3.3: Cifras significativas y redondeo

Asegúrese de comprender a fondo las siguientes ideas esenciales que se han presentado anteriormente. Es especialmente importante que conozcas los significados precisos de todos los términos resaltados en el contexto de este tema.

• Dé un ejemplo de una medida cuyo número de dígitos significativos es claramente demasiado grande, y explique por qué.
• Indicar el propósito del redondeo, y describir la información que debe conocerse para hacerlo adecuadamente.
• Redondea un número a un número específico de dígitos significativos.
• Explique cómo redondear un número cuyo segundo dígito más significativo es el 9.
• Realizar un cálculo sencillo que implique dos o más cantidades observadas, y expresar el resultado en el número apropiado de cifras significativas.

Los valores numéricos que tratamos en la ciencia (y en muchos otros aspectos de la vida) representan mediciones cuyos valores nunca se conocen exactamente. Nuestras calculadoras de bolsillo o computadoras no lo saben; tratan los números que les metemos como entidades matemáticas “puras”, con el resultado de que las operaciones de aritmética frecuentemente producen respuestas que son físicamente ridículas aunque matemáticamente correctas. El propósito de esta dependencia es ayudarte a entender por qué sucede esto, y mostrarte qué hacer al respecto.

Dígitos: significativos y de otro tipo

• “La población de nuestra ciudad es de 157 mil 872”.
• “El número de votantes registrados al 1 de enero era de 27,833. ”

Consideremos las dos declaraciones que se muestran anteriormente. ¿Cuál de estos estaría justificado al despedir inmediatamente? Ciertamente no el segundo, porque probablemente proviene de una base de datos que contiene un registro por cada elector, por lo que el número se encuentra simplemente contando el número de registros.

La primera afirmación no puede ser posiblemente correcta. Incluso si la población de una ciudad pudiera definirse de manera precisa (¿Residentes permanentes? ¿Cuerpos cálidos?) , ¿cómo podemos dar cuenta de los cambios minuto a minuto que ocurren a medida que las personas nacen y mueren, o se mueven y se alejan?

¿Cuál es la diferencia entre los dos números de población señalados anteriormente? El primero expresa una cantidad que no se puede conocer exactamente, es decir, lleva consigo cierto grado de incertidumbre. Es muy posible que el último censo arrojara precisamente 157,872 registros, y que ésta pudiera ser la “población de la ciudad” para fines legales, pero seguramente no es la población “verdadera”. Para reflejar mejor este hecho, se podría enumerar a la población (en un atlas, por ejemplo) como 157,900 o incluso 158,000. Estas dos cantidades se han redondeado a cuatro y tres cifras significativas, respectivamente, y las tienen los siguientes significados:

• 1579 00 (los dígitos significativos están subrayados aquí) implica que se cree que la población está dentro del rango de aproximadamente 1578 50 a aproximadamente 1579 50. Es decir, la población es de 1579 00±50. El “más o menos 50” agregado a este número significa que consideramos que la incertidumbre absoluta de la medición poblacional es 50 — (—50) = 100. También podemos decir que la incertidumbre relativa es 100/157900, que también podemos expresar como 1 parte en 1579, o 1/1579 = 0.000633, o alrededor de 0.06 por ciento.
• El valor 158 000 implica que la población es probable entre alrededor de 157 500 y 158 500, o 158 000±500. La incertidumbre absoluta de 1000 se traduce en una incertidumbre relativa de 1000/158000 o 1 parte en 158, o alrededor de 0.6 por ciento.

Cuál de estos dos valores reportaríamos como “la población” dependerá del grado de confianza que tengamos en la cifra original del censo; si el censo se completó la semana pasada, podríamos redondear a cuatro dígitos significativos, pero si fue hace aproximadamente un año, redondear a tres lugares podría ser una opción más prudente. En un caso como este, no existe una manera realmente objetiva de elegir entre las dos alternativas.

Esto ilustra un punto importante: el concepto de dígitos significativos tiene menos que ver con las matemáticas que con nuestra confianza en una medición. Esta confianza a menudo se puede expresar numéricamente (por ejemplo, la altura de un líquido en un tubo de medición puede leerse a ±0.05 cm), pero cuando no puede, como en nuestro ejemplo poblacional, debemos depender de nuestra experiencia y juicio personal.

Entonces, ¿qué es un dígito significativo? Según la definición habitual, son todos los números en una cantidad medida (contando desde la izquierda) cuyos valores se consideran como conocidos exactamente, más uno más cuyo valor podría ser uno más o uno menos:

• En “1579 00” (cuatro dígitos significativos), los tres dígitos más a la izquierda se conocen exactamente, pero el cuarto dígito, “9” bien podría ser “8” si el “valor verdadero” está dentro del rango implícito de 1578 50 a 1579 50.
• En “158 000” (tres dígitos significativos) se conocen exactamente los dos dígitos más a la izquierda, mientras que el tercer dígito podría ser “7” o “8” si el valor verdadero está dentro del rango implícito de 157 500 a 158 500.

Aunque el redondeo siempre conduce a la pérdida de información numérica, lo que nos estamos deshaciendo puede considerarse como “ruido numérico” que no contribuye a la calidad de la medición.

El propósito en redondeo es evitar expresar un valor con mayor precisión de lo que es consistente con la incertidumbre en la medición.

Incertidumbre implícita y error de redondeo

Si sabes que una balanza es precisa dentro de 0.1 mg, digamos, entonces la incertidumbre en cualquier medición de masa realizada en esta balanza será de ±0.1 mg. Supongamos, sin embargo, que simplemente se le dice que un objeto tiene una longitud de 0.42 cm, sin indicación de su precisión. En este caso, todo lo que tienes que seguir es el número de dígitos contenidos en los datos. Así la cantidad “0.42 cm” se especifica a 0.01 unidad en 0 42, o una parte en 42. La incertidumbre relativa implícita en esta cifra es 1/42, o alrededor del 2%. Por lo tanto, la precisión de cualquier respuesta numérica calculada a partir de este valor se limita a aproximadamente la misma cantidad.

Es importante entender que el número de dígitos significativos en un valor proporciona solo una indicación aproximada de su precisión, y que la información se pierde cuando se produce el redondeo.

Supongamos, por ejemplo, que medimos el peso de un objeto como 3.28 g en una balanza que se cree que es precisa dentro de ±0.05 gramo. El valor resultante de 3.28±.05 gram nos dice que el verdadero peso del objeto podría estar entre 3.23 g y 3.33 g. La incertidumbre absoluta aquí es 0.1 g (±0.05 g), y la incertidumbre relativa es de 1 parte en 32.8, o alrededor del 3 por ciento.

¿Cuántos dígitos significativos debe haber en la medición reportada? Dado que sólo el “3” más a la izquierda en “3.28” es seguro, probablemente elegiría redondear el valor a 3.3 g. Hasta ahora, tan bueno. Pero, ¿qué se supone que alguien más debe hacer de esta cifra cuando la vea en su reporte? El valor “3.3 g” sugiere una incertidumbre implícita de 3.3±0.05 g, lo que significa que el valor verdadero es probable entre 3.25 g y 3.35 g. Este rango es 0.02 g por debajo del asociado con la medición original, por lo que el redondeo ha introducido un sesgo de esta cantidad en el resultado. Dado que esto es menos de la mitad de la incertidumbre de ±0.05 g en el pesaje, no es un asunto muy serio en sí mismo. Sin embargo, si en un cálculo se combinan varios valores que fueron redondeados de esta manera, los errores de redondeo podrían llegar a ser significativos.

Las reglas estándar para redondear son bien conocidas. Antes de exponerlos, pongamos de acuerdo sobre cómo llamar a los diversos componentes de un valor numérico.

• El dígito más significativo es el dígito más a la izquierda (sin contar los ceros a la izquierda que funcionan solo como marcadores de posición y nunca son dígitos significativos).
• Si está redondeando a n dígitos significativos, entonces el dígito menos significativo es el dígito n del dígito más significativo.El dígito menos significativo puede ser un cero.
• El primer dígito no significativo es el dígito n +1.

• Si el primer dígito no significativo es menor que 5, entonces el dígito menos significativo permanece sin cambios.
• Si el primer dígito no significativo es mayor que 5, el dígito menos significativo se incrementa en 1.
• Si el primer dígito no significativo es 5, el dígito menos significativo puede incrementarse o dejarse sin cambios (¡vea abajo! )
• Se eliminan todos los dígitos no significativos.

A veces se les dice a los estudiantes que incrementen el dígito menos significativo en 1 si es impar, y que lo dejen sin cambios si es par. ¡Uno se pregunta si esto refleja alguna idea de que los números pares son de alguna manera “mejores” que los impares! (La superstición antigua es todo lo contrario, que sólo los números impares son “afortunados”.)

De hecho, podrías hacerlo igualmente al revés, incrementando solo los números pares. Si solo estás redondeando un solo número, realmente no importa lo que hagas. Sin embargo, cuando se está redondeando una serie de números que se utilizarán en un cálculo, si tratara cada primer 5 no significativo de la misma manera, estaría sobreestimando o subestimando el valor del número redondeado, acumulando así el error de redondeo. Dado que hay números iguales de dígitos pares e impares, incrementar solo el único tipo evitará que se acumule este tipo de error.

¡Podrías hacerlo igual de bien, por supuesto, volteando una moneda!

Tabla: Ejemplos de redondeo

número a redondeo/ no. de dígitos sig.	resultado	comentar
34.216/3	34.2	El primer dígito no significativo (1) es menor que 5, por lo que el número simplemente se trunca.
2.252/2	2.2 o 2.3	El primer dígito no significativo es 5, por lo que menos dígito sig. puede permanecer sin cambios o incrementarse.
39.99/3	40.0	Cruzando “límite decimal”, por lo que todos los números cambian.
85,381/3	85,4 00	Los dos ceros son solo marcadores de posición
0.04597/3	0.0460	Los dos ceros a la izquierda no son dígitos significativos.

Redondeando los nueves

Supongamos que se encuentra que un objeto tiene un peso de 3.98 ± 0.05 g. Esto colocaría su peso verdadero en algún lugar en el rango de 3.93 g a 4.03 g. Al juzgar cómo redondear este número, se cuenta el número de dígitos en “3.98” que se conocen exactamente, ¡y no encuentra ninguno! Dado que el “4” es el dígito más a la izquierda cuyo valor es incierto, esto implicaría que el resultado debería redondearse a una cifra significativa y reportarse simplemente como 4 g. Una alternativa sería doblar la regla y redondear a dos dígitos significativos, rindiendo 4.0 g. ¿Cómo puedes decidir qué hacer?

En un caso como este, se deben observar las incertidumbres implícitas en los dos valores, y compararlas con la incertidumbre asociada a la medición original.

valor redondeado	implícito max	implícito min	incertidumbre absoluta	incertidumbre relativa
3.98 g	3.985 g	3.975 g	±.005 g o 0.01 g	1 en 400, o 0.25%
4 g	4.5 g	3.5 g	±.5 g o 1 g	1 en 4, 25%
4.0 g	4.05 g	3.95 g	±.05 g o 0.1 g	1 en 40, 2.5%

Claramente, redondear a dos dígitos es el único curso razonable en este ejemplo.

El mismo tipo de cosas podría suceder si la medida original fuera de 9.98 ± 0.05 g. Nuevamente, se cree que el valor verdadero está en el rango de 10.03 g a 9.93 g. El hecho de que ningún dígito sea cierto aquí es un artefacto de notación decimal. La incertidumbre absoluta en el valor observado es de 0.1 g, por lo que el valor en sí es conocido por aproximadamente 1 parte en 100, o 1%. Al redondear este valor a tres dígitos se obtienen 10.0 g con una incertidumbre implícita de ±.05 g, o 1 parte en 100, consistente con la incertidumbre en el valor observado.

Los valores observados deben redondearse al número de dígitos que transmita con mayor precisión la incertidumbre en la medición.

• Por lo general, esto significa redondear al número de dígitos significativos en la cantidad; es decir, el número de dígitos (contando desde la izquierda) que se conocen exactamente, más uno más.
• Cuando esto no se puede aplicar (como en el ejemplo anterior cuando la suma de resta de la incertidumbre absoluta une una potencia de diez), entonces redondeamos de tal manera que la incertidumbre relativa implícita en el resultado sea lo más cercana posible a la del valor observado.

Redondeo de los resultados de los cálculos

Al realizar cálculos que involucren múltiples pasos, debes evitar hacer cualquier redondeo hasta obtener el resultado final. En la ciencia, con frecuencia necesitamos realizar cálculos sobre los valores medidos. Por ejemplo, podrías usar tu calculadora de bolsillo para calcular el área de un rectángulo:

Tu calculadora es, por supuesto, correcta en lo que respecta a los números puros, pero te equivocarías al anotar 1.57676 cm ² como respuesta. A continuación se muestran dos opciones posibles para redondear la respuesta de la calculadora:

Valor redondeado	Precisión
1.58	1 parte en 158, o 0.6%
1.6	1 parte en 16, o 6%

Es claro que ninguna de las dos opciones es del todo satisfactoria; redondear a 3 dígitos significativos deja la respuesta especificada con demasiada precisión, mientras que seguir la regla y redondear a 2 dígitos tiene el efecto de tirar algo de precisión. En este caso, podría argumentarse que el redondeo a tres dígitos está justificado porque la incertidumbre relativa implícita en la respuesta, 0.6%, es más consistente con las de los dos factores.

El ejemplo anterior pretende señalar que las reglas de redondeo, aunque convenientes de aplicar, no siempre arrojan el resultado más deseable. En caso de duda, es mejor confiar en incertidumbres implícitas relativas.

Suma y resta

Al sumar o restar, vamos por el número de decimales en lugar de por el número de dígitos significativos. Identifica la cantidad que tiene el menor número de decimales y usa este número para establecer el número de decimales en la respuesta.

Multiplicación y división

El resultado debe contener el mismo número de cifras significativas que en el valor que tenga el menor número de cifras significativas.

Logaritmos y Antilogaritmos

Expresar el logaritmo de base 10 de un valor utilizando el mismo número de cifras significativas que está presente en la forma normalizada de ese valor. De igual manera, para los antilogaritmos (números expresados como potencias de 10), utilizar el mismo número de cifras significativas que están en esa potencia.

¿significa?

Si un número se expresa en la forma a × 10 ^b (“notación científica”) con la restricción adicional de que el coeficiente a no es menor que 1 y menor que 10, el número está en su forma normalizada.

Más ejemplos de redondeo

Los siguientes ejemplos ilustrarán los problemas más comunes que es probable que encuentre al redondear los resultados de los cálculos. ¡Se merecen tu cuidadoso estudio!

resultado de la calculadora	redondeado	observaciones
	1.6	El redondeo a dos cifras significativas arroja una incertidumbre implícita de 1/16 o 6%, tres veces mayor que la del factor menos precisamente conocido. Esta es una buena ilustración de cómo el redondeo puede llevar a la pérdida de información.
	1.9E6	El factor “3.1" se especifica a 1 parte en 31, o 3%. En la respuesta 1.9, el valor se expresa a 1 parte en 19, o 5%. Estas precisiones son comparables, por lo que la regla de redondeo nos ha dado un resultado razonable.
Un cierto libro tiene un grosor de 117 mm; encuentra la altura de una pila de 24 libros idénticos:	281 0 mm	El “24” y el “1” son exactos, por lo que el único valor incierto es el grosor de cada libro, dado a 3 dígitos significativos. El cero final en la respuesta es solo un marcador de posición.
	10.4	Además o resta, busca el término que tiene el menor número de decimales, y redondea la respuesta al mismo número de lugares.
	23 cm	[ver abajo]

El último de los ejemplos mostrados anteriormente representa la operación muy común de convertir una unidad en otra. Aquí hay cierta ambigüedad; si tomamos “9 pulgadas” para significar una distancia en el rango de 8.5 a 9.5 in, entonces la incertidumbre es ±0.5 in, que es 1 parte en 18, o aproximadamente ± 6%. La incertidumbre relativa en la respuesta debe ser la misma, ya que todos los valores se multiplican por el mismo factor, 2.54 cm/in. En este caso estamos justificados por escrito la respuesta a dos dígitos significativos, produciendo una incertidumbre de alrededor de ±4 cm; si hubiéramos usado la respuesta “20 cm” (un dígito significativo), su incertidumbre implícita sería ±5 cm, o ± 25%.

Cuando se cuestiona el número apropiado de dígitos significativos, calcular la incertidumbre relativa puede ayudarte a decidir.