4.3: Períodos compuestos

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Objetivos de aprendizaje

Si los compuestos de interés no sean anuales, ¿cómo se calcula el PV y el FV?

El interés no siempre se compone anualmente, como se supone en los problemas ya presentados en este capítulo. En ocasiones se compone trimestralmente, mensualmente, diariamente, incluso de manera continua. Cuanto más frecuente es el período de capitalización, más valioso es el vínculo u otro instrumento, todo lo demás constante. Las matemáticas siguen siendo las mismas (aunque un poco más difíciles cuando la composición es continua), pero debes tener cuidado con lo que conectas a la ecuación para i y n Por ejemplo, $1,000 invertidos al 12 por ciento por un año compuesto anualmente valdría $1,000 × (1.12) ¹ = $1,1, 120.00. Pero esa misma suma invertida para el mismo plazo a la misma tasa de interés pero compuesta mensual crecería a $1,000 × (1.01) ¹² = $1,126.83 porque los intereses pagados cada mes se capitalizan, ganando intereses al 12 por ciento. Tenga en cuenta que representamos i como el interés pagado por periodo (.12 intereses/12 meses en un año = .01) y n como el número de periodos (12 en un año; 12 × 1 = 12), en lugar del número de años. Esa misma suma, y así sucesivamente con intereses compuestos trimestrales (4 veces al año) crecería a $1,000 × (1.03) ⁴ = $1,125.51. Las diferencias entre la capitalización anual, mensual y trimestral aquí son bastante triviales, y ascienden a menos de 7 dólares todos contados, pero son importantes para sumas mayores, tasas de interés más altas, períodos de capitalización más frecuentes y plazos más largos. Un millón de dólares al 4 por ciento para un año compuesto anualmente llega a $1,000,000 × (1.04) = $1,040,000, mientras que en los mismos términos compuestos trimestralmente, produce $1,000,000 × (1.01) ⁴ = $1,040.604.01. (Voy a tomar esta última suma sobre la primera cualquier día e “invertir” el excedente en una cena muy agradable y entradas para conciertos.) De igual manera, $100 a 300 por ciento de interés por 5 años compuestos anualmente se convierten en 100 × (4) ⁵ = $102,400. Compuesto trimestralmente, ese $100 crece a $100 × (1.75) ²⁰ = $7,257,064.34! Un mero $1 al 6 por ciento compuesto anualmente por 100 años valdrá $1 × (1.06) ¹⁰⁰ = $339.30. El mismo dólar al mismo interés agravó las oleadas mensuales en un siglo a $1 × (1.005) ¹²⁰⁰ = $397.44. Todo esto tiene sentido porque los intereses se están recibiendo antes de fin de año y por lo tanto es más valioso porque, como sabemos, el dinero ahora es mejor que el dinero después.

Haz algunos ejercicios ahora para asegurarte de obtenerlo.

EJERCIOS

Para todas las preguntas de este conjunto, las tasas de interés se establecen en términos anuales, pero el interés se compone trimestralmente (cuatro veces al año). Además, supongamos que no hay comisiones de transacción, incumplimientos, etc.

En tu septuagésimo cumpleaños, aprendes que tu abuela, bendiga su alma, depositó $50.00 para ti el día de tu nacimiento en una cuenta de ahorro con 5 por ciento de interés. ¿Cuánto hay en la cuenta?
Ganaste $1 millón en la lotería pero desafortunadamente el dinero se paga en un año y quieres empezar a gastarlo de inmediato. Si el interés es del 8 por ciento, ¿cuánto puede recibir hoy a cambio de ese millón de dólares en el año?
Como estudiante de primer año, esperabas ahorrar 2.500 dólares para “chulo tu paseo” como regalo de graduación universitaria para ti mismo. Pones $2,012.98 de tu acarreo de graduación de secundaria en el banco al 5 por ciento de interés. ¿Cumplirás tu objetivo si te gradúas en cuatro años?
Has ganado una beca para tu último año por valor de $1,500, pero se paga solo después de graduarte, un año de ahí. Si el interés es del 15 por ciento, ¿cuánto vale hoy tu beca?
Ganaste la lotería y anotaste un millón de dólares, pero necesitas 5 millones de dólares para comprar una pequeña isla en la que has tenido el ojo puesto. Si el interés está en 12 por ciento, ¿podrá comprar su isla en 30 años, asumiendo que su precio no cambia en ese momento?

CLAVE PARA TOMAR

El valor presente y futuro se puede calcular para cualquier periodo compuesto (excepto de manera continua) utilizando las mismas fórmulas presentadas en este capítulo.
Sin embargo, se debe tener cuidado para que los términos i y n se ajusten adecuadamente.