4.3: Resolver desigualdades lineales

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 115847

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Las ecuaciones lineales tienen una sola solución. Las desigualdades lineales tienen infinitamente muchas soluciones, requiriendo intervalos para expresar soluciones. Comparemos:

Ecuación Lineal	Desigualdad Lineal
$\begin{array} &4b − 3 &= 5 \\ 4b − 3 + 3 &= 5 + 3 \\ 4b &= 8 \\ b &= 2 \end{array}$	$\begin{array} &4b − 3 &> 5 \\ 4b − 3 + 3 &> 5 + 3 \\ 4b &> 8 \\ b &> 2 \end{array}$
Conjunto de soluciones:$b = \{2\}$	Conjunto de soluciones:$\{b\| b > 2\}$ o Intervalo$(2, ∞)$

Notación de Set-Builder: Para expresar soluciones usando notación de conjuntos, se utilizan los corchetes rizados.

La condición del conjunto es descriptiva. La desigualdad describe la condición. Un número debe cumplir con la condición para calificar como solución.

$clipboard_ef507e48df12b614acfb098c9f4dc7db6.png$

En este caso, todos los números mayores que dos califican como soluciones, y esos números pertenecen al conjunto de soluciones.

Nota

Si bien las propiedades de suma y resta de la desigualdad son las mismas para las desigualdades que para las igualdades, las propiedades de multiplicación y división difieren al multiplicar o dividir por un negativo. Dividir o multiplicar ambos lados de una desigualdad por un negativo invierte el signo de desigualdad.

Ejemplo 4.3.1

Resuelve la desigualdad y grafica el conjunto de soluciones. Exponga la respuesta tanto en la notación del generador de conjuntos como en la notación de intervalos.

$−6x − 5 ≥ 13$

Solución

$\begin{array} &&-6x-5 \geq 13 &\text{Add \(5$a cada lado}\\ &-6x\ geq 18 &\\\ &\ dfrac {-6x} {-6}\ leq\ dfrac {18} {-6} &\ text {Dividir por un negativo invierte la desigualdad}\\ &x\ leq -3&\ end {array}\)

Respuestas:

Notación del constructor de conjuntos:$\{x| x ≤ −3\}$

Notación de intervalos:$(−∞, −3]$

Gráfica:

$clipboard_e493e50182b04651283bf373fb5a7a0a7.png$

Ejemplo 4.3.2

Resuelve la desigualdad y grafica el conjunto de soluciones. Exponga la respuesta tanto en la notación del generador de conjuntos como en la notación de intervalos.

$10 − (2y + 1) ≤ −4(3y + 2) − 3$

Solución

Mantente atento a cualquier paso en la solución donde multipliques ambos lados por un negativo o dividas ambos lados por un negativo. De lo contrario, resuelve la desigualdad de la misma manera que resuelves las igualdades.

$\begin{array} & &10 − 2y − 1 ≤ −12y − 8 − 3 &\text{Simplify each side by clearing parentheses.}\\ & −2y+ 9 ≤ −12y − 11 &\text{Simplify each side by combining like terms.}\\ & −2y + 12y + 9 ≤ −12y + 12y + (−11)&\text{Add \(12y$a ambos lados.}\\ &10y + 9 ≤ −11 &\ text {Simplifica combinando términos similares.}\\ &10y + 9 − 9 ≤ −11 − 9 &\ text {Restar$9$ a ambos lados.}\\ &10y ≤ −20 &\ text {Simplificar}\\ &\ left. \ begin {array} {ll}\ dfrac {10y} {10}\ leq -\ dfrac {20} {10}\\;\; y\ leq -2\ end {array}\ right\}\ text {Dividiendo por un positivo} &\ text {La desigualdad no se invierte.} \ end {array}\)

Respuestas:

Notación del constructor de conjuntos:$\{y| y ≤ −2\}$

Notación de intervalos:$(−∞, −2]$

Gráfica:

$clipboard_e32d3225eb7fd1da855eeaa0fcaf17bc6.png$

Dar diferentes pasos debería conducir a la misma respuesta

En muchos casos, ¡llegar a una respuesta puede venir de diferentes caminos! No importa el camino, si la matemática realizada en el camino es sólida, la respuesta debe ser la misma.

Ejemplo 4.3.3

Resolver la desigualdad para$w$:$6w − 7 < 9w + 5$

Solución

\ (\ begin {array} &&\ text {Método #} 1 &&\ text {Método #} 2\\ &6w − 7 < 9w + 5 && 6w − 7 < 9w + 5\\
&6w − 6q − 7 < 9q − 6q + 5 &\ textcolor {rojo} {\ longleftarrow\ text {Compara estos pasos!} \ longrightarrow} & 6w − 9w − 7 < 9w − 9w + 5\\ &−7 < 3w + 5 && −3w − 7 < 5\\ &−7 − 5 < 3w + 5 − 5 && −3w − 7 + 7 < 5 + 7\\ &−12 < 3w && −3w < 12\\ &\ dfrac {-12} 3} <\ dfrac {3w} {3} &\ textcolor {rojo} {\ longleftarrow\ text {Compara estos pasos!} \ longrightarrow} &\ dfrac {-3w} {-3} >\ dfrac {12} {-3}\\ &−4 < w &\;\;\ text {¡Las respuestas son las mismas!} & w > −4\ end {array}\)

¡Pruébalo! (Ejercicios)

Para cada uno de los ejercicios #1 -20,

Resolver la desigualdad para la variable indicada.
Exprese el conjunto de soluciones tanto en notación set-builder como en notación de intervalos.
Grafique el conjunto de soluciones.

$−2p < 10$
$−9 < 3y$
$16 ≤ 5t + 1$
$−14 ≥ 4x + 2$
$6y − 10 > 4y$
$8b + 3 < 7b − 1$
$−2a − 3 ≤ 4a + 3$
$9 − u ≤ 11 + u$
$7 − 5p ≥ 8 − 10p$
$5(v + 1) > 3(y − 1)$
$2(11 − 3t) < 4(t − 2)$
$6(4y − 3) ≤ −3(6 − 7y)$
$8a − (6 + 2a) ≥ 3(4a − 6)$
$10 − 2(7 + x) > 7 − 3(3x − 1)$
$3 + 5(3 − 2d) ≤ 18 − 6(4d − 7)$
$7p− (10 − 25p) > 4p − 9(4p − 6)$
$\dfrac{1}{2}x − \dfrac{3}{4} < x + \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{3}{5} (y + 5) > \dfrac{2}{5} (y − 10)$
$\dfrac{1}{6} (q − 2) ≤ \dfrac{1}{3} (q + 2)$
$1 − \dfrac{1}{4} (2t − 1) ≥ \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} (t + 1)$

Ecuación Lineal	Desigualdad Lineal
\(\begin{array} &4b − 3 &= 5 \\ 4b − 3 + 3 &= 5 + 3 \\ 4b &= 8 \\ b &= 2 \end{array}\)	\(\begin{array} &4b − 3 &> 5 \\ 4b − 3 + 3 &> 5 + 3 \\ 4b &> 8 \\ b &> 2 \end{array}\)
Conjunto de soluciones:\(b = \{2\}\)	Conjunto de soluciones:\(\{b\| b > 2\}\) o Intervalo\((2, ∞)\)