4.E: Medida de Radianes (Ejercicios)

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Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto “Trigonometría Primaria” de Corral. Se trata de un texto sobre trigonometría elemental, diseñado para estudiantes que han cursado cursos de álgebra y geometría de secundaria. Aunque está diseñado para estudiantes universitarios, también podría usarse en escuelas secundarias. Se cubren los temas tradicionales, pero se toma un enfoque más geométrico de lo habitual. También se discuten algunos métodos numéricos (por ejemplo, el método secante para resolver ecuaciones trigonométricas).

4.1 Ejercicio

Para Ejercicios 1-5, convierta el ángulo dado a radianes.

4.1.1$4^\circ$

4.1.2$15^\circ$

4.1.3$130^\circ$

4.1.4$275^\circ$

4.1.5$-108^\circ$

Para Ejercicios 6-10, convierta el ángulo dado a grados.

4.1.6$4 $ rad

4.1.7$\dfrac{\pi}{5} $ rad

4.1.8$\dfrac{11\pi}{9} $ rad

4.1.9$\dfrac{29\pi}{30} $ rad

4.1.10$35 $ rad

4.1.11 Pon tu calculadora en modo radián y toma el coseno de$0 $. Cualquiera que sea la respuesta, toma su coseno. Entonces toma el coseno de la nueva respuesta. Sigue repitiendo esto. En la mayoría de las calculadoras después de aproximadamente$50$ -$60 $ iteraciones deberías comenzar a ver la misma respuesta repitiéndose. ¿Cuál es ese número? Intenta comenzar con un número diferente de$0 $. ¿Obtienes la misma respuesta repitiéndose después aproximadamente del mismo número de iteraciones que antes? Prueba el mismo procedimiento en modo grado, empezando por$0^\circ $. ¿Sucede lo mismo? Si es así, ¿se necesitan menos iteraciones para que la respuesta comience a repetirse que en modo radián, o más?

4.2 Ejercicio

Para los Ejercicios 1-4, encuentra la longitud del arco cortado por el ángulo central dado$\theta $ en un círculo de radio$r $.

4.2.1$\theta=0.8 $ rad,$r=12 $ cm

4.2.2$\theta=171^\circ $,$r=8 $ m

4.2.3$\theta=\pi $ rad,$r=11 $ en

4.2.4 A ángulo central en un círculo de radio$2 $ cm corta un arco de longitud$4.6 $ cm. ¿Cuál es la medida del ángulo en radianes? ¿Cuál es la medida del ángulo en grados?

4.2.5 Los centros de dos poleas de correa, con radios de$3 $ pulgadas y$6 $ pulgadas, respectivamente, están separados por$13 $ pulgadas. Encuentra la longitud total$L $ de la correa alrededor de las poleas.

4.2.6 En la Figura 4.2.5 un extremo de una barra de hierro de$4 $ pies está unido al centro de una polea con radio$0.5 $ ft. El otro extremo está unido en$40^\circ $ ángulo a una pared, en un punto$6 $ ft por encima del extremo inferior de un alambre de acero que soporta una caja. El otro extremo del cable sale de la pared directamente desde la parte superior de la polea. Encuentra la longitud$L $ del cable desde la pared hasta la caja.

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Figura 4.2.5 Ejercicio 6

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Figura 4.2.6 Ejercicio 7

4.2.7 La Figura 4.2.6 muestra la misma configuración que en el Ejercicio 6, pero ahora el cable sale de la pared$2 $ pies por encima de donde está unida la varilla. Encuentra la longitud$L $ del cable desde la pared hasta la caja.

4.2.8 Encuentra la longitud total$L $ de la figura ocho en la figura 4.2.7.

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Figura 4.2.7

4.2.9 Repetir el Ejercicio 8 pero con el círculo en$A $ tener un radio de$3$ en lugar de$2 $. (Pista: dibuja un círculo de radio$5 $ centrado en$A $, luego dibuja una línea tangente a ese círculo desde$B $.)

4.2.10 Supongamos que en la Figura 4.2.7 las líneas no se entrecruzan sino que van en línea recta, como en un sistema de poleas de correa. Encuentra la longitud total$L $ de la forma resultante.

4.2.11 Encuentra las longitudes de los dos arcos cortados por una cuerda de longitud$3 $ en un círculo de radio$2 $.

4.2.12 Encuentra el perímetro de un dodecágono regular (es decir, un$12$ polígono de lados con lados de igual longitud) inscrito dentro de un círculo de radio$\frac{1}{2} $. Compárela con la circunferencia del círculo.

4.3 Ejercicio

Para los Ejercicios 1-3, encuentra el área del sector para el ángulo$\theta $ y radio dados$r $.

4.3.1$\theta = 2.1 $ rad,$r = 1.2 $ cm

4.3.2$\theta = \frac{3\pi}{7} $ rad,$r = 3.5 $ ft

4.3.3$\theta = 78^\circ $,$r = 6 $ m

4.3.4 El los centros de dos poleas de correa, con radios de$3 $ cm y$6 $ cm, respectivamente, están separados por$13 $ cm. Encuentra el área total$K $ encerrada por el cinturón.

4.3.5 En el Ejercicio 4 supongamos que ambas poleas de correa tienen el mismo radio de$6 $ cm. Encuentra el área total$K $ encerrada por el cinturón.

4.3.6 Encuentra el área encerrada por la figura ocho en el Ejercicio 8 de la Sección 4.2.

Para Ejercicios 7-9, encuentra el área del sector para el radio$r $ y la longitud del arco dados$s $.

4.3.7$r = 5 $ cm,$s = 2 $ cm

4.3.8$r = a $,$s = a$

4.3.9$r = 1 $ cm,$s = \pi $ cm

Para Ejercicios 10-12, encontrar el área del segmento formado por una cuerda de longitud$a $ en un círculo de radio$r $.

4.3.10$a = 4 $ cm,$r = 4 $ cm

4.3.11$a = 1 $ cm,$r = 5 $ cm

4.3.12$a = 2 $ cm,$r = 5 $ cm

4. 3.13 Encuentra el área de la región sombreada en la Figura 4.3.7.

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Figura 4.3.7 Ejercicio 13

4.3.14 Encuentra el área de la región sombreada en la Figura 4.3.8. (Pista: Dibuja dos ángulos centrales. )

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Figura 4.3.8 Ejercicio 14

4.3.15 Encuentra el área de la región sombreada en la Figura 4.3.9.

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Figura 4.3.9 Ejercicio 15

4.3.16 Los centros de dos círculos están separados$4 $ cm, con un círculo que tiene un radio de$3 $ cm y el otro un radio de$2 $ cm. Encuentra el área de su intersección.

4.3.17 Tres círculos con radios de$4 $ m,$2 $ m y$1 $ m son externamente tangentes entre sí. Encuentra el área de la región curva entre los círculos, como en la Figura 4.3.10. (Pista: Conecta los centros de los círculos.)

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Figura 4.3.10 Ejercicio 17

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Figura 4.3.11 Ejercicio 18

4.3.18 Mostrar que el área total encerrada por el bucle alrededor de los tres círculos de radio$r $ en la Figura 4.3.11 es$\;(\pi + 6 + \sqrt{3})\,r^2 $.

4.3.19 Para un ángulo central fijo$\theta $, ¿cuánto aumenta el área de su sector cuando se duplica el radio del círculo? ¿Cuánto aumenta la longitud de su arco interceptado?

4.4 Ejercicio

Para los Ejercicios 1-6, supongamos que una partícula se mueve a lo largo de un círculo de radio$r $ durante un periodo de tiempo$t $. Dada la longitud del arco$s $ o el ángulo central$\theta $ barrido por la partícula, encuentre la velocidad lineal y angular de la partícula.

4.4.1$r=4 $ m,$t=2 $ seg,$\theta=3 $ rad

4.4.2$r=8 $ m,$t=2 $ sec,$\theta=3 $ rad

4.4.3$r=7 $ m,$t=3.2 $ sec,$\theta=172^\circ$

4.4.4$r=1 $ m,$t=1.6 $ seg,$s=3 $ m

4.4.5$r=2 $ m,$t=1.6 $ seg,$s=6 $ m

4.4.6$r=1.5 $ ft,$t=0.3 $ seg,$s=4 $ in

4.4.7 Un objeto se mueve a una velocidad lineal constante de$6 $ m/seg alrededor de un círculo de radio$3.2 $ m. ¿Qué tan grande de un ángulo central barre en$1.8 $ segundos?

4.4.8 Dos engranajes entrelazados tienen radios exteriores de$6 $ cm y$9 $ cm, respectivamente. Si el engranaje más pequeño gira a$40 $ rpm, ¿qué tan rápido gira el engranaje más grande?

4.4.9 Tres engranajes entrelazados tienen radios exteriores de$2 $ cm,$3 $ cm y$4 $ cm, respectivamente. Si el engranaje más grande gira a$16 $ rpm, ¿qué tan rápido giran los otros engranajes?

4.4.10 En el Ejemplo 4.17, ¿se mantiene la ecuación 4.11 si los radios$r_1 $ y$r_2 $ son reemplazados por el número de dientes$N_1 $ y$N_2 $, respectivamente, de los dos engranajes como se muestra en la Figura 4.4.2?

4.4.11 Un disco de música$78 $ rpm tiene un diámetro de$10 $ pulgadas. ¿Cuál es la velocidad lineal de una mota de polvo en el borde exterior del disco en pulgadas por segundo?

4.4.12 La aceleración centrípeta$\alpha $ de un objeto que se mueve a lo largo de un círculo de radio$r $ con una velocidad lineal$\nu $ se define como$\;\alpha = \frac{\nu^2}{r} $. Demuéstralo$\;\alpha = \omega^2 \,r $, dónde$\omega $ está la velocidad angular.