6.E: Temas adicionales (Ejercicios)

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Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto “Trigonometría Primaria” de Corral. Se trata de un texto sobre trigonometría elemental, diseñado para estudiantes que han cursado cursos de álgebra y geometría de secundaria. Aunque está diseñado para estudiantes universitarios, también podría usarse en escuelas secundarias. Se cubren los temas tradicionales, pero se toma un enfoque más geométrico de lo habitual. También se discuten algunos métodos numéricos (por ejemplo, el método secante para resolver ecuaciones trigonométricas).

6.1 Ejercicio

Para los Ejercicios 1-12, resuelve la ecuación dada (en radianes).

6.1.1\(\tan\;\theta \;+\; 1 ~=~ 0\)

6.1.2\(2\,\cos\;\theta \;+\; 1 ~=~ 0\)

6.1.3\(\sin\;5\theta \;+\; 1 ~=~ 0\)

6.1.4\(2\,\cos^2 \;\theta \;-\; \sin^2 \;\theta ~=~ 1\)

6.1.5 \(2\,\sin^2 \;\theta \;-\; \cos\;2\theta ~=~ 0\)

6.1.6\(2\,\cos^2 \;\theta \;+\; 3\,\sin\;\theta ~=~ 0\)

6.1.7\(\cos^2 \;\theta \;+\; 2\,\sin\;\theta ~=~ -1\)

6.1.8\(\tan\;\theta \;+\; \cot\;\theta ~=~ 2\)

6.1.9\(\sin\;\theta ~=~ \cos\;\theta\)

6.1.10\(2\,\sin\;\theta \;-\; 3\,\cos\;\theta ~=~ 0\)

6.1.11\(\cos^2 \;3\theta \;-\; 5\,\cos\;3\theta \;+\; 4 ~=~ 0\)

6.1.12\(3\,\sin\;\theta \;-\; 4\,\cos\;\theta ~=~ 1\)

6.2 Ejercicio

6.2.1 Una solución obvia a la ecuación\(2\,\sin\;x = x \) es\(x=0 \). Escriba un programa para encontrar la otra (s) solución (s), precisa (n) al menos dentro\(1.0 \,\times\, 10^{-20} \). Puedes usar cualquier lenguaje de programación, aunque te resultará más fácil modificar el código en el Listado 6.1 (¡solo hay que cambiar una línea!). Puede ser útil usar Gnuplot para tener una idea de dónde se cruzan\(y=2\,\sin\;x \) y dónde se\(y=x\) cruzan las gráficas.

6.2.2 Repita el Ejercicio 1 para la ecuación\(\sin\;x = x^2 \).

6.2.3 Utilice Octave o algún otro programa para encontrar el máximo y mínimo de\(y=\cos\;5x - \sin\;3x \).

6.3 Ejercicio

Para los Ejercicios 1-16, calcule la expresión dada.

6.3.1\((2+3i) \;+\; (-3-2i)\)

6.3.2\((2+3i) \;-\; (-3-2i)\)

6.3.3\((2+3i) \;\cdot\; (-3-2i)\)

6.3.4\((2+3i)/(-3-2i)\)

6.3.5 \(\overline{(2+3i)} \;+\; \overline{(-3-2i)}\)

6.3.6\(\overline{(2+3i)} \;-\; \overline{(-3-2i)}\)

6.3.7\((1+i)/(1-i)\)

6.3.8\(|-3+2i|\)

6.3.9\(i^3\)

6.3.10\(i^4\)

6.3.11\(i^5\)

6.3.12\(i^6\)

6.3.13\(i^7\)

6.3.14 \(i^8\)

6.3.15\(i^9\)

6.3.16\(i^{2009}\)

Para los Ejercicios 17-24, acreditar la identidad dada para todos los números complejos.

6.3.17\(\overline{\left( \overline{z} \right)} \;=\; z\)

6.3.18\(\overline{z_1 + z_2} \;=\; \overline{z_1} + \overline{z_2}\)

6.3.19\(\overline{z_1 - z_2} \;=\; \overline{z_1} - \overline{z_2}\)

6.3.20\(\overline{z_1 \, z_2} \;=\; \overline{z_1} ~ \overline{z_2}\)

6.3.21\(\overline{\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right)} \;=\; \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)

6.3.22\(|z| \;=\; |\overline{z}|\phantom{\dfrac{|1_1|}{|1_2|}}\)

6.3.23\(|z_1 \, z_2| \;=\; |z_1|\,|z_2|\phantom{\dfrac{|1_1|}{|1_2|}}\)

6.3.24\(\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| \;=\; \dfrac{|z_1|}{|z_2|}\)

Para Ejercicios 25-30, poner el dado número en forma trigonométrica.

6.3.25\(2+3i\)

6.3.26\(-3-2i\)

6.3.27\(1-i\)

6.3.28\(-i\)

6.3.29\(1\)

6.3.30\(-1\)

6.3.31 Verificar que el Teorema de De Moivre se mantenga para el poder\(n=0 \).

Para los Ejercicios 32-35, calcule el número dado.

6.3.32\(3\,(\cos\;14^\circ \;+\; i\,\sin\;14^\circ ) \;\cdot\; 2\,(\cos\;121^\circ \;+\; i\,\sin\;121^\circ )\)

6.3.33\(\lbrack 3\,(\cos\;14^\circ \;+\; i\,\sin\;14^\circ )\rbrack^4\phantom{\dfrac{3}{4}}\)

6.3.34\(\lbrack 3\,(\cos\;14^\circ \;+\; i\,\sin\;14^\circ )\rbrack^{-4}\phantom{\dfrac{3}{4}}\)

6.3.35\(\dfrac{3\,(\cos\;14^\circ \;+\; i\,\sin\;14^\circ )}{2\,(\cos\;121^\circ \;+\; i\,\sin\;121^\circ )}\)

6.3.36 Encuentra las tres raíces cubitas de\(-i \).

6.3.37 Encuentra las tres raíces cubitas de\(1+i \).

6.3.38 Encuentra las tres raíces cubitas de\(1 \).

6.3.39 Encuentra las tres raíces cubitas de\(-1 \).

6.3.40 Encuentra las cinco quintas raíces de\(1 \).

6.3.41 Encuentra las cinco quintas raíces de\(-1 \).

6.3.42 Encuentra las dos raíces cuadradas de\(-2 + 2\sqrt{3}\,i \).

6.3.43 Demostrar que si\(z \) es una\(n^{th} \) raíz de un número real\(a \), entonces así es\(\overline{z} \). (Pista: Usa el Ejercicio 20. )

6.4 Ejercicio

Para Ejercicios 1-5, convierta el punto dado de coordenadas polares a coordenadas cartesianas.

6.4.1\((6,210^\circ)\)

6.4.2\((-4,3\pi)\)

6.4.3\((2,11\pi/6)\)

6.4.4\((6,90^\circ)\)

6.4.5 \((-1,405^\circ)\)

Para Ejercicios 6-10, convierta el punto dado de coordenadas cartesianas a coordenadas polares.

6.4.6\((3,1)\)

6.4.7\((-1,-3)\)

6.4.8\((0,2)\)

6.4.9\((4,-2)\)

6.4.10\((-2,0)\)

Para los Ejercicios 11-18, escriba la ecuación dada en coordenadas polares.

6.4.11\((x-3)^2 + y^2 = 9\)

6.4.12\(y = -x\)

6.4.13\(x^2 - y^2 = 1\)

6.4.14\(3x^2 + 4y^2 - 6x = 9\)

6.4.15 Grafica la función\(r = 1 + 2\,\cos\;\theta \) en coordenadas polares.