13.E: Funciones trigonométricas (Ejercicios)

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5.1: Ángulos

En esta sección, examinaremos las propiedades de los ángulos.

Verbal

1) Dibuja un ángulo en posición estándar. Etiquete el vértice, el lado inicial y el lado terminal.

Responder: $Gráfica de un círculo con un ángulo inscrito, mostrando el lado inicial, el lado terminal y el vértice.$

2) Explique por qué hay un número infinito de ángulos que son coterminales a cierto ángulo.

3) Indicar lo que significa un ángulo positivo o negativo, y explicar cómo dibujar cada uno.

Responder: Si el ángulo es positivo o negativo determina la dirección. Se dibuja un ángulo positivo en el sentido contrario a las agujas del reloj y se dibuja un ángulo negativo en el sentido de las agujas del reloj.

4) ¿Cómo se compara la medida radianes de un ángulo con la medida de grado? Incluya una explicación de$1$ radián en su párrafo.

5) Explicar las diferencias entre la velocidad lineal y la velocidad angular al describir el movimiento a lo largo de una trayectoria circular.

Responder: La velocidad lineal es una medida que se encuentra calculando la distancia de un arco en comparación con el tiempo. La velocidad angular es una medida que se encuentra calculando el ángulo de un arco en comparación con el tiempo.

Gráfica

Para los ejercicios 6-21, dibuja un ángulo en posición estándar con la medida dada.

6)$30^{\circ}$

7)$300^{\circ}$

Responder: $Gráfica de un círculo con un ángulo inscrito.$

8)$-80^{\circ}$

9)$135^{\circ}$

Responder: $Gráfica de un círculo con un ángulo de 135 grados inscrito.$

10)$-150^{\circ}$

11)$\dfrac{2π}{3}$

Responder: $Gráfica de un círculo con un ángulo de 2pi/3 radianes inscrito.$

12)$\dfrac{7π}{4}$

13)$\dfrac{5π}{6}$

Responder: $Gráfica de un círculo con ángulo de 5pi/6 radianes inscrito.$

14)$\dfrac{π}{2}$

15)$−\dfrac{π}{10}$

Responder: $Gráfica de un círculo con un ángulo —pi/10 radianes inscrito.$

16)$415^{\circ}$

17)$-120^{\circ}$

Responder

$240^{\circ}$

$Gráfica de un círculo que muestra la equivalencia de dos ángulos.$

18)$-315^{\circ}$

19)$\dfrac{22π}{3}$

Responder

$\dfrac{4π}{3}$

$Gráfica de un círculo que muestra la equivalencia de dos ángulos.$

20)$−\dfrac{π}{6}$

21)$−\dfrac{4π}{3}$

Responder

$\dfrac{2π}{3}$

$Gráfica de un círculo que muestra la equivalencia de dos ángulos.$

Para los ejercicios 22-23, refiérase a la Figura a continuación. Redondear a dos decimales.

$Gráfica de un círculo con radio de 3 pulgadas y un ángulo de 140 grados.$

22) Encuentra la longitud del arco.

23) Encontrar la zona del sector.

Responder: $\dfrac{27π}{2}≈11.00 \text{ in}^2$

Para los ejercicios 24-25, consulte la Figura a continuación. Redondear a dos decimales.

$Gráfica de un círculo con ángulo de 2pi/5 y un radio de 4.5 cm.$

24) Encuentra la longitud del arco.

25) Encontrar la zona del sector.

Responder: $\dfrac{81π}{20}≈12.72\text{ cm}^2$

Algebraico

Para los ejercicios 26-32, convertir los ángulos en radianes a grados.

26)$\dfrac{3π}{4}$ radianes

27)$\dfrac{π}{9}$ radianes

Responder: $20^{\circ}$

28)$−\dfrac{5π}{4}$ radianes

29)$\dfrac{π}{3}$ radianes

Responder: $60^{\circ}$

30)$−\dfrac{7π}{3}$ radianes

31)$−\dfrac{5π}{12}$ radianes

Responder: $-75^{\circ}$

32)$\dfrac{11π}{6}$ radianes

Para los ejercicios 33-39, convertir los ángulos en grados a radianes.

33)$90^{\circ}$

Responder: $\dfrac{π}{2}$radianes

34)$100^{\circ}$

35)$-540^{\circ}$

Responder: $−3π$radianes

36)$-120^{\circ}$

37)$180^{\circ}$

Responder: $π$radianes

38)$-315^{\circ}$

39)$150^{\circ}$

Responder: $\dfrac{5π}{6}$radianes

Para los ejercicios 40-45, utilice para dar información para encontrar la longitud de un arco circular. Redondear a dos decimales.

40) Encuentra la longitud del arco de un círculo de$12$ pulgadas de radio subtendido por un ángulo central de$\dfrac{π}{4}$ radianes.

41) Encuentra la longitud del arco de un círculo de radio$5.02$ millas subtendido por el ángulo central de$\dfrac{π}{3}$.

Responder: $\dfrac{5.02π}{3}≈5.26$millas

42) Encontrar la longitud del arco de un círculo de$14$ metros de diámetro subtendido por el ángulo central de$\dfrac{5\pi }{6}$.

43) Encuentra la longitud del arco de un círculo de$10$ centímetros de radio subtendido por el ángulo central de$50^{\circ}$.

Responder: $\dfrac{25π}{9}≈8.73$centímetros

44) Encuentra la longitud del arco de un círculo de$5$ pulgadas de radio subtendido por el ángulo central de$220^{circ}$.

45) Encontrar la longitud del arco de un círculo de$12$ metros de diámetro subtendido por el ángulo central es$63^{circ}$.

Responder: $\dfrac{21π}{10}≈6.60$metros

Para los ejercicios 46-49, utilice la información dada para encontrar el área del sector. Redondear a cuatro decimales.

46) Un sector de un círculo tiene un ángulo central de$45^{\circ}$ y un radio$6$ cm.

47) Un sector de un círculo tiene un ángulo central de$30^{\circ}$ y un radio de$20$ cm.

Responder: $104.7198\; cm^2$

48) Un sector de círculo con$10$ pies de diámetro y un ángulo de$\dfrac{π}{2}$ radianes.

49) Un sector de círculo con radio de$0.7$ pulgadas y un ángulo de$π$ radianes.

Responder: $0.7697\; in^2$

Para los ejercicios 50-53, encuentra el ángulo entre$0^{\circ}$ y$360^{\circ}$ que es coterminal al ángulo dado.

50)$-40^{\circ}$

51)$-110^{\circ}$

Responder: $250^{\circ}$

52)$700^{\circ}$

53)$1400^{\circ}$

Responder: $320^{\circ}$

Para los ejercicios 54-57, encuentra el ángulo entre$0$ y$2\pi $ en radianes que es coterminal al ángulo dado.

54)$−\dfrac{π}{9}$

55)$\dfrac{10π}{3}$

Responder: $\dfrac{4π}{3}$

56)$\dfrac{13π}{6}$

57)$\dfrac{44π}{9}$

Responder: $\dfrac{8π}{9}$

Aplicaciones del mundo real

58) Un camión con ruedas de$32$ -pulgadas de diámetro se desplaza a$60$ mi/h. Encuentra la velocidad angular de las ruedas en rad/min. ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas?

59) Una bicicleta con ruedas de$24$ -pulgadas de diámetro se desplaza a$15$ mi/h. Encuentra la velocidad angular de las ruedas en rad/min. ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas?

Responder: $1320$rad$210.085$ RPM

60) Una rueda de$8$ pulgadas de radio está girando$15^{\circ}/s$. ¿Cuál es la velocidad lineal$v$, la velocidad angular en RPM y la velocidad angular en rad/s?

61) Una rueda de$14$ pulgadas de radio está girando$0.5 \text{rad/s}$. ¿Cuál es la velocidad lineal$v$, la velocidad angular en RPM y la velocidad angular en grados/s?

Responder: $7$en. /s,$4.77$ RPM,$28.65$ grados/s

62) Un CD tiene un diámetro de$120$ milímetros. Al reproducir audio, la velocidad angular varía para mantener constante la velocidad lineal donde se está leyendo el disco. Al leer a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular es de aproximadamente$200$ RPM (revoluciones por minuto). Encuentra la velocidad lineal.

63) Cuando se quema en una unidad de CD-R grabable, la velocidad angular de un CD suele ser mucho más rápida que cuando se reproduce audio, pero la velocidad angular aún varía para mantener constante la velocidad lineal donde se está escribiendo el disco. Al escribir a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular de una unidad es de aproximadamente$4800$ RPM (revoluciones por minuto). Encuentra la velocidad lineal si el CD tiene un diámetro de$120$ milímetros.

Responder: $1,809,557.37 \text{ mm/min}=30.16 \text{ m/s}$

64) Una persona se encuentra de pie en el ecuador de la Tierra (radio$3960$ millas). ¿Cuáles son sus velocidades lineales y angulares?

65) Encontrar la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo central de$5$ minutos$(1 \text{ minute}=\dfrac{1}{60} \text{ degree})$. El radio de la Tierra es$3960$ millas.

Responder: $5.76$millas

66) Encontrar la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo central de$7$ minutos$(1 \text{ minute}=\dfrac{1}{60} \text{ degree})$. El radio de la Tierra es$3960$ millas.

67) Considera un reloj con manecilla de hora y minutero. ¿Cuál es la medida del ángulo que la manecilla minutera traza en$20$ minutos?

Responder: $120°$

Extensiones

68) Dos ciudades tienen la misma longitud. La latitud de la ciudad A es$9.00$ grados norte y la latitud de la ciudad B es$30.00$ grado norte. Supongamos que el radio de la tierra es$3960$ millas. Encuentra la distancia entre las dos ciudades.

69) Una ciudad se ubica a$40$ grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es$3960$ millas y la tierra gira una vez cada$24$ hora. Encuentra la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad.

Responder: $794$millas por hora

70) Una ciudad se ubica a$75$ grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es$3960$ millas y la tierra gira una vez cada$24$ hora. Encuentra la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad.

71) Encuentra la velocidad lineal de la luna si la distancia promedio entre la tierra y la luna es de$239,000$ millas, asumiendo que la órbita de la luna es circular y requiere aproximadamente$28$ días. Respuesta expresa en millas por hora.

Responder: $2,234$millas por hora

72) Una bicicleta tiene llantas en$28$ pulgadas de diámetro. Un tacómetro determina que las ruedas están girando a$180$ RPM (revoluciones por minuto). Encuentra la velocidad que recorre la bicicleta por la carretera.

73) Un automóvil recorre$3$ millas. Sus llantas hacen$2640$ revoluciones. ¿Cuál es el radio de una llanta en pulgadas?

Responder: $11.5$pulgadas

74) Una rueda en un tractor tiene un diámetro de$24$ -pulgada. ¿Cuántas revoluciones hace la rueda si el tractor recorre$4$ millas?