1.2: PDE

En lugar de dar una definición matemática estricta, veamos un ejemplo de una PDE, la ecuación de calor en 1 dimensión espacial

\[\dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{k} \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t}. \label{eq:I:heat} \]

Se trata de una PDE ya que están involucrados derivados parciales.

Revisar

Para recordarle lo que eso significa:\(\dfrac{\partial}{\partial x}{u(x,t)}\) denota la diferenciación de\(u(x,t)\) w.r.t.\(x\) mantenerse\(t\) fijo,

\[\dfrac{\partial}{\partial x} (x^2t+xt^2) = 2xt+t^2. \nonumber \]

• Ecuación\ ref {EQ:I:Heat} llamada lineal since\(u\) y sus derivadas aparecen linealmente, es decir, una vez por término. No\(u\) se permiten funciones de. Términos como\(u^2\),\(\sin(u)\),\(u\dfrac{\partial}{\partial x}{u}\), etc., rompen esta regla, y conducen a ecuaciones no lineales. Estos son interesantes e importantes por derecho propio, pero fuera del alcance de este curso.
• La ecuación\ ref {EQ:I:Heat} también es homogénea (lo que solo significa que cada término involucra a cualquiera\(u\) o a una de sus derivadas, no hay término que no contenga\(u\)). La ecuación\[\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{u(x,t)} = \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{u(x,t)}+\sin(x) \nonumber \] se denomina no homogénea, debido al\(\sin(x)\) término de la derecha, es decir, independiente de\(u\).

Linealidad

¿Por qué es tan importante todo eso? Una ecuación lineal homogénea permite la superposición de soluciones. Si\(u_1\) y\(u_2\) son ambas soluciones a la ecuación del calor,

\[\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{u_1(x,t)} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{u_1(x,t)}= \dfrac{\partial}{\partial t}{u_2(x,t)} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{u_2(x,t)}=0, \label{eq:I:heatsol} \]

cualquier combinación es también una solución,

\[\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{[a u_1(x,t)+bu_2(x,t)]} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{[au_1(x,t)+b u_2(x,t)]}=0. \nonumber \]

Para una ecuación lineal no homogénea esto se modifica algo. \(v\)Sea cualquier solución a la ecuación del calor con una\(\sin(x)\) inhomogeneidad,

\[\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{v(x,t)} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{v(x,t)}=\sin(x). \nonumber \]

En ese caso\(v+au_1\), con\(u_1\) una solución a la ecuación homogénea, ver Ecuación\ ref {EQ:I:HeatSol}, también es una solución,

\[\begin{aligned} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{[v(x,t)+a u_1(x,t)]} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{[v(x,t)+a u_1(x,t)]}&=&\nonumber\\ \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{v(x,t)} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial x}{v(x,t)} +a \left(\dfrac{\partial}{\partial x}{u_1(x,t)} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{u_1(x,t)}\right)&=& \sin(x).\end{aligned} \nonumber \]

Finalmente nos gustaría definir el orden de una PDE como la potencia en la derivada más alta, incluso es una derivada mixta (w.r.t. más de una variable).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál de estas ecuaciones es lineal? y ¿cuál es homogéneo?

1. \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x^2 \dfrac{\partial u}{\partial y} = x^2 + y^2\)
2. \(y^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+u\dfrac{\partial u}{\partial x} + x^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\)
3. \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0\)

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TBA

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿Cuál es el orden de las siguientes ecuaciones?

1. \(\dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\)
2. \(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2\dfrac{\partial^4 u}{\partial^3 x \partial y} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}= 0\)

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TBA