25.2: Expansión Binomial

Utilizando el teorema binomial, también podemos ampliar más poderes generales de sumas o diferencias.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Expandir la expresión.

1. \((x^2+2y^3)^5\)
2. \((2xy^2-\frac{4}{y^2})^3\)
3. \((\sqrt{2}+1)^6\)
4. \((i-3)^4\)

Solución

1. Utilizamos el teorema binomial con\(a=x^2\) y\(b=2y^3\):

\[\begin{aligned} (x^2+2y^3)^5 &= (x^2)^5+\dbinom{5}{1} (x^2)^{4}(2y^3)+\dbinom{5}{2} (x^2)^{3}(2y^3)^2+\dbinom{5}{3} (x^2)^{2}(2y^3)^{3}+\dbinom{5}{4} (x^2)(2y^3)^{4}+(2y^3)^5 \\ &= x^{10}+5x^8\cdot 2y^3+10x^6\cdot 4y^6+10x^4\cdot 2^3y^9+5x^2\cdot 2^4y^{12}+2^5y^{15}\\ &= x^{10}+10x^8y^3+40x^6y^6+80x^4y^9+80x^2y^{12}+32 y^{15}\end{aligned} \nonumber \]

2. Para la parte b), es\(a=2xy^2\) y\(b=-\dfrac{4}{y^2}\).

\[\begin{aligned} \left(2xy^2-\dfrac{4}{y^2}\right)^3 & = (2xy^2)^3+\dbinom{3}{1}(2xy^2)^2\left(-\dfrac{4}{y^2}\right)+\dbinom{3}{2}(2xy^2)\left(-\dfrac{4}{y^2}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{y^2}\right)^3 \\ &= 2^3x^3y^6+3\cdot 2^2x^2y^4\left(-\dfrac{4}{y^2}\right)+3(2xy^2)(-1)^2\dfrac{4^2}{y^4}+(-1)^3\dfrac{4^3}{y^6} \\ &=8x^3y^6-48x^2y^2+96x\cdot \dfrac{1}{y^2}-64\cdot \dfrac{1}{y^6}\end{aligned} \nonumber \]

3. De igual manera, para la parte (c), ahora tenemos\(a=\sqrt{2}\) y\(b=1\):

\[\begin{aligned} (\sqrt{2}+1)^6 &= (\sqrt{2})^6+\dbinom{6}{1} (\sqrt{2})^{5}\cdot 1+\dbinom{6}{2} (\sqrt{2})^{4}\cdot 1^2 +\dbinom{6}{3} (\sqrt{2})^{3}\cdot 1^{3}+\dbinom{6}{4} (\sqrt{2})^2\cdot 1^{4}+\dbinom{6}{5}(\sqrt{2})\cdot 1^5+1^6 \\ &= \sqrt{64}+6\cdot \sqrt{32}+15\cdot \sqrt{16}+20\cdot \sqrt{8}+15\cdot \sqrt{4} +6\cdot \sqrt{2}+1\\ &= 8+6\cdot \sqrt{16\cdot 2}+15\cdot 4+20\cdot \sqrt{4\cdot 2}+15\cdot 2 +6\cdot \sqrt{2}+1\\ &= 8+24\sqrt{2}+60+40\sqrt{2}+30+6\sqrt{2}+1\\ &= 99+70\sqrt{2}\end{aligned} \nonumber \]

Tenga en cuenta que la última expresión no se puede simplificar más (debido al orden de las operaciones).

4. Por último, tenemos\(a=i\) y\(b=-3\), y utilizamos el hecho de que\(i^2=-1\), y por lo tanto,\(i^3=-i\) y\(i^4=+1\):

\[\begin{aligned} (i-3)^4 &= i^4+\dbinom{4}{1}\cdot i^3\cdot (-3)+\dbinom{4}{2}\cdot i^2\cdot (-3)^2 +\dbinom{4}{3}\cdot i\cdot (-3)^{3}+(-3)^4 \\ &= 1+4\cdot (-i)\cdot (-3)+6 \cdot (-1)\cdot 9 +4 \cdot i\cdot (-27)+81 \\ &= 1+12i-54-108i+81\\ &= 28-96i\end{aligned} \nonumber \]

En algunas instancias no es necesario escribir la expansión binomial completa, pero basta con encontrar un término en particular, digamos el término\(k\) th de la expansión.

Observación:\(k\)th term of expansion

Recordemos, por ejemplo, la expansión binomial de\((a+b)^6\):

\ [\ begin {array} {ccccccc}\
\ dbinom {6} {0} a^6b^0 + &\ dbinom {6} {1} a^ {5} b^1 + &\ dbinom {6} {2} a^ {4} b^2 + &\ dbinom {6} {3} a^ {3} b^ {3} + &\ dbinom {6} {4} a^ {2} b^ {4} + &\ dbinom {6} {5} a^ {1} b^ {5} + &\ dbinom {6} {6} a^0b^6\
\ texto {primero} &\ texto {segundo} &\ texto { tercero} &\ texto {cuarto} &\ texto {quinto} &\ texto {sexto} &\ texto {séptimo}\
\ texto {término} &\ texto {término} &\ texto {término} &\ texto {término} &\ texto {término} &\ texto {término} &\ texto {término} &\ texto {término}
\ final {matriz}\ nonumber\]

Tenga en cuenta que los exponentes de los\(a\)\(b\)'s y's para cada término siempre suman\(6\), y que los exponentes de\(a\) disminución de\(6\) a\(0\), y los exponentes de\(b\) aumentar de\(0\) a\(6\). Además observar que en la expansión anterior se encuentra el quinto término\(\dbinom{6}{4} a^{2}b^{4}\).

En general, definimos el término\(k\) th por la siguiente fórmula:

\[\text{The $k$th term in the expansion of $(a+b)^n$ is: }\boxed{\dbinom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k-1} }\]

Nótese en particular, que el término\(k\) th tiene un poder de\(b\) dado por\(b^{k-1}\) (y no\(b^k\)), tiene un coeficiente binomial\(\dbinom{n}{k-1}\), y los exponentes de\(a\) y\(b\) sumar a\(n\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determinar:

1. el término\(4\) th en la expansión binomial de\((p+3q)^{5}\)
2. el término\(8\) th en la expansión binomial de\((x^3y-2x^2)^{10}\)
3. el término\(12\) th en la expansión binomial de\(\left(-\dfrac{5a}{b^7}-b\right)^{15}\)

Solución

1. Tenemos\(a=p\) y\(b=3q\), y\(n=5\) y\(k=4\). Así, el coeficiente binomial del término\(4\) th es\(\dbinom{5}{3}\), el\(b\) -term es\((3q)^3\), y el\(a\) -term es\(p^2\). Por lo tanto, el término viene dado por\(4\)

\[\dbinom{5}{3}\cdot p^2\cdot (3q)^3=10\cdot p^2\cdot 3^3q^3=270p^2q^3 \nonumber \]

2. En este caso,\(a=x^3y\) y\(b=-2x^2\), y además,\(n=10\) y\(k=8\). El coeficiente binomial del término\(8\) th es\(\dbinom{10}{7}\), el\(b\) -term es\((-2x^2)^7\), y el\(a\) -term es\((x^3y)^3\). Por lo tanto, el término\(8\) th es

\[\dbinom{10}{7} \cdot (x^3y)^3\cdot (-2x^2)^7 = 120\cdot x^{9}y^3\cdot (-128)x^{14} = -15360\cdot x^{23}y^3 \nonumber \]

3. De igual manera, obtenemos el término\(12\) th de\(\left(-\dfrac{5a}{b^7}-b\right)^{15}\) como

\[\begin{aligned} \dbinom{15}{11}\cdot \left(-\dfrac{5a}{b^7}\right)^{4}\cdot (-b)^{11}&= 1365\cdot \dfrac{5^4a^4}{b^{28}} \cdot (-b^{11})\\&=1365 \cdot \dfrac{625\cdot a^4\cdot (-b^{11})}{b^{28}}\\ &=-853125 \cdot \dfrac{a^4}{b^{17}}\end{aligned} \nonumber \]

Aquí hay una variación del problema anterior.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Determinar:

1. el\(x^4y^{12}\) término en la expansión binomial de\((5x^2+2y^3)^{6}\)
2. el\(x^{15}\) término en la expansión binomial de\((x^3-x)^{7}\)
3. la parte real del número complejo\((3+2i)^4\)

Solución

1. En este caso tenemos\(a=5x^2\) y\(b=2y^3\). El término\(x^4y^{12}\) puede ser reescrito como\(x^4y^{12}=(x^2)^2\cdot (y^3)^4\), de manera que el término completo\(\dbinom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}\) (incluyendo los coeficientes) es

\[\dbinom{6}{4}\cdot (5x^2)^2\cdot(2y^3)^4=15\cdot 25x^4\cdot 16y^{12}=6000 \cdot x^4 y^{12} \nonumber \]

2. Los diversos poderes de\(x\) in\((x^3-x)^{7}\) (en el orden en que aparecen en la expansión binomial) son:

\[(x^3)^7=x^{21}, \quad (x^3)^6\cdot x^1=x^{19}, \quad (x^3)^5\cdot x^2=x^{17}, \quad (x^3)^4\cdot x^3=x^{15}, \quad \dots \nonumber \]

El último término es precisamente el\(x^{15}\) -término, es decir tomamos el cuarto término,\(k=4\). Obtenemos un término total (incluyendo los coeficientes) de

\[\dbinom{7}{3}\cdot (x^3)^4 \cdot (-x)^3=35\cdot x^{12}\cdot (-x)^3= -35\cdot x^{15} \nonumber \]

3. Recordemos que\(i^n\) es real cuando\(n\) es par, e imaginario cuando\(n\) es extraño:

\ [\ begin {alineado}
i^ {1} &=i\\
i^ {2} &=-1\\
i^ {3} &=-i\\
i^ {4} &=1\\
i^ {5} &=i\\
i^ {6} &=-1\
&\ vdots
\ end {alineado}\ nonumber\]

La parte real de\((3+2i)^4\), por lo tanto, viene dada por el primer, tercer y quinto término de la expansión binomial:

\[\begin{aligned} \text{real part}&=\dbinom{4}{0}\cdot 3^4 \cdot (2i)^0+ \dbinom{4}{2}\cdot 3^2 \cdot(2i)^2+\dbinom{4}{4} \cdot 3^0\cdot (2i)^4\\ &= 1\cdot 81\cdot 1+6\cdot 9 \cdot 4 i^2+ 1\cdot 1\cdot 16 i^4\\&=81+216\cdot (-1)+16\cdot 1\\ &= 81-216+16\\& =-119\end{aligned} \nonumber \]

La parte real de\((3+2i)^4\) es\(-119\).