3.2.5: Alimentos- Metabolismo del Azúcar en la Dieta

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Comemos muchos azúcares, y en las próximas secciones exploraremos parte de la química corporal que explica por qué pueden (o no) conducir al aumento de peso, por qué son una buena fuente de energía y por qué los astronautas excretan más agua de la que beben. Como hemos visto, hay muchos azúcares, pero uno de los más comunes es la sacarosa, C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁. Una ecuación química global equilibrada para el metabolismo de la sacarosa nos ayudará a entender las preguntas anteriores, y muchas otras. Una ecuación química equilibrada como

2 C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ (s) + 35 O ₂ (g) → 12 CO ₂ (g) + 11 H ₂ O (l) (1) no solo indica cuántas moléculas de cada tipo están involucradas en una reacción, también indica la cantidad de cada sustancia que esté involucrada. La ecuación (1) dice que 2 C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ moléculas pueden reaccionar con 35 O ₂ moléculas para dar 12 moléculas de CO ₂ y 11 moléculas de H ₂ O. También dice que 2 mol 2C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ reaccionaría con 35 mol O ₂ produciendo 12 mol CO ₂ y 11 mol H ₂ O.

Es decir, la ecuación indica que exactamente 35 mol O ₂ deben reaccionar por cada 2 mol C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ consumidos. A los efectos de calcular cuánto O ₂ se requiere para reaccionar con una cierta cantidad de C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ por lo tanto, la información significativa contenida en la Ec. (1) es la relación

\(\frac{\text{35 mol O}_{\text{2}}}{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}\)Llamaremos a tal relación derivada de una ecuación química balanceada una relación estequiométrica y le daremos el símbolo S. Así, para la Ec. (1),\(\text{S}\left( \frac{\text{O}_{\text{2}}}{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}\right)=\frac{\text{35 mol O}_{\text{2}}}{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}\)

La palabra estequiométrica proviene de las palabras griegas estequión, “elemento “y metron, “medida “. De ahí que la relación estequiométrica mide un elemento (o compuesto) contra otro.

EJEMPLO 1 Derivar todas las relaciones estequiométricas posibles de la ecuación (1)

Solución

Cualquier relación de cantidades de sustancia dada por los coeficientes en la ecuación puede ser utilizada, por lo que además de (2) anterior, tenemos:

\(\text{S}\left( \frac{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{O}_{\text{2}}}\right)=\frac{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{35 mol O}_{\text{2}}}\)

\(\text{S}\left( \frac{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{CO}_{\text{2}}}\right)=\frac{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{12 mol CO}_{\text{2}}}=\frac{\text{1 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{6 mol CO}_{\text{2}}}\)

\(\text{S}\left( \frac{\text{CO}_{\text{2}}}{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}\right)=\frac{\text{12 mol CO}_{\text{2}}}{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}\)

\(\text{S}\left( \frac{\text{CO}_{2}}{\text{H}_{\text{2}}\text{O}} \right)=\frac{\text{12 mol CO}_{2}}{\text{11 mol H}_{\text{2}}\text{O}}\)

\(\text{S}\left( \frac{\text{CO}_{2}}{\text{O}_{\text{2}}} \right)=\frac{\text{12 mol CO}_{2}}{\text{35 mol O}_{\text{2}}}\)\(\text{S}\left( \frac{\text{O}_{\text{2}}}{\text{H}_{\text{2}}\text{O}} \right)=\frac{\text{35 mol O}_{\text{2}}}{\text{11 mol H}_{\text{2}}\text{O}}\)

\(\text{S}\left( \frac{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{H}_{\text{2}}\text{O}} \right)=\frac{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{11 mol H}_{\text{2}}\text{O}}\)

Hay seis relaciones estequiométricas más, cada una de las cuales es la recíproca de una de ellas. [Eq. (2) da uno de ellos.]

Cuando ocurre alguna reacción química, las cantidades de sustancias consumidas o producidas están relacionadas por las proporciones estequiométricas apropiadas. Usando la Ec. (1) como ejemplo, esto significa que la relación de la cantidad de O ₂ consumida a la cantidad de NH ₃ consumida debe ser la relación estequiométrica S (O ₂ /NH ₃):\(\frac{n_{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}\text{ consumed}}}{n_{\text{O}_{\text{2}}\text{ consumed}}}=\text{S}\left( \frac{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{O}_{\text{2}}}\right)=\frac{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}{\text{35 mol O}_{\text{2}}}\) De igual manera, la relación de la cantidad de H ₂ O producida a la cantidad de NH ₃ consumidos deben ser

S (H ₂ O/C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁):

\(\frac{n_{\text{H}_{\text{2}}\text{O produced}}}{n_{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}\text{ consumed}}} = \text{S}\left( \frac{\text{H}_{\text{2}}\text{O}}{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}} \right) =\frac{\text{11 mol H}_{\text{2}}\text{O}}{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}\)En general podemos decir eso\(\text{Stoichiometric ratio }\left( \frac{\text{X}}{\text{Y}} \right)=\frac{\text{amount of X consumed or produced}}{\text{amount of Y consumed or produced}}\text{ (3}\text{a)}\) o, en símbolos,\(\text{S}\left( \frac{\text{X}}{\text{Y}} \right)=\frac{n_{\text{X consumed or produced}}}{n_{\text{Y consumed or produced}}}\text{ (3}\text{b)}\)

Nótese que en la palabra Ec. (3a) y la ecuación simbólica (3b), X e Y pueden representar cualquier reactivo o cualquier producto en la ecuación química equilibrada de la que se derivó la relación estequiométrica. No importa la cantidad de cada reactivo que tengamos, las cantidades de reactivos consumidos y las cantidades de productos producidos estarán en proporciones estequiométricas apropiadas.

EJEMPLO 2 Encuentra la cantidad de agua producida cuando se consume 1 taza (aproximadamente 8 oz o 240 g) C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ de acuerdo con la Ec. (1).

Solución

La cantidad de agua producida debe estar en la relación estequiométrica S (H ₂ O/C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁) a la cantidad de azúcar consumida, y la cantidad es n = M/m = 240 g /342.3 g mol ^-1 = .70 mol.

\(\frac{n_{\text{H}_{\text{2}}\text{O produced}}}{n_{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}\text{ consumed}}} = \text{S}\left( \frac{\text{H}_{\text{2}}\text{O}}{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}} \right) =\frac{\text{11 mol H}_{\text{2}}\text{O}}{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}\)Multiplicando ambos lados por n _{C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ consumidos, tenemos _{\(n_{\text{H}_{\text{2}}\text{O produced}}=n_{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}\text{ consumed}}\times \text{S}\left( \frac{\text{H}_{\text{2}}\text{O}}{\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}} \right)=\text{0.70 mol}\text{C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}\times \frac{\text{11 mol H}_{\text{2}}\text{O}}{\text{2 mol C}_{\text{12}}\text{H}_{\text{22}}\text{O}_{\text{11}}}=\text{3}\text{.85 mol H}_{\text{2}}\text{O}\)}}

Este cálculo muestra por qué un astronauta lanza alrededor de 2 L de H ₂ por día, ¡pero excreta alrededor de 2.4 L de H ₂ por día! Piénsalo y comprueba tu respuesta ^[1]

Esta es una ilustración típica del uso de una relación estequiométrica como factor de conversión. El Ejemplo 2 es análogo a los Ejemplos 1 y 2 de Factores y Funciones de Conversión, donde se empleó densidad como factor de conversión entre masa y volumen. El Ejemplo 2 también es análogo a los Ejemplos 2.4 y 2.6, en los que se utilizaron como factores de conversión la constante de Avogadro y la masa molar. Al igual que en estos casos anteriores, no hay necesidad de memorizar o hacer manipulaciones algebraicas con la Ec. (3) cuando se utiliza la relación estequiométrica. Simplemente recuerde que los coeficientes en una ecuación química equilibrada dan proporciones estequiométricas, y que la elección adecuada da como resultado la cancelación de unidades. En forma de hoja de ruta

_{\ (\ text {cantidad de X consumida o producida}\ overset {\ begin {smallmatrix}
\ text {estequiométrico}\
\ text {ratio X/Y}
\ end {smallmatrix}} {\ longleftrightarrow}\ text {cantidad de Y consumida o producida}\)} o simbólicamente. _{&nbnbsp;\(n_{\text{X consumed or produced}}\text{ }\overset{S\text{(X/Y)}}{\longleftrightarrow}\text{ }n_{\text{Y consumed or produced}}\)}

Al usar relaciones estequiométricas, asegúrese de indicar siempre moles de qué. Sólo se pueden cancelar moles de la misma sustancia. Es decir, 1 mol C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ cancela 1 mol C ₁₂ H ₂₂ O ₁₁ pero no cancela 1 mol H ₂ O.

El siguiente ejemplo muestra que las relaciones estequiométricas también son útiles en problemas que involucran la masa de un reactivo o producto.

EJEMPLO 3 Se estima que cada humano exhala aproximadamente 1 kg (2.2 lb) ^[2] ^[3] de dióxido de carbono por día. Si eso vino completamente de la glucosa, qué masa de glucosa debe metabolizarse de acuerdo con la ecuación:

_{C ₆ H ₁₂ O ₆ + 6 O ₂ → 6 CO ₂ + 6 H ₂ O}

Solución

El problema pide que calculemos la masa de C ₆ H ₁₂ O ₆ consumida. Como aprendimos en el Ejemplo 2 de La masa molar, la masa molar se puede utilizar para convertir de la cantidad de CO ₂ a la masa de CO ₂. Entonces podemos calcular la cantidad de C _{6 H ₁₂ O ₆} consumida a partir de la cantidad de CO ₂ producida con una relación estequiométrica, al igual que en el Ejemplo 2. Finalmente, podemos convertir la cantidad de glucosa a su masa usando la masa molar como factor de conversión. Requiere la relación estequiométrica.

\(\text{S}\left( \frac{\text{C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}{\text{CO}_{\text{2}}} \right)=\frac{\text{1 mol C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}{\text{6 mol CO}_{\text{2}}}\)

La cantidad de CO ₂ producida es n = M/m = 1000 g/44 g mol ^-1 = 22.7 mol

La cantidad de C ₆ H ₁₂ O ₆ consumida es entonces

_{\(n_{\text{C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}= n_{\text{CO}_{\text{2}}\text{ produced}}\text{ }\!\!\times\!\!\text{ conversion factor}=\text{n mol CO}_{\text{2}}\times \frac{\text{1 mol C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}{\text{6 mol CO}_{\text{2}}}\)}

_{= 22.7 mol CO ₂\(\times \frac{\text{1 mol C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}{\text{6 mol CO}_{\text{2}}}\) = 3.79 mol}

La masa de C ₆ H ₁₂ O ₆ es

_{\(\text{m}_{\text{C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}=\text{3.79 mol C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}\times \frac{\text{180 g C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}{\text{1 mol C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}=\text{682 g C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}\)}

Por cálculos similares, podríamos demostrar que para producir 6 moles de dióxido de carbono, se necesita la misma cantidad de oxígeno (22.7 mol) y se producirá la misma cantidad (22.7 mol) de agua. Eso es 22.7 mol x 32 g/mol = 726 g de oxígeno consumido y 22.7 mol x 18 g/mol = 409 g de agua producida. Los reactivos pesan 682 + 726 = 1408 g y los productos pesan lo mismo (dentro del error), 1000 + 409 = 1409 g.

Notamos dos cosas: Primero, se eliminan ambos productos (CO ₂ en el aliento, agua en la orina, entonces, ¿cómo aumentamos de peso? Sólo el azúcar que no se metaboliza entra en el aumento de peso, y pronto veremos cómo calcular eso.

Segundo, esto representa .409 kg del total de 2.4 L de agua excretada al día. Es una estimación aproximada de la parte que resulta del metabolismo (no del agua ingerida).

Con la práctica este tipo de problema se puede resolver en un solo paso concentrándose en las unidades. La relación estequiométrica apropiada convertirá moles de CO ₂ en cantidad (en moles) de C ₆ H ₁₂ O ₆ y la masa molar convertirá la cantidad de C ₆ H ₁₂ O ₆ en masa (en gramos) de SO ₂. Un mapa de ruta esquemático para el cálculo de un solo paso se puede escribir como

_{\(n_{\text{CO}_{\text{2}}}\text{ }\xrightarrow{S\text{(C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}\text{/O}_{\text{2}}\text{)}}\text{ }n_{\text{C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}\text{ }\xrightarrow{M_{\text{C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}}\text{ }m_{\text{C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}\)}Así, _{\(\text{m}_{\text{C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}=\text{x}\text{xx mol CO}_{\text{2}}\times \text{ }\frac{\text{1 mol C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}{\text{11 mol O}_{\text{2}}}\text{ }\times \text{ }\frac{\text{64}\text{.06 g}}{\text{1 mol C}_{\text{6}}\text{H}_{\text{12}}\text{O}_{\text{6}}}=\text{179 g}\)}la reacción química en este ejemplo es de interés ambiental. Si cada persona en la Tierra exhala 1000 g de CO ₂ /día, y hay 6.7 mil millones de personas, esto representa 6.7 x 10 ¹² (6.7 cuadrillones) g o 6.2 Tg (teragramas) del gas de efecto invernadero CO ₂. ¿Cómo se compara esto con la cantidad producida por la quema de combustibles en su efecto sobre la atmósfera? En 2000, la quema de combustibles fósiles liberó 7 x 10 ⁹ toneladas de dióxido de carbono ^[4]. Eso es 7 x 10 ⁹ toneladas x 907 kg/tonelada x 1000 g/kg o 6.3 x 10 ¹⁵. Nuestra respiración aporta alrededor de 0.1%. La masa de dióxido de carbono atmosférico proviene de cálculos como los siguientes:

EJEMPLO 4 ¿Qué masa de oxígeno y dióxido de carbono se consumiría cuando se queman 3.3 × 10 ¹⁵ g, 3.3 Pg (petagramas), de octano (C ₈ H ₁₈) para producir CO ₂ y H ₂ O?

Solución

Primero, escribe una ecuación equilibrada

_{2C ₈ H ₁₈ + 25O ₂ → 16CO ₂ + 18H ₂ O} El problema da la masa de C ₈ H ₁₈ quemada y pide la masa de O ₂ requerida para combinar con ella. Pensando el problema antes de intentar resolverlo, nos damos cuenta de que la masa molar de octano podría usarse para calcular la cantidad de octano consumido. Entonces necesitamos una relación estequiométrica para obtener la cantidad de O ₂ consumida. Finalmente, la masa molar de O ₂ permite el cálculo de la masa de O ₂. Simbólicamente

_{\(m_{\text{C}_{\text{8}}\text{H}_{\text{18}}}\text{ }\xrightarrow{M_{\text{C}_{\text{8}}\text{H}_{\text{18}}}}\text{ }n_{\text{C}_{\text{8}}\text{H}_{\text{18}}}\text{ }\xrightarrow{S\text{(SO}_{\text{2}}\text{/C}_{\text{8}}\text{H}_{\text{18}}\text{)}}\text{ }n_{\text{O}_{\text{2}}}\xrightarrow{M_{\text{O}_{\text{2}}}}\text{ }m_{\text{O}_{\text{2}}}\)}

_{\(m_{\text{O}_{\text{2}}}=\text{3}\text{.3 }\times \text{ 10}^{\text{15}}\text{ g }\times \text{ }\frac{\text{1 mol C}_{\text{8}}\text{H}_{\text{18}}}{\text{114 g}}\text{ }\times \text{ }\frac{\text{25 mol O}_{\text{2}}}{\text{2 mol C}_{\text{8}}\text{H}_{\text{18}}}\text{ }\times \text{ }\frac{\text{32}\text{.00 g}}{\text{1 mol O}_{\text{2}}}=\text{1}\text{.2 }\times \text{ 10}^{\text{16}}\text{ g }\)}Así se necesitarían 12 Pg (petagramas) de O ₂. Por un cálculo similar, vemos que la cantidad de dióxido de carbono sería 16/2 = 8 veces la cantidad de octano consumido, o 2.3 x 10 ¹⁴ mol, que, multiplicado por la masa molar 44 g/mol, es 1 x 10 ¹⁶ g o 10 Pg. La gran masa de oxígeno obtenida en este ejemplo es una estimación de cuánto O ₂ se elimina de la atmósfera terrestre cada año por las actividades humanas. El octano, un componente de la gasolina, fue elegido para representar carbón, gas y otros combustibles fósiles. Afortunadamente, la masa total de oxígeno en el aire (1.2 × 10 ²¹ g) es mucho mayor que el consumo anual. Si fuéramos a seguir quemando combustible al ritmo actual, tardaríamos unos 100 000 años en agotar todo el O ₂. ¡En realidad vamos a consumir los combustibles fósiles mucho antes de eso! Una de las menos preocupaciones ambientales es quedarse sin oxígeno atmosférico.

Referencias

Algunos de los 0.4 L adicionales están presentes como humedad en los alimentos, pero una gran cantidad se produce por el metabolismo, donde es producto de una reacción química como la del Ejemplo 2
Harte, J. “Considerar una vaca esférica, un curso de resolución de problemas ambientales”, Libros de Ciencias Universitarias, Sausalito, CA 1998, p. 263
Campbell, J.A. J. Chem. Educ. 49, 181 (1972)
www.worldwatch.org/node/1811