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# 10.1: Variables, constantes y números reales

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Objetivos de aprendizaje

• ser capaz de distinguir entre variables y constantes
• ser capaz de reconocer un número real y subconjuntos particulares de los números reales
• entender el orden de los números reales

## Variables y Constantes

Una distinción básica entre álgebra y aritmética es el uso de símbolos (generalmente letras) en álgebra para representar números. Entonces, el álgebra es una generalización de la aritmética. Veamos dos ejemplos de situaciones en las que las letras son sustituidas por números:

1. Supongamos que un estudiante está tomando cuatro clases universitarias, y cada clase puede tener como máximo 1 examen por semana. En cualquier periodo de 1 semana, el alumno podrá tener 0, 1, 2, 3 o 4 exámenes. En álgebra, podemos dejar que la letra$$x$$ represente el número de exámenes que este estudiante puede tener en un periodo de 1 semana. La letra$$x$$ podrá asumir cualquiera de los diversos valores 0, 1, 2, 3, 4.
2. Supongamos que al escribir un trabajo de término para una clase de biología un estudiante necesita especificar la vida promedio, en días, de una mosca doméstica macho. Si no conoce este número de la parte superior de su cabeza, podría representarlo (al menos temporalmente) en su papel con la letra$$t$$ (que le recuerda el tiempo). Posteriormente, pudo buscar el tiempo promedio en un libro de referencia y encontrarlo ser de 17 días. La letra solo$$t$$ puede asumir un valor, 17, y ningún otro valor. El valor$$t$$ es constante.

Definición: Variable, Constante

1. Una letra o símbolo que representa a cualquier miembro de una colección de dos o más números se denomina variable.
2. Una letra o símbolo que representa un número específico, conocido o desconocido, se denomina constante.

En el ejemplo 1, la letra$$x$$ es una variable ya que puede representar cualquiera de los números 0, 1, 2, 3, 4. La letra$$t$$ ejemplo 2 es una constante ya que sólo puede tener el valor 17.

## Números reales

Línea numérica real
El estudio de las matemáticas requiere el uso de varias colecciones de números. La recta numérica real nos permite mostrar visualmente (graficar) los números en los que estamos interesados.

Una línea está compuesta por infinitamente muchos puntos. A cada punto podemos asociar un número único, y con cada número, podemos asociar un punto en particular.

Definición: Coordinar

El número asociado a un punto en la recta numérica se denomina coordenada del punto.

Definición: Graph

El punto en una recta numérica que está asociado a un número determinado se denomina gráfico de ese número.

Construyendo una Línea de Número Real
Construimos una recta numérica real de la siguiente manera:

Dibuja una línea horizontal.

Origen
Elija cualquier punto de la línea y etiquételo 0. A este punto se le llama el origen.

Elija una longitud conveniente. A partir de 0, marca esta longitud en ambas direcciones, teniendo cuidado de que las longitudes parezcan que son aproximadamente las mismas.

Ahora definimos un número real.

Definición: Número real

Un número real es cualquier número que es la coordenada de un punto en la línea numérica real.

Definición: Número positivo, números negativos

Los números reales cuyas gráficas están a la derecha de 0 se denominan números reales positivos, o más simplemente, números positivos. Los números reales cuyas gráficas aparecen a la izquierda de 0 se denominan números reales negativos, o más simplemente, números negativos.

El número 0 no es ni positivo ni negativo.

## Subconjuntos de números reales

El conjunto de números reales tiene muchos subconjuntos. Algunos de los subconjuntos que son de interés en el estudio del álgebra se enumeran a continuación junto con sus notaciones y gráficas.

Números Naturales, Contando Números
Los
números naturales o contando$$(N)$$: 1, 2, 3, 4,. Lee “y así sucesivamente”.

Números
Enteros
Los números enteros$$(W)$$: 0, 1, 2, 3, 4,.

Observe que cada número natural es un número entero.

Enteros
Los enteros$$(Z)$$:.. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.

Observe que cada número entero es un entero.

Números racionales (Fracciones)
Los números racionales$$(Q)$$: Los números racionales a veces se llaman fracciones. Son números que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Tienen representaciones decimales que terminan o no terminan pero contienen un bloque repetitivo de dígitos. Algunos ejemplos son
$$\underbrace{\dfrac{-3}{4} = -0.75}_{text{Terminating}}$$$$\underbrace{8 \dfrac{11}{27} = 8.407407407...}_{\text{Nonterminating, but repeating.}}$$

Algunos números racionales se grafican a continuación.

Observe que cada entero es un número racional.

Observe que todavía hay muchos puntos en la recta numérica a los que aún no se les ha asignado un tipo de número. No vamos a examinar estos otros tipos de números en este texto. Se examinan en detalle en álgebra. Un ejemplo de estos números es el número$$\pi$$, cuya representación decimal no termina ni contiene un bloque repetitivo de dígitos. Una aproximación para$$\pi$$ es 3.14.

Conjunto de Muestras A

¿Cada número entero es un número natural?

Solución

No. El número 0 es un número entero pero no es un número natural.

Conjunto de Muestras A

¿Hay un entero que no sea un número natural?

Solución

Sí. Algunos ejemplos son 0, -1, -2, -3 y -4.

Conjunto de Muestras A

¿Hay un entero que sea un número entero?

Solución

Sí. De hecho, cada número entero es un entero.

Conjunto de práctica A

¿Cada número natural es un número entero?

Responder

si

Conjunto de práctica A

¿Cada número entero es un número entero?

Responder

si

Conjunto de práctica A

¿Cada entero es un número real?

Responder

si

Conjunto de práctica A

¿Hay un entero que sea un número entero?

Responder

si

Conjunto de práctica A

¿Hay un entero que no sea un número natural?

Responder

si

## Pedido de números reales

Ordenar números reales Se dice que
un número real$$b$$ es mayor que un número real$$a$$, denotado$$b > a$$, si$$b$$ está a la derecha de$$a$$ en la línea numérica. Así, como cabría esperar,$$5 > 2$$ ya que 5 está a la derecha de 2 en la recta numérica. También,$$-2 > -5$$ ya que -2 está a la derecha de -5 en la recta numérica.

-5, y en el lado izquierdo está 5 > 2." data-media-type="image/png" data-print-width="2.5in" width="400" src="https://math.libretexts.org/@api/dek.../graphics9.png">

Si dejamos$$a$$ y$$b$$ representamos dos números, entonces$$a$$ y$$b$$ se relacionan exactamente de una de tres maneras: O bien

$$a = b$$$$a$$ y$$b$$ son iguales (8 = 8)

$$\begin{cases} a > b & a \text{ is greater than }b & (8 > 5) \\ a < b & a \text{ is less than } b & (5 < 8) \\ \ & \text{Some variations of these symbols are} & \ \\ a \ne b & a \text{ is not equal to } b & (8 \ne 5) \\ a \ge b & a \text{ is greater than or equal to } b & (a \ge 8) \\ a \le b & a \text{ is less than or equal to } b & (a \le 8) \end{cases}$$

Conjunto de Muestras B

¿Qué enteros pueden reemplazar xx para que la siguiente afirmación sea verdadera?

$$-3 \le x < 2$$

Solución

Los enteros son -3, -2, -1, 0, 1.

Conjunto de Muestras B

Dibuja una recta numérica que se extienda de -3 a 5. Colocar puntos en todos los números enteros entre -1 y 3 inclusive.

Solución

-1 no es un número entero

Set de práctica B

¿Qué enteros pueden reemplazar$$x$$ para que la siguiente afirmación sea verdadera? $$-5 \le x < 2$$

Responder

-5, -4, -3, -2, -1, 0

Set de práctica B

Dibuja una recta numérica que se extienda de -4 a 3. Colocar puntos en todos los números naturales entre, pero sin incluir, -2 a 2.

Responder

## Ejercicios

Para los siguientes 8problemas, junto a cada número real, anote todas las colecciones a las que pertenece escribiendo$$N$$ para número natural,$$W$$ para número entero o$$Z$$ para entero. Algunos números pueden pertenecer a más de una colección.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

6

Responder

N, W, Z

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

12

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

0

Responder

W, Z

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

1

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

-3

Responder

Z

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

-7

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

-805

Responder

Z

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

-900

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

¿El número 0 es un número positivo, un número negativo, ninguno, o ambos?

Responder

Tampoco

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Un entero es un número entero par si es divisible uniformemente por 2. Dibuja una línea numérica que se extienda de -5 a 5 y coloque puntos en todos los enteros pares negativos y todos los enteros impares positivos.

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Dibuja una recta numérica que se extienda de -5 a 5. Coloque puntos en todos los enteros que satisfagan$$-3 \le x < 4$$.

Responder

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

¿Hay un número de dos dígitos más grande? Si es así, ¿qué es?

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

¿Hay un número más pequeño de dos dígitos? Si es así, ¿qué es?

Responder

Sí, 10

Para los pares de números reales en los siguientes 5 problemas, escriba el símbolo apropiado (<, >, =) en lugar de la □.

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

-7 □ -2

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

-5 □ 0

Responder

<

Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

-1 □ 4

Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

6 □ -1

Responder

>

Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

10 □ 10

Para los siguientes 5 problemas, ¿qué números pueden sustituir a m para que las siguientes afirmaciones sean ciertas?

Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

$$-1 \le m \le -5$$,$$m$$ un entero.

Responder

{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

$$-7 < m < -1$$,$$m$$ un entero.

Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

$$-3 \le m < 2$$,$$m$$ un número natural.

Responder

{1}

Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

$$-15 < m \le -1$$,$$m$$ un número natural.

Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

$$-5 \le m < 5$$,$$m$$ un número entero.

Responder

{0, 1, 2, 3, 4}

Para los siguientes 10 problemas, en la recta numérica, ¿cuántas unidades hay entre el par de números dado?

Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

0 y 3

Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

-4 y 0

Responder

4

Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

-1 y 6

Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

-6 y 2

Responder

8

Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

-3 y 3

Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

¿Todos los números positivos son mayores que cero?

Responder

si

Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

¿Todos los números positivos son mayores que todos los números negativos?

Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

¿Es 0 mayor que todos los números negativos?

Responder

si

Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

¿Hay un número natural más grande?

Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

¿Hay un entero negativo más grande?

Responder

sí, -1

#### Ejercicios para revisión

Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

Convertir$$6 \dfrac{5}{8}$$ a una fracción impropia.

Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

Encuentra el valor:$$\dfrac{3}{11}$$ de$$\dfrac{33}{5}$$.

Responder

$$\dfrac{9}{5}$$$$1 \dfrac{4}{5}$$o 1.8

Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

Encuentra la suma de$$\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{8}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

Convertir 30.06 cm a m.

Responder

0.3006 m

Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

Encuentra el área del triángulo.

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