7.6: Saldo restante del préstamo
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Con los préstamos, a menudo es deseable determinar cuál será el saldo restante del préstamo después de algún número de años. Por ejemplo, si compras una vivienda y planeas venderla en cinco años, tal vez quieras saber cuánto del saldo del préstamo habrás pagado y cuánto tienes que pagar de la venta.
Para determinar el saldo restante del préstamo después de algún número de años, primero necesitamos conocer los pagos del préstamo, si aún no los conocemos. Recuerda que solo una parte de los pagos de tu préstamo va hacia el saldo del préstamo; una parte va a ir hacia intereses. Por ejemplo, si tus pagos fueron de $1,000 mensuales, después de un año no habrás pagado $12,000 del saldo del préstamo.
Para determinar el saldo restante del préstamo, podemos pensar “¿cuánto del préstamo podrán pagar estos pagos del préstamo en el tiempo restante del préstamo?”
Si una hipoteca a una tasa de interés del 6% tiene pagos de $1,000 mensuales, ¿cuánto será el saldo del préstamo a 10 años de la finalización del préstamo?
Solución
Para determinar esto, estamos buscando el monto del préstamo que se pueda liquidar por $1,000 mensuales pagos en 10 años. En otras palabras, estamos buscando\(P_0\) cuándo
El pago mensual del préstamo:
\(d = $1000\)
6% anual:
\(r = 0.06\)
Como estamos haciendo pagos mensuales, compondremos mensualmente:
\(k = 12\)
Ya que estamos haciendo pagos mensuales por 10 años más:
\(N = 10\)
\(P_0 = \dfrac{1000 \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{0.06}{12} \right)^{-10(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.06}{12}\right)} \)
\(P_0 = \dfrac{1000 \times \left( 1 - \left( 1.005 \right)^{-120} \right) }{\left( 0.005 \right)} \)
\(P_0 = \dfrac{1000 \left( 1 - 0.5496 \right) }{\left( 0.005 \right)} = $90,073.45\)
El saldo del préstamo con\(10\) años restantes en el préstamo será\($90,073.45\).
Muchas veces, responder preguntas sobre el saldo restante requiere dos pasos:
- Cálculo de los pagos mensuales del préstamo
- Calcular el saldo restante del préstamo basado en el tiempo restante del préstamo
Una pareja compra una vivienda con una hipoteca de $180,000 al 4% por 30 años con pagos mensuales. ¿Cuál será el saldo restante de su hipoteca después de 5 años?
Solución
Primero, calcularemos sus pagos mensuales, es decir, que estamos buscando\(d\).
4% tasa anual:
\(r = 0.04\)
Ya que están pagando mensualmente:
\(k = 12\)
30 años:
\(N= 30\)
El monto inicial del préstamo:
\(P_{30} = $180,000\)
Establecimos la ecuación y resolvemos para\(d\).
\(180000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1+ \dfrac{0.04}{12} \right)^{-30(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.04}{12}\right)} \)
\(180000 = \dfrac{d \left( 1- \left( 1.00333 \right)^{-360} \right) }{\left( 0.00333 \right)} \)
\(180000 = d(209.562) \)
\(d = \dfrac{180000}{209.562} = $858.93 \)
Ahora que conocemos los pagos mensuales, podemos determinar el saldo restante. Queremos el saldo restante después de\(5\)\(25\) años en los que quedarán años en el préstamo. Entonces, calculamos el saldo del préstamo que se pagará con los pagos mensuales a lo largo de esos\(25\) años.
El pago mensual del préstamo que calculamos anteriormente:
\(d = $858.93\)
4% tasa anual:
\(r = 0.04\)
Ya que están haciendo pagos mensuales:
\(k = 12\)
Ya que estarían haciendo pagos mensuales por 25 años más:
\(N = 25\)
\(P_0 = \dfrac{858.93 \left( 1 - \left( 1+ \dfrac{0.04}{12} \right)^{-25(12)} \right) }{\left(\dfrac{0.04}{12}\right)} \)
\(P_0 = \dfrac{858.93 \times \left( 1 - \left( 1.00333 \right)^{-300} \right) }{\left( 0.00333 \right)} \)
\(P_0 = \dfrac{858.93 \left( 1 - 0.369 \right) }{\left( 0.00333 \right)} = $155,793.91\)
El saldo del préstamo después de\(5\)\(25\) años, con años restantes en el préstamo, será\($155,793.91\).
A lo largo de esos\(5\) años, la pareja ha pagado el saldo\($180,000 - $155,793.91 = $24,206.09\) del préstamo. Han pagado un total de\($858.93\) un mes por\(5\) años (\(60\)meses), por un total de\($51,535.80\), así que\($51,535.80 - $24,206.09 = $27,329.71\) de lo que han pagado hasta ahora han sido intereses.