2.2: El Método de Separación de Variables
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- Introducción a la técnica de Separación de Variables como método para las ecuaciones de onda resueltas
Resolver la ecuación de onda implica identificar las funciones\(u(x,t)\) que resuelven la ecuación diferencial parcial que representan la amplitud de la onda en cualquier posición\(x\) en cualquier momento\(t\)
\[ \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} \label{2.1.1} \]
Esta ecuación de onda es un tipo de ecuación diferencial parcial (PDE) de segundo orden que involucra dos variables -\(x\) y\(t\). Las PDE difieren de las ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) que involucran funciones de una sola variable. Sin embargo, esta diferencia hace que las PDE sean apreciablemente más difíciles de resolver. De hecho, la gran mayoría de las PDE no pueden resolverse analíticamente y esas clases de PDEs especiales que pueden resolverse analíticamente invariablemente implican convertir la PDE en una o más ODEs y luego resolverlas de manera independiente. Uno de estos enfoques es el método de separación de variables.
La aplicación general del Método de Separación de Variables para una ecuación de onda implica tres pasos:
- Encontramos todas las soluciones de la ecuación de onda con la forma general\[u(x,t)= X(x)T(t) \nonumber \] para alguna función\(X(x)\) que depende\(x\) pero no\(t\) y alguna función\(T(t)\) que depende sólo de\(t\), pero no\(x\). Por supuesto, es demasiado esperar que todas las soluciones de Ecuación\(\ref{2.1.1}\) sean de esta forma, sin embargo, si encontramos un conjunto de soluciones\(\{X_i(x)T_i(t)\}\) ya que la ecuación de onda es una ecuación lineal, también\[u(x,t)=\sum_i c_ iX_i(x)T_i(t) \label{gen1} \] es una solución para cualquier elección de las constantes\(c_i\).
- Imponer restricciones a las soluciones basadas en el conocimiento del sistema. Estas se llaman las condiciones de contorno, que especifican los valores de\(u(x,t)\) en los extremos (“límites”). Esta es una restricción similar a la solución como en los problemas de valor inicial que las condiciones\(x(t_i)\) se especifican en un momento específico\(t_i\). El objetivo es entonces seleccionar las constantes\(c_i\) en la Ecuación\ ref {gen1} para que también se cumplan las condiciones de contorno.
El método de separación de variables es una de las técnicas más utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales parciales y se basa en el supuesto de que la solución de la ecuación es separable, es decir, la solución final puede representarse como un producto de varias funciones, cada una de las cuales es solo dependiente de una sola variable independiente. Si esta suposición es incorrecta, entonces claras violaciones de los principios matemáticos serán obvias a partir del análisis.
Un Muelle Vibrante Fijo Entre Dos Puntos
Como se discute en la Sección 2.1, las soluciones a la cadena de ejemplo\(u(x,t)\) para todos\(x\) y se\(t\) asumiría que es un producto de dos funciones:\(X(x)\) y\(T(t)\), donde\(X(x)\) es una función de solo\(x\), no\(t\) y\(T(t)\) es una función de\(t\), pero no\(x\).
\[u(x,t)= X(x)T(t) \label{2.2.1} \]
Sustituir la ecuación\(\ref{2.2.1}\) en la ecuación de onda unidimensional (Ecuación\(\ref{2.1.1}\)) da
\[ \dfrac{\partial^2 X(x)T(t)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2 X(x)T(t)}{\partial t^2} \label{2.2.2} \]
Dado que no\( X \) es una función de\(t\) y no\(T\) es una función de\(x\), la ecuación\(\ref{2.2.2}\) puede simplificarse
\[ T(t) \dfrac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} X(x) \dfrac{\partial^2T(t)}{\partial t^2} \label{2.2.3} \]
Recopilar las expresiones que\(x\) dependen del lado izquierdo de la ecuación\(\ref{2.2.3}\) y del\(t\) lado derecho da como resultado
\[ \dfrac{1}{X(x)} \dfrac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{1}{T(t)} \dfrac{\partial^2T(t)}{\partial t^2} \label{2.2.3a} \]
\(\ref{2.2.3a}\)La ecuación es una ecuación interesante ya que cada lado se puede establecer en una constante fija\(K\) ya que esa es la única solución que funciona para todos los valores de\(t\) y\(x\). Por lo tanto, la ecuación se puede separar en dos ecuaciones diferenciales ordinarias:
\[ \dfrac{d^2T(t)}{dt^2} - Kv^2 T(t) = 0 \label{2.2.4a} \]
\[\dfrac{d^2X(x)}{dx^2} - K X(x) = 0 \label{2.2.4b} \]
Por lo tanto, al sustituir la nueva forma de solución de producto (Ecuación\ ref {2.2.1}) en la ecuación de onda original (Ecuación\(\ref{2.1.1}\)), convertimos una ecuación diferencial parcial de dos variables (\(x\)y\(t\)) en dos ecuaciones diferenciales ordinarias (ecuación diferencial que contiene un función o funciones de una variable independiente y sus derivadas). Cada ecuación diferencial involucra solo una de las variables independientes (\(x\)o\(t\)).
- Si\(K=0\), entonces la solución es la\(u(x,y,)=0\) solución trivial (es decir, no existe onda).
- Si\(K > 0\), entonces la solución general de Ecuación\(\ref{2.2.4b}\) es\[ X(x) = A e^{\sqrt{K}x} + B e^{-\sqrt{K}x} \label{2.2.5} \]
En esta etapa, Ecuación\(\ref{2.2.5}\) implica que la solución a las dos ecuaciones de onda diferencial ordinarias será un número infinito de ondas sin cuantificación para limitar las que están permitidas (es decir, cualesquiera valores de\(A\) y\(B\) son posibles). El estrechamiento de la solución general a una solución específica se produce al tomar en cuenta las condiciones de contorno.
Las condiciones límite para este problema es que la amplitud de onda sea igual a cero en los extremos de la cuerda
\[u(0,t) = X(x)T(t) = 0 \label{2.2.6a} \]
\[u(L,t) = X(x)T(t) = 0 \label{2.2.6b} \]
para todos los tiempos\(t\).
La aplicación de las dos condiciones de límite en Ecuaciones\(\ref{2.2.6a}\) y\(\ref{2.2.6b}\) en la solución general en Ecuación\(\ref{2.2.5}\) da como resultado relaciones entre\(A\) y\(B\):
\[ X(x=0)= A + B = 0 \label{2.2.7a} \]
y
\[ X(x=L)= A e^{\sqrt{K}L} + B e^{-\sqrt{K}L} = 0 \label{2.2.7b} \]
Una solución a esto es esa\(A = B = 0\), pero esta es la solución trivial de\(K=0\) y una que ignoramos ya que no proporciona ninguna solución física al problema que no sea el conocimiento de eso\(0=0\), que no es tan inspirador de un resultado.
Ambas ecuaciones\(\ref{2.2.4a}\) y\(\ref{2.2.4b}\) pueden generalizarse en las siguientes ecuaciones
\[\dfrac{d^2y(x)}{dx^2} - k^2 y(x) = 0 \label{2.2.8} \]
donde\(k\) es una constante real (es decir, no compleja). La ecuación\(\ref{2.2.8}\) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea. La solución general a este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma
\[ y(x) = e^{\alpha x} \label{2.2.9} \]
donde\(\alpha\) es una constante a determinar por las limitaciones del sistema. Sustituir la ecuación\(\ref{2.2.9}\) en la ecuación\(\ref{2.2.8}\) da como resultado
\[ \left( \alpha^2 - k^2 \right)y(x)=0 \label{2.2.10} \]
Para que esta ecuación sea satisfecha, ya sea
- \(\alpha^2 - k^2 = 0\)o
- \(y(x) = 0\).
El último es la solución trivial y se ignora y por lo tanto
\[\alpha^2 - k^2 = 0 \label{2.2.11} \]
por lo
\[\alpha = \pm k \label{2.2.12} \]
Por lo tanto, hay dos soluciones a la Ecuación general\(\ref{2.2.8}\), como se esperaba para una ecuación diferencial de segundo orden (las ecuaciones diferenciales de primer orden tienen una solución), que son el resultado de sustituir los\(\alpha\) valores de Ecuación\(\ref{2.2.12}\) en Ecuación\(\ref{2.2.9}\)
\[ y(x) = e^{k\, x} \nonumber \]
\[ y(x) = e^{-k\, x} \nonumber \]
La solución general puede ser entonces cualquier combinación lineal de estas dos ecuaciones
\[ y(x) = c_1 e^{k\, x} + c_2 e^{-k\, x} \label{2.2.14} \]
Resolver
\[ y'' + 3y' - 4y = 0 \nonumber \]
Solución
La estrategia es buscar una solución de la forma
\[ y = e^{\alpha t } \nonumber \]
La razón de esto es que hace mucho tiempo algunos genios se dieron cuenta de estas cosas y funcionan. Ahora calcula derivados
\[ y' = \alpha e^{\alpha t } \nonumber \]
\[y'' = \alpha^2e^{\alpha t} \nonumber \]
Sustituir en la ecuación diferencial da
\[ \begin{align*} \alpha ^2e^{\alpha t} + 3(\alpha e^{\alpha t}) - 4(e^{\alpha t}) &= 0 \\[4pt] ( \alpha ^2 + 3\alpha - 4)e^{\alpha t} &= 0 \end{align*} \nonumber \]
Ahora divídalo\(e^{\alpha t}\) para obtener
\[ \begin{align*} \alpha ^2 + 3\alpha - 4 &= 0 \\[4pt] (\alpha - 1)(\alpha + 4) &= 0 \\[4pt] \alpha &= 1 \end{align*} \nonumber \]
y
\[\alpha = -4 \nonumber \]
Podemos concluir que dos soluciones son
\[ y_1 = e^t \nonumber \]
y
\[y_2 = e^{-4t} \nonumber \]
Ahora vamos
\[ L(y) = y'' + 3y' - 4y \nonumber \]
Es fácil verificar que si\( y_1\) y\(y_2\) son soluciones para
\[ L(y) = 0 \nonumber \]
entonces
\[ y= c_1y_1 + c_2y_2 \nonumber \]
también es una solución. Más específicamente podemos concluir que
\[ y = c_1e^t + c_2e^{-4t } \nonumber \]
Representa una familia bidimensional (espacio vectorial) de soluciones. Posteriormente demostraremos que esta es la descripción más general del espacio de solución.
Resolver
\[ y'' - y' - 6y = 0 \nonumber \]
con\(y(0) = 1\) y\(y'(0) = 2 \).
Solución
Como antes buscamos soluciones de la forma
\[ y = e^{rt} \nonumber \]
Ahora calcula derivados
\[ \begin{align*} y' &= re^{rt} \\[4pt] y'' &= r^2e^{rt} \end{align*} \nonumber \]
Sustituir en la ecuación diferencial da
\[ \begin{align*} r^2e^{rt} + (re^{rt}) - 6(e^{rt}) &= 0 \\[4pt] ( r^2 - r - 6 )e^{rt} &= 0 \end{align*} \nonumber \]
Ahora divídalo\(e^{rt}\) para obtener
\[ \begin{align*} r^2 - r - 6 &= 0 \\[4pt] (r - 3)(r + 2) &= 0 \end{align*} \nonumber \]
Podemos concluir que dos soluciones son
\[ y_1 = e^{3t} \nonumber \]
y
\[y_2 = e^{-2t} \nonumber \]
Podemos concluir que
\[ y = c_1e^{3t} + C_2e^{-2t} \nonumber \]
Representa una familia bidimensional (un “espacio vectorial”) de soluciones. Ahora usa las condiciones iniciales para encontrar que
\[ 1 = c_1 + c_2 \nonumber \]
Tenemos eso
\[ y' = 3C_1e^{3t} - 2C_2e^{-2t}\nonumber \]
Tapar en la condición inicial con\(y'\), da
\[ 2 = 3c_1 - 2c_2 \nonumber \]
Se trata de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Podemos usar álgebra lineal para llegar a
\[ c_1 = \dfrac{4}{5}\nonumber \]
y
\[C_2 = \dfrac {1}{5}\nonumber \]
La solución final es
\[ y = \dfrac{4}{5} e^{3t } + \dfrac{1}{5}e^{-2t} \nonumber \]
Cuando\(K > 0\), las soluciones generales de Ecuaciones\(\ref{2.2.4a}\) y\(\ref{2.2.4b}\) son oscilatorias en tiempo y espacio, respectivamente, como se discute en la siguiente sección.
Colaboradores y Atribuciones
- Delmar Larsen (UC Davis)