32.1: Isótopos radiactivos
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Los átomos que tienen el mismo número de protones pero un número diferente de neutrones son isótopos. Para identificar un isótopo usamos la notación\({}_Z^A E\), donde E es el símbolo atómico del elemento, Z es el número atómico del elemento y A es el número de masa atómica del elemento. Aunque los diferentes isótopos de un elemento tienen las mismas propiedades químicas, sus propiedades nucleares no son idénticas. La diferencia más importante entre los isótopos es su estabilidad. La configuración nuclear de un isótopo estable permanece constante con el tiempo. Sin embargo, los isótopos inestables se desintegran espontáneamente, emitiendo partículas de desintegración radiactiva a medida que se transforman en una forma más estable.
El número atómico de un elemento, Z, es igual al número de protones y su masa atómica, A, es igual a la suma del número de protones y neutrones. Representamos un isótopo de carbono-13\(_{6}^{13} \text{C}\) porque el carbono tiene seis protones y siete neutrones. A veces omitimos Z de esta notación, identificando el elemento y el número atómico es repetitivo porque todos los isótopos de carbono tienen seis protones y cualquier átomo que tenga seis protones es un isótopo de carbono. Así, 13 C y C—13 son notaciones alternativas para este isótopo de carbono.
Tipos de partículas de desintegración radiactiva
Los tipos más importantes de partículas radiactivas son las partículas alfa, las partículas beta, los rayos gamma y los rayos X. Una partícula alfa,\(\alpha\), es equivalente a un núcleo de helio,\({}_2^4 \text{He}\). Cuando un átomo emite una partícula alfa, el producto es un átomo nuevo cuyo número atómico y número de masa atómica son, respectivamente, 2 y 4 menores que su progenitor inestable. La desintegración del uranio en torio es un ejemplo de emisión alfa.
\[_{92}^{238} \text{U} \longrightarrow _{90}^{234} \text{Th}+\alpha \nonumber \]
Una partícula beta,\(\beta\), viene en una de dos formas. Un negatrón,\(_{-1}^0 \beta\), se produce cuando un neutrón se convierte en protón, aumentando el número atómico en uno, como se muestra aquí para el plomo.
\[_{82}^{214} \mathrm{Pb} \longrightarrow_{83}^{214} \mathrm{Bi} + _{-1}^{0} \beta \nonumber \]
La conversión de un protón en un neutrón da como resultado la emisión de un positrón,\(_{1}^0 \beta\).
\[_{15}^{30} \mathrm{P} \longrightarrow_{14}^{30} \mathrm{Si} + _{1}^{0} \beta \nonumber \]
Un negatrón, que es el tipo más común de partícula beta, es equivalente a un electrón.
La emisión de una partícula alfa o beta a menudo produce un isótopo en un estado inestable y de alta energía. Este exceso de energía se libera como un rayo gamma,\(\gamma\), o como una radiografía. La emisión de rayos gamma y rayos X también puede ocurrir sin la liberación de una partícula alfa o una partícula beta.
Tasas de desintegración radiactiva
La tasa de desintegración de un isótopo radiactivo, o actividad, sigue la cinética de primer orden
\[A-{t} = -\frac{d N}{d t}=\lambda N \label{13.1} \]
donde A es la actividad del isótopo, N es el número de átomos radiactivos presentes en la muestra en el tiempo t, y\(\lambda\) es la constante de desintegración del isótopo. La actividad se expresa como el número de desintegraciones por unidad de tiempo.
Como con cualquier proceso de primer orden, podemos reescribir la Ecuación\ ref {13.1} de forma integrada.
\[N_{t}=N_{0} e^{-\lambda t} \label{13.2} \]
Sustituyendo la ecuación\ ref {13.2} en la ecuación\ ref {13.1} da
\[A_{t} = \lambda N_{0} e^{-\lambda t}=A_{0} e^{-\lambda t} \label{13.3} \]
Si medimos la actividad de una muestra en el tiempo t podemos determinar la actividad inicial de la muestra, A 0, o el número de átomos radiactivos originalmente presentes en la muestra, N 0.
Una propiedad característica importante de un isótopo radiactivo es su vida media, t 1/2, que es la cantidad de tiempo requerida para que la mitad de los átomos radiactivos se desintegren. Para la cinética de primer orden, la vida media es
\[t_{1 / 2}=\frac{0.693}{\lambda} \label{13.4} \]
Debido a que la vida media es independiente del número de átomos radiactivos, permanece constante durante todo el proceso de desintegración. Por ejemplo, si el 50% de los átomos radiactivos permanecen después de una vida media, entonces el 25% permanece después de dos semividas, y el 12.5% permanece después de tres semividas.
Supongamos que comenzamos con un N 0 de 1200 átomos Durante la primera vida media, 600 átomos se desintegran y quedan 600. Durante la segunda vida media, 300 de los 600 átomos restantes se desintegran, dejando 300 átomos o 25% de los 1200 átomos originales. De los 300 átomos restantes, solo quedan 150 después de la tercera vida media, o 12.5% de los 1200 átomos originales.
La información cinética sobre un isótopo radiactivo generalmente se da en términos de su vida media porque proporciona una sensación más intuitiva de la estabilidad del isótopo. Saber, por ejemplo, que la constante de decaimiento para\(_{38}^{90}\text{Sr}\) es 0.0247 yr —1 no da una idea inmediata de lo rápido que se desintegra. Por otro lado, saber que su vida media es de 28.1 años deja claro que la concentración de\(_{38}^{90}\text{Sr}\) en una muestra permanece esencialmente constante durante un corto periodo de tiempo.
Estadísticas de conteo
La radiactividad no sigue una distribución normal porque los posibles resultados no son continuos; es decir, una muestra puede emitir 1 o 2 o 3 partículas alfa (o algún otro valor entero) en un intervalo fijo, pero no puede emitir 2.59 partículas alfa durante ese mismo intervalo. Una distribución de Poisson, sin embargo, proporciona la probabilidad de que un número dado de eventos ocurrirá en un intervalo fijo en el tiempo o el espacio si el evento tiene una tasa promedio conocida y si cada nuevo evento es independiente del evento anterior. Matemáticamente una distribución de Poisson se define por la ecuación
\[P(X, \lambda) = \frac {e^{-\lambda} \lambda^X} {X !} \nonumber \]
donde\(P(X, \lambda)\) es la probabilidad de que un evento ocurra X veces dada la tasa promedio del evento,\(\lambda\). La distribución de Poisson tiene una media teórica,\(\mu\), y una varianza teórica,\(\sigma^2\), que son cada una igual a\(\lambda\).
Para una discusión más detallada de la distribución de los datos, incluyendo distribuciones normales y distribuciones de Poisson, véase el Apéndice 1.
La precisión y precisión de los métodos radioquímicos generalmente están dentro del rango del 1— 5%. Podemos mejorar la precisión, que está limitada por la naturaleza aleatoria de la descomposición radiactiva, contando la emisión de partículas radiactivas durante el tiempo que sea práctico. Si el número de recuentos, M, es razonablemente grande (M ≥ 100), y el período de conteo es significativamente menor que la vida media del isótopo, entonces el porcentaje de desviación estándar relativa para la actividad,\((\sigma_A)_{rel}\), es aproximadamente
\[\left(\sigma_{A}\right)_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{\sqrt{M}} \times 100 \nonumber \]
Por ejemplo, si determinamos la actividad contando 10 000 partículas radiactivas, entonces la desviación estándar relativa es de 1%. La sensibilidad de un método radioquímico es inversamente proporcional a\((\sigma_A)_{rel}\), lo que significa que podemos mejorar la sensibilidad contando más partículas.
Análisis de Analíticos Radiactivos
La concentración de un isótopo radiactivo de larga vida permanece esencialmente constante durante el período de análisis. Como se muestra en el Ejemplo 32.1.1 , podemos usar la actividad de la muestra para calcular el número de partículas radiactivas en la muestra.
La actividad en una muestra de 10.00-mL de aguas residuales que contiene\(_{38}^{90}\text{Sr}\) es\(9.07 \times 10^6\) desintegraciones/s. ¿Cuál es la concentración molar de\(_{38}^{90}\text{Sr}\) en la muestra? La vida media para\(_{38}^{90}\text{Sr}\) es de 28.1 año.
Solución
Resolviendo la ecuación\ ref {13.4} para\(\lambda\), sustituyendo en la ecuación\ ref {13.1}, y resolviendo para N da
\[N=\frac{A \times t_{1 / 2}}{0.693} \nonumber \]
Antes de poder determinar el número de átomos de\(_{38}^{90}\text{Sr}\) en la muestra debemos expresar su actividad y su vida media utilizando las mismas unidades. Convertir la vida media a segundos da t 1/2 como\(8.86 \times 10^8\) s; por lo tanto, hay
\[\frac{\left(9.07 \times 10^{6} \text { disintegrations/s }\right)\left(8.86 \times 10^{8} \text{ s}\right)}{0.693} = 1.16 \times 10^{16} \text{ atoms} _{38}^{90}\text{Sr} \nonumber \]
La concentración de\(_{38}^{90}\text{Sr}\) en la muestra es
\[\frac{1.16 \times 10^{16} \text { atoms } _{38}^{90} \text{Sr}}{\left(6.022 \times 10^{23} \text { atoms/mol }\right)(0.01000 \mathrm{L})} = 1.93 \times 10^{-6} \text{ M } _{38}^{90}\text{Sr} \nonumber \]
El análisis directo de un isótopo radiactivo de corta duración utilizando el método descrito en el Ejemplo 32.1.1 es menos útil porque proporciona solo una medida transitoria de la concentración del isótopo. En su lugar, podemos medir su actividad después de un tiempo transcurrido, t, y usar la Ecuación\ ref {13.3} para calcular N 0.
Un ejemplo de aplicación de caracterización es la determinación de la edad de una muestra basada en la desintegración de un isótopo radiactivo presente de forma natural en la muestra. El ejemplo más común es la datación por carbono-14, que se utiliza para determinar la edad de los materiales orgánicos naturales. A medida que los rayos cósmicos pasan por la atmósfera superior, algunos\(_7^{14}\text{N}\) átomos en la atmósfera capturan neutrones de alta energía, convirtiéndolos en\(_6^{14}\text{C}\). El\(_6^{14}\text{C}\) entonces migra a la atmósfera inferior donde se oxida para formar CO 2 marcado con C-14. Los animales y las plantas posteriormente incorporan este CO 2 marcado en sus tejidos. Debido a que este es un proceso en estado estacionario, todas las plantas y animales tienen la misma proporción de\(_6^{14}\text{C}\) a\(_6^{12}\text{C}\) en sus tejidos. Cuando un organismo muere, la desintegración radiactiva de\(_6^{14}\text{C}\) a\(_7^{14}\text{N}\) por\(_{-1}^0 \beta\) emisión (t = 5730 años) conduce a una reducción predecible en la\(_6^{12}\text{C}\) relación\(_6^{14}\text{C}\) a. Podemos usar el cambio en esta relación a muestras de fecha que tienen hasta 30000 años de antigüedad, aunque la precisión del análisis es mejor cuando la edad de la muestra es menor a 7000 años. La precisión de la datación por carbono-14 depende de nuestra suposición de que la\(_6^{12}\text{C}\) relación natural\(_6^{14}\text{C}\) a la atmósfera es constante a lo largo del tiempo. Alguna variación en la relación se ha producido como resultado del aumento del consumo de combustibles fósiles y la producción de\(_6^{14}\text{C}\) durante las pruebas de armas nucleares. Una curva de calibración preparada con muestras de edad conocida (ejemplos de muestras incluyen anillos de árboles, sedimentos oceánicos profundos, muestras de coral y depósitos en cuevas) limita esta fuente de incertidumbre.
No es necesario preparar una curva de calibración para cada análisis. En cambio, existe una curva de calibración universal conocida como IntCal. La curva más reciente de este tipo, IntCal13 se describe en el siguiente trabajo: Reimer, P. J., et. al. “IntCal13 y Marine 13 Curva de Calibración de Edad de Radiocarbono 0—50,000 Años Cal BP”, Radiocarbono 2013, 55, 1869—1887. Esta calibración abarca 50 000 años antes del presente (PA).
Para determinar la edad de una muestra de tejido,\(_6^{12}\text{C}\) se midió la relación relativa de\(_6^{14}\text{C}\) a arrojando un resultado de 80.9% del encontrado en las fibras modernas. ¿Qué edad tiene la tela?
Solución
La ecuación\ ref {13.3} y la ecuación\ ref {13.4} nos proporcionan un método para convertir un cambio en la relación de\(_6^{14}\text{C}\) a\(_6^{12}\text{C}\) a la edad de la tela. Dejando que A 0 sea la relación de\(_6^{14}\text{C}\) a\(_6^{12}\text{C}\) en fibras modernas, le asignamos un valor de 1.00. La relación de\(_6^{14}\text{C}\) a\(_6^{12}\text{C}\) en la muestra, A, es 0.809. Resolver da
\[t=\ln \frac{A_{0}}{A} \times \frac{t_{1 / 2}}{0.693}=\ln \frac{1.00}{0.809} \times \frac{5730 \text { yr }}{0.693}=1750 \text { yr } \nonumber \]
Se pueden utilizar otros isótopos para determinar la edad de una muestra. La edad de las rocas, por ejemplo, se ha determinado a partir de la relación entre el número de\(_{92}^{238}\text{U}\) y el número de\(_{82}^{206}\text{Pb}\) átomos estables producidos por la desintegración radiactiva. Para rocas que no contienen uranio, la datación se logra comparando la proporción de radiactivo\(_{19}^{40}\text{K}\) con respecto al estable\(_{18}^{40}\text{Ar}\). Otro ejemplo es la datación de sedimentos recolectados de lagos midiendo la cantidad de los\(_{82}^{210}\text{Pb}\) que está presente.