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7.7: Resolviendo por el tiempo

  • Page ID
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    A menudo, nos interesa cuánto tiempo tardará en acumular dinero o cuánto tiempo necesitaríamos extender un préstamo para reducir los pagos a un nivel razonable.

    Nota

    Esta sección asume que has cubierto la resolución de ecuaciones exponenciales usando logaritmos, ya sea en clases anteriores o en el capítulo de modelos de crecimiento.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Si inviertes $2,000 al 6% compuesto mensualmente, ¿cuánto tiempo tardará la cuenta en duplicar su valor?

    Solución

    Este es un problema de interés compuesto ya que estamos depositando dinero una vez y permitiendo que crezca. En este problema,

    El depósito inicial:

    \(P_0 = $2000\)

    6% de tasa anual:

    \(r = 0.06\)

    12 meses en 1 año:

    \(k = 12\)

    Entonces, nuestra ecuación general es\(P_N = 2000 \left( 1 + \dfrac{0.06}{12} \right)^{N \times 12} \). También sabemos que queremos que nuestro monto final sea el doble de $2,000, que es $4,000, así que estamos buscando para\(N\) eso\(P_N = 4,000\). Para resolver esto, establecemos nuestra ecuación para\(P_N\) igual a\(4,000\).

    Divide ambos lados por 2,000.

    \(4000 = 2000 \left( 1 + \dfrac{0.06}{12} \right)^{N \times 12} \)

    Para resolver para el exponente, toma el tronco de ambos lados.

    \(2 = (1.005)^{12N}\)

    Utilice la propiedad exponente de los troncos en el lado derecho.

    \( \log(2) = \log \left( (1.005)^{12N} \right) \)

    Ahora podemos dividir ambos lados por\(12 \log(1.005)\)

    \( \log(2) = 12N \log (1.005) \)

    \(\dfrac{\log(2)}{12 \log(1.005)} = N\)

    Aproximando esto a tres decimales, obtenemos\(N = 11.581\). Así, tomará alrededor de\(11.581\) años para que la cuenta duplique su valor.

    Tenga en cuenta que su respuesta puede salir ligeramente diferente si ha evaluado los registros a decimales y redondeado durante sus cálculos, pero su respuesta debe ser cercana. Por ejemplo, si redondeaste\(\ log(2)\) a\(0.301\) y\(\log(1.005)\) a\(0.00217\), entonces tu respuesta final habría sido de unos\(11.577\) años.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Si inviertes $100 cada mes en una cuenta ganando 3% compuesto mensualmente, ¿cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $10,000?

    Solución

    Este es un problema de anualidad de ahorro ya que estamos haciendo depósitos regulares en la cuenta.

    El depósito mensual:

    \(d = $100\)

    Tasa anual del 3%:

    \(r = 0.03\)

    Como estamos haciendo depósitos mensuales, compondremos mensualmente:

    \(k = 12\)

    No lo sabemos\(N\), pero\(P_N\) queremos serlo\($10,000\).

    Poniendo esto en la ecuación, obtenemos:

    \(10000 = \dfrac{100 \left( \left( 1+ \dfrac{0.03}{12} \right)^{N(12)} -1 \right) }{\left(\dfrac{0.03}{12}\right)} \)

    Simplificando un poco las fracciones:

    \(10000 = \dfrac{100 \left( \left( 1.0025 \right)^{12N} -1 \right) }{\left( 0.0025 \right)} \)

    Queremos aislar el término exponencial,\(1.0025^{12N}\), así multiplicar ambos lados por\(0.0025\).

    Divide ambos lados por 100:

    \(25 = 100 \left( (1.0025)^{12N} - 1 \right) \)

    Agrega 1 a ambos lados:

    \(0.25 = (1.0025)^{12N} - 1 \)

    Ahora toma el tronco de ambos lados:

    \(1.25 = (1.0025)^{12N} \)

    Utilice la propiedad exponente de los registros:

    \(\log(1.25) = \log \left( (1.0025)^{12N} \right) \)

    Dividir por\(12 \log(1.0025)\)

    \(\log(1.25) = 12N \log \left( 1.0025 \right) \)

    \(\dfrac{\log(1.25)}{12N \log \left( 1.0025 \right)} = N \)

    Aproximando a tres decimales, obtenemos\(N = 7.447\) años. Así, tardará unos\(7.447\) años en crecer la cuenta a\($10,000\).

    Pruébalo ahora 5

    Joel está considerando poner una compra de computadora portátil de $1,000 en su tarjeta de crédito, la cual tiene una tasa de interés de 12% compuesta mensualmente. ¿Cuánto tiempo le llevará pagar la compra si realiza pagos de $30 mensuales?

    Pruébalo ahora Respuestas

    1. \(I\)=\($30\) de interés

    \(P_0\)=\($500\) principal

    \(r\)= desconocido

    \(t\)=\(1\) mes

    Usando\(I = P_0rt\), obtenemos\(30 = 500 \cdot r \cdot 1\). Resolviendo, obtenemos\(r = 0.06\), o\(6 \%\). Dado que el tiempo era mensual, este es el interés mensual. La tasa anual sería\(12\) multiplicada por esto:\(72\%\) los intereses.

    2. El depósito diario:\(d = $5\)

    Tasa anual del 3%:\(r = 0.03\)

    Como estamos haciendo depósitos diarios, compondremos diariamente:\(k = 365\)

    Queremos el monto después de 10 años:\(N = 10\)

    \(P_{10} = \dfrac{5 \left( \left( 1 + \dfrac{0.03}{365} \right)^{365 \times 10} -1 \right) }{\dfrac{0.03}{365}} = $21,282.07\)

    Habríamos depositado un total de\($5 \cdot 365 \cdot 10 = $18250\), así\($3,032.07\) es de interés

    3. \(d = \text{ unknown}\)

    4% tasa anual:\(r = 0.04\)

    Ya que estamos haciendo becas anuales:\(k = 1\)

    20 años:\(N = 20\)

    Empezamos con 100.000 dólares:\(P_0 = 100,000\)

    \(100000 = \dfrac{d \left( 1 - \left(1 + \dfrac{0.04}{1} \right)^{-20 \times 1} \right) }{\dfrac{0.04}{1}}\)

    Resolviendo para\(d\) da\($7,358.18\) cada año que puedan dar en becas.

    Vale la pena señalar que generalmente los donantes en cambio especifican que solo se va a utilizar el interés para la beca, lo que hace que la donación original dure indefinidamente. Si este donante lo hubiera especificado, habría estado disponible\($100,000(0.04) = $4,000\) un año.

    4. \(d = \text{ unknown}\)

    16% anual:\(r = 0.16\)

    Ya que estamos haciendo pagos mensuales:\(k = 12\)

    2 años para reembolsar:\(N = 2\)

    Empezamos con un préstamo de $3,000:\(P_0 = 3,000\)

    \(3000 = \dfrac{d \left( 1 - \left(1 + \dfrac{0.16}{12} \right)^{-2 \times 12} \right) }{\dfrac{0.16}{12}}\)

    Resolviendo\(d\) para\($146.89\) las donaciones como pagos mensuales.

    En total, pagará\($3,525.36\) a la tienda, es decir, pagará\($525.36\) en intereses a lo largo de los dos años.

    5. Los pagos mensuales:\(d = $30\)

    Tasa anual del 12%:\(r = 0.12\)

    Ya que estamos haciendo pagos mensuales:\(k = 12\)

    2 años para reembolsar:\(N = 2\)

    Empezamos con un préstamo de $1,000:\(P_0 = 1,000\)

    Estamos resolviendo para\(N\), el momento de pagar el préstamo

    \(1000 = \dfrac{30 \left( 1 - \left(1 + \dfrac{0.12}{12} \right)^{-N (12)} \right) }{\dfrac{0.12}{12}}\)

    Resolviendo para\(N\) da\(3.396\). Tomará unos\(3.4\) años pagar la compra.


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