que pones dinero en la cuenta una vez y dejas que quede ahí ganando intereses.
- Interés compuesto: Un depósito
- Anualidad: Muchos depósitos.
Una cuenta de retiro individual (IRA) tradicional es un tipo especial de cuenta de retiro en la que el dinero que inviertes está exento de impuestos sobre la renta hasta que lo retires. Si depositas $100 cada mes en una IRA ganando 6% de interés, ¿cuánto tendrás en la cuenta después de 20 años?
Solución
En este ejemplo,
El depósito mensual:
\(d = $100\)
6% anual:
\(r = 0.06\)
Como estamos haciendo depósitos mensuales, compondremos mensualmente:
\(k = 12\)
Queremos el monto después de 20 años:
\(N= 20\)
Poniendo esto en la ecuación, obtenemos
\(P_{20} = \dfrac{100 \left( \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{20(12)} - 1 \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)} \)
\(P_{20} = \dfrac{100 \left( \left( 1.005 \right)^{240} - 1 \right) }{(0.005)} \)
\(P_{20} = \dfrac{100 \left( 3.310 - 1 \right) }{(0.005)} \)
\(P_{20} = \dfrac{100 \left( 2.310 \right) }{(0.005)} = $46,200\)
La cuenta crecerá a\($46,200\) después de 20 años.
Observe que depositó en la cuenta un total de\($24,000\) (\($100\)un mes por\(240\) meses). La diferencia entre lo que terminas y lo mucho que pones es el interés ganado. En este caso, lo es\($46200 - $24000 = $22200\).
Quieres tener $200,000 en tu cuenta cuando te jubiles en 30 años. Tu cuenta de retiro gana 8% de interés. ¿Cuánto necesitas depositar cada mes para cumplir con tu objetivo de retiro?
Solución
En este ejemplo, estamos buscando\(d\).
8% tasa anual:
\(r = 0.08\)
Ya que estamos depositando mensualmente:
\(k = 12\)
30 años:
\(N= 30\)
La cantidad que queremos tener en 30 años:
\(P_{30} = $200,000\)
En este caso, vamos a tener que configurar la ecuación, y resolver para\(d\).
\(200000 = \dfrac{d \left( \left( 1+ \dfrac{0.08}{12} \right)^{30(12)} - 1 \right) }{\left(\dfrac{0.08}{12}\right)} \)
\(200000 = \dfrac{d \left( \left( 1.00667 \right)^{360} - 1 \right) }{\left( 0.00667\right)} \)
\(200000 = d(1491.57) \)
\(d = \dfrac{200000}{1491.57} = $134.09\)
Entonces, necesitarías depositar\($134.09\) cada mes para tener\($200,000\) en 30 años si tu cuenta gana\(8\%\) intereses
En general, si necesitamos obtener el monto de los depósitos, podemos simplemente reescribir la fórmula de anualidad como
\[d = \dfrac{P_N \cdot \dfrac{r}{k}}{\left( 1 + \dfrac{r}{k} \right)^{Nk} - 1 } \nonumber \]
Una cuenta de inversión más conservadora paga 3% de interés. Si depositas 5 dólares diarios en esta cuenta, ¿cuánto tendrás después de 10 años? ¿Cuánto es del interés?