1.1: Describir mecánicamente un sistema cuántico
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Como punto de partida es útil revisar los postulados de la mecánica cuántica, y aprovechar esto como una oportunidad para elaborar algunas definiciones y propiedades de los sistemas cuánticos.
1. La función de onda
La materia mecánica cuántica exhibe dualidad onda-partícula en la que las propiedades de las partículas enfatizan aspectos clásicos de la posición, masa e impulso del objeto, y las propiedades de onda reflejan su deslocalización espacial y su capacidad de interferir constructiva o destructivamente con otras partículas u ondas. Como resultado, en la mecánica cuántica las propiedades físicas del sistema son descritas por la función de onda\(\Psi\). La función de onda es una función de amplitud de probabilidad compleja dependiente del tiempo que en sí misma no es observable; sin embargo, codifica todas las propiedades de las partículas y campos del sistema. Dependiendo del contexto, partícula es un término que se referirá a una variedad de objetos, como electrones, nucleones y atomos, que llenan el espacio y tienen masa, pero que también conservan propiedades onduladas. Los campos se refieren a una variedad de cantidades físicas que son continuas en el tiempo y el espacio, las cuales tienen energía e influyen en el comportamiento de las partículas.
En el sentido general, la función de onda, o estado, no se refiere a un espacio físico tridimensional en el que existen partículas cuánticas, sino a un espacio vectorial lineal dimensional infinito, o espacio Hilbert, que da cuenta de todas las posibles propiedades observables del sistema. Podemos representar la función de onda en el espacio físico,\(\Psi(\mathbf{r})\) realizando una proyección sobre las coordenadas espaciales deseadas. Como función de amplitud de probabilidad, la función de onda describe la probabilidad estadística de localizar partículas o campos en el espacio y el tiempo. Específicamente, afirmamos que el cuadrado de la función de onda es proporcional a una densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de volumen). En una dimensión, la probabilidad de encontrar una partícula en un espacio entre x y x+dx en un tiempo particular t es
\[P(\mathbf{x}, \mathbf{t}) d x=\Psi^{*}(\mathbf{x}, \mathbf{t}) \Psi(\mathbf{x}, \mathbf{t}) \mathrm{d} \mathrm{x}\]
Siempre asumiremos que las funciones de onda para una partícula están normalizadas adecuadamente, de modo que eso\(\int \mathrm{P}(\mathbf{x}, \mathrm{t}) \mathrm{dx}=1\).
2. Operadores
La mecánica cuántica es paralela a la formulación de Hamilton de la mecánica clásica, en la que se describen las propiedades de las partículas y los campos en términos de su posición y momento. Cada partícula descrita por la función ondulada tendrá asociada con ella uno o más grados de libertad que se definen por la dimensionalidad del problema. Para cada grado de libertad, las partículas que se describen clásicamente por una posición x y un momento\(p_{x}\) tendrán asociado a ella un operador mecánico cuántico\(\hat{x} \text { or } \hat{p}_{x}\) que se utilizará para describir propiedades físicas y observables experimentales. Los operadores corresponden a variables dinámicas, mientras que las variables estáticas, como la masa, no tienen operadores asociados a ellas. En la práctica existe una correspondencia cuántico/clásica que implica que el comportamiento mecánico cuántico a menudo se puede deducir de las ecuaciones dinámicas clásicas sustituyendo el operador mecánico cuántico por las variables clásicas correspondientes. En el caso de la posición y momento, estos operadores son\(x \rightarrow \hat{x} \text { and } \hat{p}_{x}=-i \hbar(\partial / \partial x)\). En la Tabla 1 se enumeran algunos operadores importantes que usaremos. Tenga en cuenta que el tiempo no tiene un operador asociado a él, y para nuestros fines se considera una variable inmutable que se aplica de manera uniforme a todo el sistema.
Tabla\(\PageIndex{1}\): enumera algunos operadores importantes que usaremos. Tenga en cuenta que el tiempo no tiene un operador asociado a él, y para nuestros fines se considera una variable inmutable que se aplica de manera uniforme a todo el sistema.
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {|l|l|l|l|}
\ hline & &\ text {Variable clásica} &\ text {Operador}\
\\ hline\ text {Posición} & (1\ mathrm {D}) & x &\ hat {x}\
\ hline & (3\ mathrm {D}) & r &\ hat {r}\\
\ hline\ text {Momento lineal} & (1\ mathrm {D}) & p_ {\ mathrm {x}} &\ hat {p} _ {x} =-i\ hbar (\ parcial/\ parcial x)
\\ hline & (3\ mathrm {D}) & p &\ hat {p} =-i\ hbar\ nabla
\\ hline\ begin {array} l}
\ text {Función de posición}\\
\ text {y momentum}
\ end {array} & (1\ mathrm {D}) & f\ left (x, p_ {\ mathrm {x}}\ derecha) & f\ left (\ hat {x},\ hat {p} _ {x}\ derecha)\
\ hline\ text {Momento angular} & (3\ mathrm {D}) &\ bar {L} =\ bar {r}\ veces\ bar {p} &\ hat {L} =-i\ hbar\ sombrero {r}\ veces\ bar {\ nabla}\\
\ hline\ begin {array} {l}
\ text {z-componente de orbital}\\
\ text {momento angular}
\ end {array} & & &\ hat {L} _ {z} =-i\ hbar (\ parcial/\ parcial\ phi)\\ hline
\ end {array}
\ end {array}
\ end {ecuación}
¿Qué hacen los operadores? Los operadores mapean un estado del sistema a otro, también conocido como actuar sobre la función de onda:
\[\hat{\mathrm{A}} \Psi_{0}=\Psi_{\mathrm{A}} \label{2}\]
Aquí\(\Psi_{0}\) está la función de onda inicial y\(\Psi_{\mathrm{A}}\) se refiere a la función de onda después de la acción del operador\(\hat{\mathrm{A}}\). Mientras que la variable x representa una posición en el espacio físico, el operador\(\hat{x}\) mapea la función de onda del espacio Hilbert al espacio físico. Los operadores también representan una operación matemática sobre la función de onda que influye o la cambia, por ejemplo moviéndose en el tiempo y el espacio. Los operadores pueden ser simplemente multiplicativos, como con el operador\(\hat{x}\), o pueden tomar formas diferenciales o integrales. El gradiente\(\bar{\nabla}\), la divergencia\(\nabla \cdot, \text {and curl} \nabla \times\) son ejemplos de operadores diferenciales, mientras que las transformadas de Fourier y Laplace son operadores integrales.
Al escribir un operador, siempre se entiende que está actuando sobre una ondafunción a la derecha. Por ejemplo, el operador\(\hat{p}_{x}\) dice que se debe diferenciar la función de onda a su derecha con respecto a\(x\) y luego multiplicar el resultado por\(-i \hbar\). El operador\(\hat{x}\) simplemente significa multiplicar la función de onda por x. Dado que los operadores generalmente no viajan, se debe aplicar una serie de operadores en el orden prescrito de derecha a izquierda.
\[\hat{\mathrm{B}} \hat{\mathrm{A}} \Psi_{0}=\hat{\mathrm{B}} \Psi_{A}=\Psi_{\mathrm{B}, \mathrm{A}} \label{3}\]
Una característica especial de los operadores que buscaremos es si los operadores son hermitianos. Un operador hermitiano obedece a la igualdad\(\hat{A}=\hat{A}^{*}\).
De particular interés es el hamiltoniano\(\hat{H}\),, un operador correspondiente a la energía total del sistema. El operador hamiltoniano describe todas las interacciones entre partículas y campos, y con ello determina el estado del sistema. El hamiltoniano es una suma de la energía cinética total y potencial para el sistema de interés\(\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}\), y se obtiene sustituyendo los operadores de posición e impulso por el hamiltoniano clásico. Para una partícula bajo la influencia de un potencial,
\[\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(\hat{r}, t) \label{4}\]
Notación: En los siguientes capítulos, denotaremos operadores con una circunfleja solo cuando estamos tratando de anotar explícitamente su papel como operador, pero por lo demás tomamos la distinción entre variables y operadores para ser entendida.
3. Valores propios y funciones propias
Las propiedades de un sistema descrito mapeando con el operador solo\(\hat{A}\) pueden tomar los valores a que satisfacen una ecuación de valor propio
\[\hat {A \Psi} = a \Psi \label{5}\]
Por ejemplo, si el estado del sistema es\(\Psi (x) = e^{i p x / \hbar}\), el operador de impulso\(\hat {p} _ {x} = - i \hbar ( \partial / \partial x )\) devuelve el valor propio\(p\) (un escalar) multiplicado por la función de onda original. Entonces se dice que\(\Psi (x)\) x es una función propia de\(\hat {p} _ {x}\). Para el hamiltoniano, las soluciones a la ecuación del valor propio
\[\hat {H} \Psi = E \Psi \label{6}\]
producir posibles energías del sistema. El conjunto de todos los vectores propios posibles también se conocen como los autoestados\(\psi_{1}\). La ecuación (6) es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE).
4. Superposición lineal
Los autoestados\(\hat{A}\) forman una base ortonormal completa. En el espacio Hilbert la función de onda se expresa como una combinación lineal de funciones ortonormales,
\[\Psi = \sum _ {i = 0}^{\infty} c _ {i} \psi _ {i} \label{7}\]
donde\(c _ {i}\) están los números complejos. Los vectores propios\(\psi_{1}\) son ortogonales y completos:
\[\int _ {- \infty}^{+ \infty} d \tau \psi _ {i}^{*} \psi _ {j} = \delta _ {i j} \label{8}\]
y
\[\sum _ {i = 0}^{\infty} \left| c _ {i} \right|^{2} = 1 \label{9}\]
La elección de las funciones ortonormales en las que representar el sistema no es única y se conoce como seleccionar un conjunto de bases. El cambio de conjunto de bases es efectivamente una transformación que gira la función de onda en el espacio Hilbert.
5. Valores de Expectativa
El resultado de una medición cuántica no se puede conocer con precisión arbitraria; sin embargo, podemos describir estadísticamente la probabilidad de medir un cierto valor. La medición de un valor asociado al operador se obtiene calculando el valor esperado del operador
\[\langle A\rangle=\int d \tau \Psi^{*} \hat{A} \Psi \label{10}\]
Aquí la integración es sobre el espacio Hilbert. Los paréntesis\(\langle\ldots\rangle\) se refieren a un valor promedio que emergerá de una gran serie de mediciones en sistemas preparados idénticamente. Mientras que\(\langle A\rangle\) es un valor promedio, la varianza en una distribución de valores medidos se puede calcular a partir de\(\Delta A=\left\langle A^{2}\right\rangle-\langle A\rangle^{2}\). Dado que un observable debe ser valorado real, los operadores correspondientes a observables son hermitianos:
\[\int d \tau \Psi^{*} \hat{A} \Psi=\int d \tau \hat{A}^{*} \Psi^{*} \Psi \label{11}\]
Como consecuencia, un operador hermitiano debe tener valores propios reales y funciones propias ortogonales.
6. Conmutadores
Los operadores son asociativos pero no necesariamente conmutativos. Conmutadores determinan si dos operadores conmutan. El conmutador de dos operadores\(\hat{A} \text {and} \hat{B}\) se define como
\[[\hat{A}, \hat{B}]=\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A} \label{12}\]
Si primero hacemos una observación de un valor propio a for\(\hat{A}\), no se puede asegurar que se determine un valor propio b único para un segundo operador\(\hat{B}\). Esto sólo es posible si el sistema es un estado propio de ambos\(\hat{A}\) y\(\hat{B}\). Esto permitiría a uno afirmar eso\(\hat{A} \hat{B} \psi=\hat{B} \hat{A} \psi\) o alternativamente\([\hat{A}, \hat{B}] \psi=0\). Si los operadores viajan, el conmutador es cero\(\hat{A}\) y\(\hat{B}\) tienen funciones propias simultáneas. Si los operadores no viajan, no se puede especificar a y b exactamente, sin embargo, la varianza en sus incertidumbres se puede expresar como\(\Delta A^{2} \Delta B^{2} \geq\left\langle\frac{1}{2}[\hat{A}, \hat{B}]\right\rangle^{2}\). A modo de ejemplo, vemos que\(\hat{p}_{x} \text {and} \hat{p}_{y}\) conmutar, pero\(\hat{x} \text {and} \hat{p}_{x}\) no. Así podemos especificar el momento de una partícula en las coordenadas x e y con precisión, pero no podemos especificar tanto el momento como la posición de una partícula en la dimensión x a resolución arbitraria. Nos encontramos con eso\(\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}\right]=i \hbar\) y\(\Delta x \Delta p_{x} \geq \hbar / 2\).
Tenga en cuenta que para el caso de que el hamiltoniano se pueda escribir como una suma de términos de desplazamiento, como es el caso de un conjunto de coordenadas o momentos independientes o separables, entonces la energía total es aditiva en valores propios para cada término, y las funciones propias totales pueden escribirse como estados de producto en las funciones propias para cada término.
7. Dependencia del Tiempo
La función de onda evoluciona en el tiempo como se describe en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (TDSE):
\[- i \hbar \frac {\partial \Psi} {\partial t} = \hat {H} \Psi \label{13}\]
En el siguiente capítulo, veremos el razonamiento que da como resultado esta ecuación.
8. Lecturas
- P. Atkins y R. Friedman, Mecánica Cuántica Molecular, 4ª ed. (Oxford University Press, Oxford; Nueva York, 2005)
- G. Baym, Conferencias sobre Mecánica Cuántica. (Perseus Book Publishing, L.L.C., Nueva York, 1969)
- C. Cohen-Tannoudji, B. Diu y F. Lalöe, Mecánica Cuántica. (Wiley-Interscience, París, 1977)
- D. J. Griffiths, Introducción a la Mecánica Cuántica, 2a ed. (Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey, 2005)
- E. Merzbacher, Mecánica Cuántica, 3a ed. (Wiley, Nueva York, 1998); A. Mesías, Mecánica Cuántica. (Publicaciones Dover, 1999)
- J. J. Sakurai, Mecánica Cuántica Moderna, Edición Revisada. (Addison-Wesley, Reading, MA, 1994)