4.1: Serie Taylor

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Una serie que has encontrado antes es la serie de Taylor,

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}, \label{eq:IV:taylor} \]

donde\(f^{(n)}(x)\) es el\(n\) th derivado de\(f\). Un ejemplo es la serie Taylor del coseno alrededor\(x=0\) (es decir,\(a=0\)),

\[\begin{aligned} &&\qquad&\cos(0) &= 1,\nonumber\\ \cos'(x) &= -\sin(x),&&\cos'(0)&=0,\nonumber\\ \cos^{(2)}(x) &= -\cos(x),&&\cos^{(2)}(0)&=-1,\\ \cos^{(3)}(x) &= \sin(x),&&\cos^{(3)}(0)&=0,\nonumber\\ \cos^{(4)}(x) &= \cos(x),&&\cos^{(4)}(0)&=1.\end{aligned} \nonumber \]

Observe que después de cuatro pasos estamos de vuelta donde empezamos. Así hemos encontrado (usando\(m=2n\) in (\(\PageIndex{1}\))))

\[\cos x = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m}, \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que\[\sin x = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}. \nonumber \]

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