4.1: Radianes y Grados
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Hasta el momento hemos estado usando grados como nuestra unidad de medida para ángulos. Sin embargo, hay otra forma de medir ángulos que a menudo es más conveniente. La idea es simple: asociar un ángulo central de un círculo con el arco que intercepta.
Considera un círculo de radio\(r>0 \), como en la Figura 4.1.1. En geometría aprendiste que la circunferencia\(C \) del círculo es\(C = 2\;\pi\;r \), dónde\(\pi = 3.14159265... \).
En la Figura 4.1.1 vemos que un ángulo central de\(90^\circ \) corta un arco de longitud\(\tfrac{\pi}{2}\,r \), un ángulo central de\(180^\circ \) cortes un arco de longitud\(\pi\,r \), y un ángulo central de\(360^\circ \) corta un arco de longitud\(2\pi\,r \), que es el mismo que la circunferencia del círculo. Entonces, asociando el ángulo central con su arco interceptado, podríamos decir, por ejemplo, que
\ [360^\ circ\ quad\ texto {"es igual a"}\ quad 2\ pi\, r\ quad\ texto {(o\(2\pi \) 'radios').}
\]
El radio\(r \) era arbitrario, pero\(2\pi \) el frente de él permanece igual. Entonces, en lugar de usar los incómodos “radios” o “radios”, usamos el término radianes:
\ [\ label {4.1}
\ en caja {360^\ circ ~=~ 2\ pi ~~\ texto {radianes}}
\]
La relación anterior nos da cualquier manera fácil de convertir entre grados y radianes:
\ [\ begin {alignat} {3}
\ textbf {Grados a radianes:} &\ quad
x~~\ texto {grados}\ quad&=\ quad\ izquierda (\ frac {\ pi} {180}\;\ cdot\; x\ derecha)
~~\ texto {radianes}\ label {eqn:deg2rad}\
\ textbf {radianes a grados:} &\ quad
x~~\ texto {radianes}\ quad& amp; =\ quad\ izquierda (\ frac {180} {\ pi}\;\ cdot\; x\ derecha)
~~\ texto {grados}\ etiqueta {eqn:rad2deg}
\ end {alignat}\ nonumber\]
La ecuación\ ref {eqn:deg2rad} sigue dividiendo ambos lados de la Ecuación\ ref {4.1} por\(360 \), para que\(1^\circ = \frac{2\pi}{360} = \frac{\pi}{180} \) radianes, luego multiplicando ambos lados por\(x \). La ecuación\ ref {eqn:rad2deg} se deriva de manera similar dividiendo ambos lados de la Ecuación\ ref {4.1} multiplicando\(2\pi \) entonces ambos lados por\(x \).
El enunciado\(\theta = 2\pi \) radianes suele abreviarse como\(\theta = 2\pi \) rad, o justo\(\theta = 2\pi \) cuando está claro que estamos usando radianes. Cuando se da un ángulo como un múltiplo de\(\pi \), se puede suponer que las unidades que se utilizan son radianes.
Convertir\(18^\circ \) a radianes.
Solución
Usando la ecuación de conversión\ ref {eqn:deg2rad} para grados a radianes, obtenemos
\[18^\circ ~=~ \frac{\pi}{180} \;\cdot\; 18 ~=~ \boxed{\frac{\pi}{10} ~~\text{rad}} ~. \nonumber \]
Convertir\(\frac{\pi}{9} \) radianes a grados.
Solución
Usando la ecuación de conversión\ ref {eqn:rad2deg} para radianes a grados, obtenemos
\[\frac{\pi}{9} ~~\text{rad} ~=~ \frac{180}{\pi} \;\cdot\; \frac{\pi}{9} ~=~ \boxed{20^\circ} ~.\nonumber \]
Tabla 4.1 Ángulos de uso común en radianes
En el Cuadro 4.1 se muestra la conversión entre grados y radianes para algunos ángulos comunes. Usando la ecuación de conversión\ ref {eqn:rad2deg} para radianes a grados, vemos que
\ [1 ~~\ texto {radián} ~~=~~\ frac {180} {\ pi} ~~\ texto {grados} ~~\ aprox~~ 57.3^\ circ ~.
\ nonumber\]
Formalmente, un radián se define como el ángulo central en un círculo de radio\(r \) que intercepta un arco de longitud\(r \), como en la Figura 4.1.2. Esta definición no depende de la elección de\(r\) (imagínese redimensionar Figura 4.1.2).
Una razón por la que se utilizan radianes es que la escala es menor que para grados. Una revolución en radianes es\(2\pi \approx 6.283185307 \), que es mucho menor que\(360 \), el número de grados en una revolución. La menor escala hace que las gráficas de funciones trigonométricas (que discutiremos en el Capítulo 5) tengan escalas similares para los ejes horizontal y vertical. Otra razón es que muchas veces en aplicaciones físicas las variables que se utilizan son en términos de longitud de arco, lo que hace que los radianes sean una elección natural.
El modo predeterminado en la mayoría de las calculadoras científicas es usar grados para ingresar ángulos. En muchas calculadoras hay un botón etiquetado\(\fbox{\( DRG\)}\) para cambiar entre el modo grado (D), el modo radián (R) y el modo gradiente (G). En algunas calculadoras gráficas, como la TI-83, hay un botón\(\fbox{\(MODE\)}\) para cambiar entre grados y radianes. Asegúrese de que su calculadora esté en el modo de ángulo correcto antes de ingresar ángulos, o es probable que sus respuestas estén muy alejadas. Por ejemplo,
\ [\ begin {align*}
\ sin\; 4^\ circ ~&=~\ phantom {-} 0.0698 ~,\\
\ sin\ ;( 4~\ text {rad}) ~&=~ -0.7568 ~,
\ end {align*}\]
por lo que los valores no sólo están apagados en magnitud, sino que ni siquiera tienen el mismo signo. El uso de los botones\(\fbox{\(\sin^{-1}\)}\),\(\fbox{\(\cos^{-1}\)}\) y\(\fbox{\(\tan^{-1}\)}\) de tu calculadora en modo radián, por supuesto, te dará el ángulo como decimal, no una expresión en términos de\(\pi \).
También debes tener en cuenta que las funciones matemáticas en muchos lenguajes de programación informática utilizan radianes, por lo que tendrías que escribir tus propias conversiones angulares.