2.6: Resumen y lectura adicional

En este capítulo pensamos en elementos de preordenes como describir recursos, con el o der detallando si un recurso podría obtenerse de otro. Esto naturalmente llevó a la pregunta de cómo describir qué se podría construir a partir de un par de recursos, lo que nos llevó a considerar estructuras monoides en preordenes. De manera más abstracta, estos preordenes monoidales fueron vistos como ejemplos de categorías enriquecidas, o categorías V, sobre el preorden monoidal simétrico Bool. Cambiando Bool al pre- orden monoidal simétrico Costo, llegamos a los espacios métricos Lawvere, una ligera generalización de la noción habitual de espacio métrico. En términos de recursos, las categorías Costo nos indican el costo de obtener un recurso de otro.

En este punto, buscamos tener una mejor idea de las categorías V de dos maneras. Primero, introdujimos diversas construcciones importantes: cambio de base, funtores, productos. Segundo, vimos cómo presentar las categorías V usando gráficas etiquetadas; aquí, quizás de manera sorprendente, vimos que la multiplicación matricial da un algoritmo para calcular los hom-objetos a partir de una gráfica etiquetada.

Las teorías de los recursos se discuten con mucho más detalle en [CFS16; Fri17]. Los autores proporcionan muchos más ejemplos de teorías de recursos en la ciencia, incluyendo la termodinámica, la teoría de Shannon de los canales de comunicación y el enredo cuántico. También discuten más de la teoría numérica que nosotros, incluyendo el cálculo de la tasa asintótica de conversión de un recurso a otro.

El enriquecimiento es una noción fundamental en la teoría de categorías, y volveremos a ella en el Capítulo 4, generalizando la definición para que las categorías, en lugar de meros pedidos anticipados, puedan servir como bases de enriquecimiento. En esta configuración más general todavía podemos realizar las construcciones que introdujimos en la Sección 2.4 —cambio de base, funtores, productos— y muchas otras; la autoratitiva, pero de ninguna manera fácil, referencia sobre esto es el libro de Kelly [Kel05].

Si bien los pedidos anticipados eran familiares antes de que llegara la teoría de categorías, los espacios métricos de Lawvere son una hermosa generalización de la noción anterior de espacio métrico (simétrico), eso se debe, bueno, a Lawvere. Una exploración más profunda que el gusto que le dimos aquí se puede encontrar en su clásico artículo [Law73], donde también discute ideas como la integridad de Cauchy en términos teórico-categóricos, y que de ahí generalizan a otros escenarios categóricos.

Observamos que si bien cualquier preorden monoidal simétrico puede servir como base para el enriquecimiento, ciertos preordenes—cuantes—son mejores que otros. Los quantales también son bien conocidos por sus vínculos con otras partes de las matemáticas. La palabra quantale es, de hecho, una sigla de 'localidad cuántica', donde cuántica se refiere a la física cuántica, y la configuración regional es una estructura fundamental en la topología. Para una introducción del libro de quantales y sus aplicaciones, uno podría verificar [Ros90]. La noción de categorías cerradas cartesianas, posteriormente generalizadas a categorías cerradas monoidales, se debe a Ronnie Brown [Bro61].

Tenga en cuenta que si bien solo hemos considerado quantales conmutativos, la variedad no commutativa también surge de forma natural. Por ejemplo, el conjunto de potencias de cualquier monoide forma un quantale que es conmutativo si el monoide es. Otro ejemplo es el conjunto de todas las relaciones binarias en un conjunto X, donde la multiplicación es composición relacional; ésta es no conmutativa. Tales quantales no conmutativos tienen aplicación a la teoría de la concurrencia, y en particular a la semántica de procesos y autómatas; ver [AV93] para más detalles.