12.2: El Método de Separación de Variables
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La mayoría de las PDE que encontrarás en la química física se pueden resolver usando un método llamado “separación de variables”. Ejemplificaremos el método resolviendo la PDE más fácil: La ecuación de Laplace en dos dimensiones:
\[\label{eq:pde5} \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0\]
Las soluciones de la ecuación de Laplace son importantes en muchos campos de la ciencia, incluyendo el electromagnetismo, la astronomía y la dinámica de fluidos.
separación de etapas variables
Los siguientes pasos resumen todo lo que hemos hecho para encontrar la solución:
- Supongamos que la solución de la ecuación diferencial puede expresarse como el producto de funciones de cada una de las variables.
- Términos de grupo que dependen de cada una de las variables independientes (en este caso\(x\) y\(y\)).
- Identificar los términos que necesitan igualar constantes.
- Resuelve las ODEs (¡no olvides las constantes de integración!)
- Armar todo. Tu respuesta tendrá una o más constantes que eventualmente se determinarán a partir de las condiciones de límite
Paso 1
El primer paso en el método de separación de variables es suponer que la solución de la ecuación diferencial, en este caso\(f(x,y)\), puede expresarse como el producto de una función de\(x\) veces una función de\(y\).
\[f(x,y)=X(x)Y(y) \label{eq1}\]
No te confundas con la nomenclatura. Usamos minúsculas para denotar la variable, y mayúsculas para denotar la función. Podríamos haber escrito Ecución\ ref {eq1} como
\[f(x,y)=h(x)g(y)\]
Paso 2
En el segundo paso, sustituimos\(f(x,y)\) en Ecuación\ ref {eq:pde5} por Ecuación\ ref {eq1}:
\[\dfrac{\partial X(x)Y(y)}{\partial x}+\dfrac{\partial X(x)Y(y)}{\partial y}=0\]
\[\label{eq:pde7} Y(y)\dfrac{\partial X(x)}{\partial x}+X(x)\dfrac{\partial Y(y)}{\partial y}=0\]
Paso 3
El tercer paso implica reorganizar los términos de la Ecuación\ ref {eq:pde7} para que todos los términos en\(x\) y\(y\) se agrupen juntos. No existe un método universal para este paso. En este ejemplo, separaremos las variables dividiendo todos los términos por\(X(x)Y(y)\), pero en general necesitará averiguar cómo separar las variables para la ecuación particular que está resolviendo:
\[\label{eq:pde8} \dfrac{1}{X(x)}\dfrac{\partial X(x)}{\partial x}+\dfrac{1}{Y(y)}\dfrac{\partial Y(y)}{\partial y}=0\]
Paso 4
En el cuarto paso, reconocemos que la Ecuación\ ref {eq:pde8} es la suma de dos términos (serían tres si estuviéramos resolviendo un problema en 3 dimensiones), y cada término depende de una sola variable. En este caso, el primer término es una función de\(x\) sólo, y el segundo término es una función de\(y\) sólo. ¿Cómo podemos agregar algo de lo que depende\(x\) solo a algo de lo que depende\(y\) solo y obtener cero? Esto suena imposible, ya que los términos en nunca\(x\) cancelarán términos en\(y\) 1.
La única manera de hacer que la Ecuación\ ref {eq:pde8} se mantenga para cualquier valor de\(x\) y\(y\) es forzar que cada suma sea una constante. El término\(\dfrac{1}{X(x)}\dfrac{\partial X(x)}{\partial x}\) no puede ser una función de\(x\), y el término\(\dfrac{1}{Y(y)}\dfrac{\partial Y(y)}{\partial y}\) no puede ser una función de\(y\):
\[\label{eq:pde9a} \dfrac{1}{X(x)}\dfrac{\partial X(x)}{\partial x}=K_1\]
\[\label{eq:pde9b} \dfrac{1}{Y(y)}\dfrac{\partial Y(y)}{\partial y}=K_2\]
Este paso transforma una PDE en dos ODEs. En general, tendremos una ODE por cada variable independiente. En este caso particular, debido a que los dos términos necesitan sumar hasta cero, tenemos\(K_1=-K_2\).
Paso 5
En el quinto paso, resolvemos las 2 ODE utilizando los métodos que aprendimos en capítulos anteriores. Obtendremos\(X(x)\) de la Ecuación\ ref {eq:pde9a} y\(Y(y)\) de la Ecuación\ ref {eq:pde9b}. Ambas soluciones contendrán constantes arbitrarias que evaluaremos usando condiciones iniciales o de límite si se dan. En este caso, las dos ecuaciones son matemáticamente idénticas, y son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden separables. Las soluciones (que deberías poder obtener por tu cuenta) son:
\[X(x)=Ae^{K_1x}\]
\[Y(y)=Be^{-K_1y}\]
Paso 6
En el paso 6, combinamos las soluciones de una variable para obtener la solución de muchas variables que estamos buscando (Ecuación\ ref {eq1}):
\[f(x,y)=X(x)Y(y)=Ae^{K_1x}Be^{-K_1y}=Ce^{K_1(x-y)}\]
donde\(C\) es una constante.
Siempre debemos terminar comprobando que nuestra respuesta efectivamente satisface el PDE que estábamos tratando de resolver:
\[\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0\]
\[\begin{align*} f(x,y) &=Ce^{K_1(x-y)}\rightarrow \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=CK_1e^{K_1(x-y)} \\[4pt] \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} &=-CK_1e^{K_1(x-y)}\rightarrow \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0 \end{align*}\]