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LibreTexts Español

1.4: Composición de las funciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje

  • Combina funciones usando operaciones algebraicas.
  • Crear una nueva función por composición de funciones.
  • Evaluar funciones compuestas.
  • Encuentra el dominio de una función compuesta.
  • Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes.

Supongamos que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día determinado del año. El costo para calentar una casa dependerá de la temperatura media diaria, y a su vez, la temperatura media diaria depende del día particular del año. Observe cómo acabamos de definir dos relaciones: El costo depende de la temperatura, y la temperatura depende del día.

Usando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La funciónC(T) da el costoC de calentar una casa para una temperatura diaria promedio dada enT grados centígrados. La funciónT(d) da la temperatura media diaria en el día d del año. Para cualquier día dado,Cost=C(T(d)) significa que el costo depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Así, podemos evaluar la función de costo a la temperaturaT(d). Por ejemplo, podríamos evaluarT(5) para determinar la temperatura promedio diaria en el quinto día del año. Luego, podríamos evaluar la función de costo a esa temperatura. Nosotros escribiríamosC(T(5)).

Explicación de C (T (5)), que es el costo para la temperatura y T (5) es la temperatura en el día 5.
Figura1.4.1: Explicación deC(T(5)), cual es el costo por la temperatura yT(5) es la temperatura en el día 5.

Al combinar estas dos relaciones en una sola función, hemos realizado la composición de funciones, que es el foco de esta sección.

Combinación de funciones mediante operaciones algebraicas

La composición de funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es llevar a cabo las operaciones algebraicas habituales sobre funciones, como suma, resta, multiplicación y división. Esto lo hacemos realizando las operaciones con las salidas de la función, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función.

Supongamos que necesitamos sumar dos columnas de números que representen los ingresos anuales separados de un esposo y una esposa a lo largo de un periodo de años, siendo el resultado el ingreso total del hogar. Queremos hacer esto por cada año, sumando solo los ingresos de ese año y luego recabando todos los datos en una nueva columna. Siw(y) es el ingreso de la esposa yh(y) es el ingreso del marido en el añoy, yT queremos representar el ingreso total, entonces podemos definir una nueva función.

T(y)=h(y)+w(y)

Si esto es cierto para cada año, entonces podemos enfocarnos en la relación entre las funciones sin referencia a un año y escribir

T=h+w

Al igual que para esta suma de dos funciones, podemos definir funciones de diferencia, producto y relación para cualquier par de funciones que tengan los mismos tipos de entradas (no necesariamente números) y también los mismos tipos de salidas (que tienen que ser números para que las operaciones habituales de álgebra puedan aplicarse a ellas, y cuáles también deben tener las mismas unidades o ninguna unidad cuando sumamos y restamos). De esta manera, podemos pensar en sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

Para dos funcionesf(x) yg(x) con salidas de número real, definimos nuevas funcionesf+gfg,fg, yfg por las relaciones.

(f+g)(x)=f(x)+g(x)(fg)(x)=f(x)g(x)(fg)(x)=f(x)g(x)(fg)(x)=f(x)g(x)

Ejemplo1.4.1: Performing Algebraic Operations on Functions

Encontrar y simplificar las funciones(gf)(x) y(gf)(x), dadof(x)=x1 yg(x)=x21. ¿Son la misma función?

Solución

Comience por escribir la forma general, y luego sustituya las funciones dadas.

(gf)(x)=g(x)f(x)(gf)(x)=x21(x1)=x2x=x(x1)

(gf)(x)=g(x)f(x)(gf)(x)=x21x1=(x+1)(x1)x1=x+1

No, las funciones no son las mismas.

Nota: For(gf)(x), la condiciónx1 es necesaria porque cuandox=1, el denominador es igual a 0, lo que hace que la función sea indefinida.

Ejercicio1.4.1

Encuentre y simplifique las funciones(fg)(x) y(fg)(x).

f(x)=x1

y

g(x)=x21

¿Son la misma función?

Contestar

(fg)(x)=f(x)g(x)=(x1)(x21)=x3x2x+1(fg)(x)=f(x)g(x)=(x1)(x21)=xx2

No, las funciones no son las mismas.

Crear una función por composición de funciones

Realizar operaciones algebraicas en funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiendo funciones. Cuando queríamos calcular un costo de calefacción a partir de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y produce un costo como salida. El proceso de combinar funciones para que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como una composición de funciones. La función resultante se conoce como una función compuesta. Representamos esta combinación por la siguiente notación:

fg(x)=f(g(x))

Leemos el lado izquierdo como “fcompuesto cong atx” y el lado derecho como “fgde”x. Los dos lados de la ecuación tienen el mismo significado matemático y son iguales. El símbolo de círculo abierto se llama operador de composición. Utilizamos este operador principalmente cuando deseamos enfatizar la relación entre las funciones mismas sin hacer referencia a ningún valor de entrada particular. La composición es una operación binaria que toma dos funciones y forma una nueva función, tanto como suma o multiplicación toma dos números y da un nuevo número. Sin embargo, es importante no confundir la composición de funciones con la multiplicación porque, como aprendimos anteriormente, en la mayoría de los casosf(g(x))f(x)g(x).

También es importante comprender el orden de las operaciones en la evaluación de una función compuesta. Seguimos la convención habitual con paréntesis comenzando primero por los paréntesis más internos, y luego trabajando hacia el exterior. En la ecuación anterior, la funcióng tomax primero la entrada y produce una salidag(x). Entonces la funciónf tomag(x) como entrada y produce una salidaf(g(x)).

Explicación de la función compuesta.
Figura1.4.2: Explicación de la función compuesta.

En general,fg ygf son diferentes funciones. Es decir, en muchos casosf(g(x))g(f(x)) para todosx. También veremos que a veces se pueden componer dos funciones sólo en un orden específico.

Por ejemplo, sif(x)=x2 yg(x)=x+2, entonces

f(g(x))=f(x+2)=(x+2)2=x2+4x+4

pero

g(f(x))=g(x2)=x2+2

Estas expresiones no son iguales para todos los valores de x, por lo que las dos funciones no son iguales. Es irrelevante que las expresiones pasen a ser iguales para el único valor de entradax=12.

Tenga en cuenta que el rango de la función interna (la primera función a evaluar) debe estar dentro del dominio de la función externa. De manera menos formal, la composición tiene que tener sentido en términos de entradas y salidas.

Composición de las funciones

Cuando la salida de una función se usa como entrada de otra, llamamos a toda la operación una composición de funciones. Para cualquier entradax y funcionesf yg, esta acción define una función compuesta, que escribimos comofg tal que

(fg)(x)=f(g(x))

El dominio de la función compuestafg es todox tal quex está en el dominio deg yg(x) está en el dominio def.

Es importante darse cuenta de que el producto de las funciones nofg es lo mismo que la composición de la funciónf(g(x)), porque, en general,f(x)g(x)f(g(x)).

Ejemplo1.4.2: Determining whether Composition of Functions is Commutative

Usando las funciones proporcionadas, encontrarf(g(x)) yg(f(x)). Determinar si la composición de las funciones es conmutativa.

f(x)=2x+1g(x)=3x

Solución

Empecemos por sustituirg(x) enf(x).

f(g(x))=2(3x)+1=62x+1=72x

Ahora podemos sustituirf(x) eng(x).

g(f(x))=3(2x+1)=32x1=22x

Encontramos esog(f(x))f(g(x)), por lo que el funcionamiento de la composición de funciones no es conmutativa.

Ejemplo1.4.3: Interpreting Composite Functions

La funciónc(s) da la cantidad de calorías quemadas completandos abdominales, ys(t) da la cantidad de abdominales que una persona puede completar ent minutos. Interpretarc(s(3)).

Solución

La expresión interior en la composición ess(3). Porque la entrada a las función -es tiempo,t=3 representa 3 minutos, ys(3) es el número de abdominales completados en 3 minutos.

Usars(3) como entrada a la función nosc(s) da el número de calorías quemadas durante el número de abdominales que se pueden completar en 3 minutos, o simplemente el número de calorías quemadas en 3 minutos (haciendo abdominales).

Ejemplo1.4.4: Investigating the Order of Function Composition

Supongamos quef(x) da millas que se pueden conducir enx horas yg(y) da los galones de gas utilizados en la conducción dey millas. ¿Cuál de estas expresiones tiene sentido:f(g(y)) og(f(x))?

Solución

La funcióny=f(x) es una función cuya salida es el número de millas recorridas correspondiente al número de horas recorridas.

number of miles =f(number of hours)

La funcióng(y) es una función cuya salida es el número de galones utilizados correspondiente al número de millas recorridas. Esto significa:

number of gallons =g(number of miles)

La expresióng(y) toma millas como entrada y varios galones como salida. La funciónf(x) requiere un número de horas como entrada. Tratar de introducir varios galones no tiene sentido. La expresiónf(g(y)) carece de sentido.

La expresiónf(x) toma horas como entrada y un número de millas conducidas como salida. La funcióng(y) requiere un número de millas como entrada. Usarf(x) (millas conducidas) como valor de entrada parag(y), donde galones de gas dependen de millas conducidas, tiene sentido. La expresión tieneg(f(x)) sentido, y producirá el número de galones de gas utilizados,g, conduciendo un cierto número de millas,f(x), enx horas.

Pregunta/Respuesta

¿Hay alguna situación en lag(f(x)) quef(g(y)) y ambas serían expresiones significativas o útiles?

Sí. Para muchas funciones matemáticas puras, ambas composiciones tienen sentido, aunque suelen producir nuevas funciones diferentes. En problemas del mundo real, las funciones cuyas entradas y salidas tienen las mismas unidades también pueden dar composiciones que son significativas en cualquier orden

Ejercicio1.4.2

La fuerza gravitacional sobre un planeta a unar distancia del sol viene dada por la funciónG(r). La aceleración de un planeta sometido a cualquier fuerzaF viene dada por la funcióna(F). Formar una composición significativa de estas dos funciones, y explicar lo que significa.

Contestar

Una fuerza gravitacional sigue siendo una fuerza, asía(G(r)) que tiene sentido como la aceleración de un planeta a unar distancia del Sol (debido a la gravedad), peroG(a(F)) no tiene sentido.

Evaluación de funciones compuestas

Una vez que componemos una nueva función a partir de dos funciones existentes, necesitamos poder evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Esto lo haremos con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficas y fórmulas y con variables como entradas a funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna usando la entrada inicial y luego usamos la salida de la función interna como entrada para la función externa.

Evaluación de funciones compuestas mediante tablas

Al trabajar con funciones dadas como tablas, leemos los valores de entrada y salida de las entradas de la tabla y siempre trabajamos desde el interior hacia el exterior. Evaluamos primero la función inside y luego usamos la salida de la función inside como entrada a la función externa.

Ejemplo1.4.5: Using a Table to Evaluate a Composite Function

Usando Tabla1.4.1, evaluarf(g(3)) yg(f(3)).

Mesa1.4.1
x f(x) g(x)
\ (x\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">1 \ (f (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">6 \ (g (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">3
\ (x\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">2 \ (f (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">8 \ (g (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">5
\ (x\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">3 \ (f (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">3 \ (g (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">2
\ (x\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">4 \ (f (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">1 \ (g (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">7

Solución

Para evaluarf(g(3)), partimos desde el interior con el valor de entrada 3. Luego evaluamos la expresión interiorg(3) usando la tabla que define la funcióng:g(3)=2. Entonces podemos usar ese resultado como la entrada a la funciónf, por lo queg(3) se sustituye por 2 y obtenemosf(2). Entonces, usando la tabla que define la funciónf, nos encontramos con esof(2)=8.

g(3)=2

f(g(3))=f(2)=8

Para evaluarg(f(3)), primero evaluamos la expresión internaf(3) usando la primera tabla:f(3)=3. Luego, usando la tabla parag, podemos evaluar

g(f(3))=g(3)=2

Tabla1.4.2 muestra las funciones compuestasfg ygf como tablas.

Mesa1.4.2
x g(x) f(g(x)) f(x) g(f(x))
\ (x\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">3 \ (g (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">2 \ (f (g (x))\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">8 \ (f (x)\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">3 \ (g (f (x))\)” style="vertical-align:middle; text-align:center;” class="lt-math-1296">2

Ejercicio1.4.3

Usando Tabla1.4.1, evaluarf(g(1)) yg(f(4)).

Contestar

f(g(1))=f(3)=3yg(f(4))=g(1)=3

Evaluación de funciones compuestas mediante gráficos

Cuando se nos dan funciones individuales como gráficas, el procedimiento para evaluar funciones compuestas es similar al proceso que utilizamos para evaluar tablas. Leemos los valores de entrada y salida, pero esta vez, de los ejes x e y de las gráficas.

Cómo...

Dada una función compuesta y gráficas de sus funciones individuales, evaluarla utilizando la información proporcionada por las gráficas.

  1. Localice la entrada dada a la función interna en el eje x de su gráfica.
  2. Lee la salida de la función interna del eje y de su gráfica.
  3. Localice la salida de la función interna en el eje x de la gráfica de la función externa.
  4. Lea la salida de la función externa del eje y de su gráfica. Esta es la salida de la función compuesta.

Ejemplo1.4.6: Using a Graph to Evaluate a Composite Function

Usando la Figura1.4.3, evalúef(g(1)).

Dos gráficas de una parábola positiva y negativa.
Figura1.4.3: Dos gráficas de una parábola positiva y negativa.

Solución

Para evaluarf(g(1)), se inicia con la evaluación interna. Ver Figura1.4.4.

alt
Figura1.4.4: Dos gráficas de una parábola positivag(x) y una parábola negativaf(x). Se trazan los siguientes puntos:g(1)=3 yf(3)=6.

Evaluamosg(1) usando la gráfica deg(x), encontrando la entrada de 1 en el eje x y encontrando el valor de salida de la gráfica en esa entrada. Aquí,g(1)=3. Utilizamos este valor como entrada a la funciónf.

f(g(1))=f(3)

Luego podemos evaluar la función compuesta mirando a la gráfica def(x), encontrando la entrada de 3 en el eje x y leyendo el valor de salida de la gráfica en esta entrada. Aquí,f(3)=6, entoncesf(g(1))=6.

Análisis

La figura1.4.5 muestra cómo podemos marcar las gráficas con flechas para trazar la ruta desde el valor de entrada hasta el valor de salida.

alt
Figura1.4.5: Dos gráficas de una parábola positiva y negativa.

Ejercicio1.4.4

Usando la Figura1.4.3, evalúeg(f(2)).

Contestar

g(f(2))=g(5)=3

Evaluación de funciones compuestas mediante fórmulas

Al evaluar una función compuesta donde ya sea hemos creado o se nos han dado fórmulas, la regla de trabajar de adentro hacia afuera sigue siendo la misma. El valor de entrada a la función externa será la salida de la función interna, que puede ser un valor numérico, un nombre de variable o una expresión más complicada.

Si bien podemos componer las funciones para cada valor de entrada individual, a veces es útil encontrar una sola fórmula que calcule el resultado de una composiciónf(g(x)). Para ello, ampliaremos nuestra idea de evaluación de funciones. Recordemos que, cuando evaluamos una función comof(t)=t2t, sustituimos el valor dentro de los paréntesis en la fórmula donde veamos la variable de entrada.

Cómo...

Dada una fórmula para una función compuesta, evalúe la función.

  1. Evalúe la función interior utilizando el valor de entrada o la variable proporcionada.
  2. Utilice la salida resultante como entrada a la función externa.

Ejemplo1.4.7: Evaluating a Composition of Functions Expressed as Formulas with a Numerical Input

Dadof(t)=t2t yh(x)=3x+2, evaluarf(h(1)).

Solución

Debido a que la expresión interior esh(1), comenzamos evaluandoh(x) en 1.

h(1)=3(1)+2h(1)=5

Entoncesf(h(1))=f(5), así evaluamosf(t) a una entrada de 5.

f(h(1))=f(5)f(h(1))=525f(h(1))=20

Análisis

No hace diferencia lo que las variables de entradat yx fueron llamadas en este problema porque evaluamos para valores numéricos específicos.

Ejercicio1.4.5

Dadof(t)=t2t yh(x)=3x+2, evaluar

a.h(f(2))
b.h(f(2))

Contestar a

8

Respuesta b

20

Encontrar el dominio de una función compuesta

Como discutimos anteriormente, el dominio de una función compuesta comofg es dependiente del dominio deg y del dominio def. Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no podemos, es decir, conocer el dominio de una función comofg. Supongamos que conocemos los dominios de las funcionesf yg por separado. Si escribimos la función compuesta para una entradax comof(g(x)), podemos ver de inmediato quex debe ser miembro del dominio de g para que la expresión sea significativa, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. No obstante, también vemos queg(x) debe ser miembro del dominio def, de lo contrariof(g(x)) no se puede completar la evaluación de la segunda función en, y la expresión aún está indefinida. Así el dominio defg consiste únicamente en aquellas entradas en el dominio deg que producen salidas deg pertenecer al dominio def. Tenga en cuenta que el dominio def compuesto cong es el conjunto de todos losx tales quex está en el dominio deg y g (x)\) está en el dominio def.

Definición: Dominio de una función compuesta

El dominio de una función compuestaf(g(x)) es el conjunto de aquellas entradasx en el dominio deg para las cualesg(x) está en el dominio def.

Cómo...

Dada una composición de funcionesf(g(x)), determinar su dominio.

  1. Encuentra el dominio deg.
  2. Encuentra el dominio def.
  3. Encuentra aquellas entradasx en el dominio deg para las cualesg(x) está en el dominio def. Es decir, excluir aquellas entradasx del dominio deg para las cuales nog(x) esté en el dominio def. El conjunto resultante es el dominio defg.

Ejemplo1.4.8A: Finding the Domain of a Composite Function

Encuentra el dominio de

(fg)(x) where f(x)=5x1 and g(x)=43x2

Solución

El dominio deg(x) consiste en todos los números reales exceptox=23, ya que ese valor de entrada provocaría que nos dividiéramos por 0. De igual manera, el dominio def consiste en todos los números reales excepto 1. Por lo que necesitamos excluir del dominio deg(x) ese valor dex para el cualg(x)=1.

43x2=14=3x26=3xx=2

Entonces el dominio defg es el conjunto de todos los números reales excepto23 y2. Esto significa que

x23 or x2

Podemos escribir esto en notación de intervalos como

(,23)(23,2)(2,)

Ejemplo1.4.8B: Finding the Domain of a Composite Function Involving Radicals

Encuentra el dominio de

(fg)(x) where f(x)=x+2 and g(x)=3x

Solución

Porque no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo, el dominio deg es(,3]. Ahora comprobamos el dominio de la función compuesta

(fg)(x)=3x+2

Porque(fg)(x)=3x+2,3x+20, ya que el radicando de una raíz cuadrada debe ser positivo. Dado que las raíces cuadradas son positivas3x0,, o,3x0, lo que da un dominio de(,3].

Análisis

Este ejemplo muestra que el conocimiento del rango de funciones (específicamente la función interna) también puede ser útil para encontrar el dominio de una función compuesta. También muestra que el dominio defg puede contener valores que no están en el dominio def, aunque deben estar en el dominio deg.

Ejercicio1.4.6

Encuentra el dominio de

(fg)(x) where f(x)=1x2 and g(x)=x+4

Contestar

[4,0)(0,)

Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes

En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, podemos escribirlo como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una manera de descomponer una función compuesta, por lo que podemos elegir la descomposición que parezca más conveniente.

Ejemplo1.4.9: Decomposing a Function

Escribirf(x)=5x2 como la composición de dos funciones.

Solución

Estamos buscando dos funciones,g yh, entoncesf(x)=g(h(x)). Para ello, buscamos una función dentro de una función en la fórmula paraf(x). Como una posibilidad, podríamos notar que la expresión5x2 es el interior de la raíz cuadrada. Entonces podríamos descomponer la función como

h(x)=5x2 and g(x)=x

Podemos verificar nuestra respuesta recomponiendo las funciones.

g(h(x))=g(5x2)=5x2

Ejercicio1.4.7

Escribirf(x)=434+x2 como la composición de dos funciones.

Contestar

Posibles respuestas:

g(x)=4+x2

h(x)=43x

f=hg

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con funciones compuestas.

Ecuación Clave

  • Función compuesta(fg)(x)=f(g(x))

Conceptos clave

  • Podemos realizar operaciones algebraicas en funciones. Ver Ejemplo.
  • Cuando se combinan funciones, la salida de la primera función (interna) se convierte en la entrada de la segunda función (externa).
  • La función producida al combinar dos funciones es una función compuesta. Ver Ejemplo y Ejemplo.
  • Se debe considerar el orden de composición de funciones al interpretar el significado de las funciones compuestas. Ver Ejemplo.
  • Una función compuesta se puede evaluar evaluando la función interna usando el valor de entrada dado y luego evaluando la función externa tomando como entrada la salida de la función interna.
  • Una función compuesta se puede evaluar a partir de una tabla. Ver Ejemplo.
  • Una función compuesta se puede evaluar a partir de una gráfica. Ver Ejemplo.
  • Una función compuesta se puede evaluar a partir de una fórmula. Ver Ejemplo.
  • El dominio de una función compuesta consiste en aquellas entradas en el dominio de la función interna que corresponden a salidas de la función interna que están en el dominio de la función externa. Ver Ejemplo y Ejemplo.
  • Así como las funciones se pueden combinar para formar una función compuesta, las funciones compuestas se pueden descomponer en funciones más simples.
  • Las funciones a menudo se pueden descomponer de más de una manera. Ver Ejemplo.

Glosario

función compuesta

la nueva función formada por la composición de funciones, cuando la salida de una función se utiliza como entrada de otra


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