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1.5: Decimales

  • Page ID
    51730
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Decimales redondos
    • Sumar y restar decimales
    • Multiplicar y dividir decimales
    • Convertir decimales, fracciones y porcentajes
    • Simplifica expresiones con raíces cuadradas
    • Identificar números enteros, números racionales, números irracionales y números reales
    • Localizar fracciones y decimales en la línea numérica

    Una introducción más completa a los temas tratados en esta sección se puede encontrar en el capítulo de Álgebra Elemental , Fundaciones.

    Decimales Redondos

    Los decimales son otra forma de escribir fracciones cuyos denominadores son poderes de diez.

    \[\begin{array}{rcll} 0.1 & = & \dfrac{1}{10} & \text{is “one tenth”} \\ 0.01 & = & \dfrac{1}{100} & \text{is “one hundredth”} \\ 0.001 & = & \dfrac{1}{1000} & \text{is “one thousandth”} \\ 0.0001 & = & \dfrac{1}{10,000} & \text{is “one ten-thousandth”} \end{array}\]

    Al igual que en números enteros, cada dígito de un decimal corresponde al valor posicional basado en las potencias de diez. Lafigura muestra los nombres de los valores de lugar a la izquierda y derecha del punto decimal.

    Figura 1.

    Cuando trabajamos con decimales, a menudo es necesario redondear el número al valor posicional requerido más cercano. Aquí resumimos los pasos para redondear un decimal.

    DECIMALES REDONDOS.
    1. Localice el valor de lugar dado y márquelo con una flecha.
    2. Subraya el dígito a la derecha del valor posicional.
    3. ¿El dígito subrayado es mayor o igual a 5?
      • Sí: agregar 1 al dígito en el valor de lugar dado.
      • No: no cambiar el dígito en el valor de lugar dado
    4. Reescribe el número, borrando todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo.
    EJEMPL \(\PageIndex{1}\)

    \(18.379\) Redondea al número entero ⓐ centésima ⓑ décima ⓒ más cercana.

    Contestar

    Redonda \(18.379.\)

    ⓐ a la centésima más cercana

    Localiza el lugar centésimas con una flecha.
    Subraya el dígito a la derecha del valor de lugar dado.
    Debido a que 9 es mayor o igual a 5, suma 1 a la 7.
    Reescribe el número, borrando todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo.
    Observe que los dígitos eliminados NO fueron reemplazados por ceros.

    ⓑ a la décima más cercana

    Localice las décimas del lugar con una flecha.
    Subraya el dígito a la derecha del valor de lugar dado.
    Debido a que 7 es mayor o igual a 5, suma 1 al 3.
    Reescribe el número, borrando todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo.
    Observe que los dígitos eliminados NO fueron reemplazados por ceros.

    ⓒ al número entero más cercano

    Localice los lugares con una flecha.
    Subraya el dígito a la derecha del valor de lugar dado.
    Dado que 3 no es mayor o igual a 5, no agregue 1 al 8.
    Reescribe el número, borrando todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo.
     
    EJEMPL \(\PageIndex{2}\)

    \(6.582\) Redondea al número entero ⓐ centésima ⓑ décima ⓒ más cercana.

    Contestar

    \(6.58\)\(6.6\)\(7\)

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    \(15.2175\) Redondea al más cercano ⓐ milésima ⓑ centésima ⓒ décima.

    Contestar

    \(15.218\)\(15.22\)

    \(15.2\)

    Sumar y restar decimales

    Para sumar o restar decimales, alineamos los puntos decimales. Al alinear los puntos decimales de esta manera, podemos sumar o restar los valores de lugar correspondientes. Después sumamos o restamos los números como si fueran números enteros y luego colocamos el punto decimal en la suma.

    AGREGAR O RESTAR DECIMALES.
    1. Determinar el signo de la suma o diferencia.
    2. Escribe los números para que los decimales se alineen verticalmente.
    3. Utilice ceros como marcadores de posición, según sea necesario.
    4. Suma o resta los números como si fueran números enteros. Después coloca el punto
      decimal en la respuesta debajo de los puntos decimales en los números dados.
    5. Escriba la suma o diferencia con el signo apropiado.
    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Sumar o restar: ⓐ \(−23.5−41.38\)\(14.65−20.\)

    Contestar

    \(\begin{array}{ll} \text{} & −23.5−41.38 \\ \\ \\ {\text{The difference will be negative. To subtract, we add the} \\ \text{numerals. Write the numbers so the decimal points line} \\ \text{up vertically.}} & { \; \; 23.5 \\ \underline{+41.38}} \\ \\ \\ { \text{Put 0 as a placeholder after the 5 in 23.5.} \\ \text{Remember, } \frac{5}{10}=\frac{50}{100} \text{ so } 0.5=0.50.} & { \; \; 23.50 \\ \underline{+41.38}} \\ \\ \\ {\text{Add the numbers as if they were whole numbers.} \\ \text{Then place the decimal point in the sum.}} & {\; \; 23.50 \\ \underline{+41.38} \\ \; \; 64.88 } \\ \\ \\ \text{ Write the result with the correct sign.} & 64.88−23.5−41.38=−64.88 \end{array}\)

    \(\begin{array}{ll} \text{} & 14.65−20 \\ \\ \\ {\text{The difference will be negative. To subtract, we} \\ \text{subtract 14.65 from 20.}} \\ \\ \\ {\text{Write the numbers so the decimal points line up} \\ \text{vertically.}} & { \; \; 20 \\ \underline{−14.65}} \\ \\ \\ {\text{Remember, 20 is a whole number, so place the} \\ \text{decimal point after the 0.}} \\ \\ \\ \text{Put in zeros to the right as placeholders.} & { \; \; 20.00 \\ \underline{−14.65}} \\ \\ \\ \text{Subtract and place the decimal point in the answer.} & {\begin{array}{lcccc} {} & 9 & {} & 9 & {} \\ 1 & \cancel{10} & {} & \cancel{10} & 10 \\ 2 & 0 & . & 0 & 0 \\ −1 & 4 & . & 6 & 5 \end{array} \\ \text{______________________} \\ \begin{array}{lcccc} {\; \; \; \; \; \; \; \; \; } & 5 & . & 3 & 5 \end{array}} \\ \\ \\ \text{Write the result with the correct sign.} & 14.65−20=−5.35 \end{array} \)

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Sumar o restar: ⓐ \(−4.8−11.69\)\(9.58−10\).

    Contestar

    \(−16.49\)\(−0.42\)

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Sumar o restar: ⓐ \(−5.123−18.47\)\(37.42−50\).

    Contestar

    \(−23.593\)\(−12.58\)

    Multiplicar y dividir decimales

    Cuando multiplicamos decimales firmados, primero determinamos el signo del producto y luego multiplicamos como si los números fueran ambos positivos. Multiplicamos los números ignorando temporalmente el punto decimal y luego contamos el número de puntos decimales en los factores y esa suma nos indica el número de decimales en el producto. Por último, escribimos el producto con el signo correspondiente.

    Multiplicar decimales.
    1. Determinar el signo del producto.
    2. Escribe en formato vertical, alineando los números a la derecha. Multiplica los números como si fueran números enteros, ignorando temporalmente los puntos decimales.
    3. Coloque el punto decimal. El número de decimales en el producto es la suma
      del número de decimales en los factores.
    4. Escribe el producto con el letrero correspondiente.

    Multiplicar: \((−3.9)(4.075)\).

    Contestar
      \((−3.9)(4.075)\)
    Los signos son diferentes. El producto
    será negativo.
    El producto será negativo.
    Escribe en formato vertical, alineando los
    números a la derecha.
    Multiplicar.

    Sumar el número de decimales en
    los factores (1 + 3). Coloque el punto decimal a 4 lugares de la derecha.
    Los signos son los diferentes, por lo que el producto es negativo. \((−3.9)(4.075)=−15.8925\)

    Multiplicar: \(−4.5(6.107)\).

    Contestar

    \(−27.4815\)

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Multiplicar: \(−10.79(8.12)\).

    Contestar

    \(−87.6148\)

    A menudo, sobre todo en las ciencias, multiplicarás decimales por potencias de 10 (10, 100, 1000, etc). Si multiplicas unos pocos productos en papel, es posible que notes un patrón que relaciona el número de ceros en la potencia de 10 a número de decimales movemos el punto decimal a la derecha para obtener el producto.

    MULTIPLICA UN DECIMAL POR UNA POTENCIA DE
    1. Mueva el punto decimal a la derecha el mismo número de lugares que el
      número de ceros en la potencia de 10.
    2. Agrega ceros al final del número según sea necesario.
    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Multiplica: 5.63 por ⓐ 10 ⓑ 100 ⓒ 1000.

    Contestar

    Al mirar el número de ceros en el múltiplo de diez, vemos el número de lugares que necesitamos para mover el decimal a la derecha.

     
    Hay 1 cero en 10, así que mueve el punto decimal 1 lugar a la derecha.
     

     
    Hay 2 ceros en 100, así que mueve el punto decimal 2 lugares a la derecha.
     

     
    Hay 3 ceros en 1,000, así que mueve el punto decimal 3 lugar a la derecha.
    Se debe agregar un cero al final.
    Ejemplo \(\PageIndex{11}\)

    Multiplica 2.58 por ⓐ 10 ⓑ 100 ⓒ 1000.

    Contestar

    ⓐ 25.8 ⓑ 258 ⓒ 2,580

    Ejemplo \(\PageIndex{12}\)

    Multiplica 14.2 por ⓐ 10 ⓑ 100 ⓒ 1000.

    Contestar

    ⓐ 142 ⓑ 1,420 ⓒ 14,200

    Al igual que con la multiplicación, la división de decimales firmados es muy parecida a dividir números enteros. Sólo tenemos que averiguar dónde debe colocarse el punto decimal y el signo del cociente. Al dividir decimales firmados, primero determina el signo del cociente y luego divide como si los números fueran ambos positivos. Por último, escribir el cociente con el signo apropiado.

    Revisamos la notación y el vocabulario para la división:

    Escribiremos los pasos a seguir al dividir decimales para facilitar la referencia.

    DIVIDA DECIMALES.
    1. Determinar el signo del cociente.
    2. Haz que el divisor sea un número entero “moviendo” el punto decimal todo el camino hacia la derecha. “Mover” el punto decimal en el dividendo el mismo número de lugares, agregando ceros según sea necesario.
    3. Dividir. Coloque el punto decimal en el cociente por encima del punto decimal en el dividendo.
    4. Escriba el cociente con el signo correspondiente.
    Ejemplo \(\PageIndex{13}\)

    Dividir: \(−25.65÷(−0.06)\).

    Contestar

    Recuerda, puedes “mover” los decimales en el divisor y dividendo debido a la Propiedad de Fracciones Equivalentes.

     
    Los signos son los mismos. El cociente es positivo.
    Haz que el divisor sea un número entero “moviendo” el punto decimal todo el camino hacia la derecha.  
    “Mover” el punto decimal en el dividendo el mismo número de lugares.
    Dividir. Coloque el punto decimal en el cociente por encima del punto decimal en el dividendo.
    Escriba el cociente con el signo correspondiente.
    Ejemplo \(\PageIndex{14}\)

    Dividir: \(−23.492÷(−0.04)\).

    Contestar

    \(587.3\)

    Ejemplo \(\PageIndex{15}\)

    Dividir: \(−4.11÷(−0.12)\).

    Contestar

    \(34.25\)

    Convertir decimales, fracciones y porcentajes

    En nuestro trabajo, muchas veces es necesario cambiar la forma de un número. Es posible que tengamos que cambiar fracciones a decimales o decimales a porcentaje.

    Convertimos decimales en fracciones mediante la identificación del valor posicional del último dígito (más a la derecha). En el decimal 0.03. el 3 está en el lugar centésimas, por lo que 100 es el denominador de la fracción equivalente a 0.03.

    \[0.03=\dfrac{3}{100}\]

    Los pasos a seguir para convertir un decimal a una fracción se resumen en la casilla de procedimiento.

    CONVERTIR UN DECIMAL EN FRACCIÓN ADECUADA Y UNA FRACCIÓN A
    1. Para convertir un decimal a una fracción propia, determine el valor posicional del dígito final.
    2. Escribe la fracción.
      • numerador: los “números” a la derecha del punto decimal
      • denominador—el valor posicional correspondiente al dígito final
    3. Para convertir una fracción a decimal, divida el numerador de la fracción por el denominador de la fracción.
    Ejemplo \(\PageIndex{16}\)

    Escribe: ⓐ \(0.374\) como fracción ⓑ \(−\frac{5}{8}\) como decimal.

    Contestar

     
    Determinar el valor posicional del dígito final.
    Escriba la fracción para 0.374: El numerador es 374. El denominador es 1,000.
    Simplifica la fracción.
    Divide los factores comunes.
     

    ⓑ Dado que una barra de fracción significa división, comenzamos por escribir la fracción \(\frac{5}{8}\) como \(8\sqrt{5}\). Ahora divida.

    Ejemplo \(\PageIndex{17}\)

    Escribe: ⓐ \(0.234\) como fracción ⓑ \(−\frac{7}{8}\) como decimal.

    Contestar

    \(\frac{117}{500}\)\(−0.875\)

    Ejemplo \(\PageIndex{18}\)

    Escribe: ⓐ \(0.024\) como fracción ⓑ \(−\frac{3}{8}\) como decimal.

    Contestar

    \(\frac{3}{125}\)\(−0.375\)

    Un por ciento es una relación cuyo denominador es 100. Por ciento significa por cien. Usamos el símbolo de porcentaje,%, para mostrar el porcentaje. Dado que un porcentaje es una proporción, puede expresarse fácilmente como una fracción. Por ciento significa por 100, por lo que el denominador de la fracción es 100. Después cambiamos la fracción a un decimal dividiendo el numerador por el denominador. Después de hacer esto muchas veces, es posible que veas el patrón.

    Para convertir un número por ciento a un número decimal, movemos el punto decimal dos lugares a la izquierda.

    Para convertir un decimal a un por ciento, recuerda que por ciento significa por cien. Si cambiamos el decimal por una fracción cuyo denominador es 100, es fácil cambiar esa fracción a un por ciento. Después de muchas conversiones, es posible que reconozcas el patrón.

    Para convertir un decimal a un por ciento, movemos el punto decimal dos lugares a la derecha y luego agregamos el signo de porcentaje.

    CONVERTIR UN PORCIENTO EN UN DECIMAL Y UN DECIMAL A
    1. Para convertir un porcentaje a decimal, mueva el punto decimal dos lugares a la izquierda después de quitar el signo de porcentaje.
    2. Para convertir un decimal a un porcentaje, mueva el punto decimal dos lugares a la derecha y luego agregue el signo de porcentaje.
    Ejemplo \(\PageIndex{19}\)

    Convertir cada uno:

    ⓐ por ciento a decimal: 62%, 135% y 13.7%.

    ⓑ decimal a un porcentaje: 0.51, 1.25 y 0.093.

    Contestar

     
    Mueva el punto decimal dos lugares a la izquierda.

     
    Mueva el punto decimal dos lugares a la derecha.
    Ejemplo \(\PageIndex{20}\)

    Convertir cada uno:

    ⓐ por ciento a decimal: 9%, 87% y 3.9%.

    ⓑ decimal a un porcentaje: 0.17, 1.75 y 0.0825.

    Contestar

    ⓐ 0.09, 0.87, 0.039 ⓑ 17%, 175%, 8.25%

    Ejemplo \(\PageIndex{21}\)

    Convertir cada uno:

    ⓐ por ciento a decimal: 3%, 91% y 8.3%.

    ⓑ decimal a un porcentaje: 0.41, 2.25 y 0.0925.

    Contestar

    ⓐ 0.03, 0.91, 0.083 ⓑ 41%, 225%, 9.25%

    Simplifique expresiones con raíces cuadradas

    Recuerda que cuando un número \(n\) se multiplica por sí mismo, lo escribimos \(n^2\) y lo leemos “\(n\) al cuadrado”. El resultado se llama el cuadrado de un número n . Por ejemplo, \(\frac{8}{2}\) se lee “8 al cuadrado” y 64 se llama el cuadrado de 8. De igual manera, 121 es la plaza de 11 porque \(11^2\) es 121. Será útil aprender a reconocer los números cuadrados perfectos.

    CUADRADO DE UN NÚ

    Si \(n^2=m\), entonces m es el cuadrado de n .

    ¿Qué pasa con los cuadrados de números negativos? Sabemos que cuando los signos de dos números son iguales, su producto es positivo. Por lo que el cuadrado de cualquier número negativo también es positivo.

    \[(−3)^2=9 \; \; \; \; \; \; \; \; \; (−8)^2=64 \; \; \; \; \; \; \; \; \; (−11)^2=121 \; \; \; \; \; \; \; \; \; (−15)^2=225\]

    Porque \(10^2=100\), decimos 100 es la plaza de 10. También decimos que 10 es una raíz cuadrada de 100. Un número cuyo cuadrado es m se llama raíz cuadrada de un número m .

    Raíz cuadrada de un número

    Si \(n^2=m\), entonces n es una raíz cuadrada de m .

    Observe \((−10)^2=100\) también, por lo que −10 es también una raíz cuadrada de 100. Por lo tanto, tanto 10 como −10 son raíces cuadradas de 100. Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. El signo radical, \(\sqrt{m}\), denota la raíz cuadrada positiva. La raíz cuadrada positiva se llama raíz cuadrada principal. Cuando usamos el signo radical que siempre significa queremos la raíz cuadrada principal.

    NOTACIÓN DE RAÍZ

    \(\sqrt{m}\) se lee “la raíz cuadrada de mm.”

    Si \(m=n^2\), entonces \(\sqrt{m}=n\), para \(n≥0\).

    La raíz cuadrada de m, \(\sqrt{m}\), es el número positivo cuyo cuadrado es m.

    Sabemos que cada número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Nosotros escribimos \(\sqrt{100}=10\). Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo frente al signo radical. Por ejemplo, \(−\sqrt{100}=−10\). Leemos \(−\sqrt{100}\) como “lo opuesto a la raíz cuadrada principal de 10”.

    Ejercicio \(\PageIndex{22}\)

    Simplificar: ⓐ \(\sqrt{25}\)\(\sqrt{121}\)\(−\sqrt{144}\).

    Contestar

    \(\begin{array}{ll} \text{} & \sqrt{25} \\ \text{Since }5^2=25 & 5 \end{array}\)

    \(\begin{array}{ll} \text{} & \sqrt{121} \\ \text{Since }11^2=121 & 11 \end{array}\)

    \(\begin{array}{ll} {} & −\sqrt{144} \\ \text{The negative is in front of} & −12 \\ \text{the radical sign.} \end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{23}\)

    Simplificar: ⓐ \(\sqrt{36}\)\(\sqrt{169}\)\(−\sqrt{225}\)

    Contestar

    ⓐ 6 ⓑ 13 ⓒ −15

    Ejercicio \(\PageIndex{24}\)

    Simplificar: ⓐ \(\sqrt{16}\)\(\sqrt{196}\)\(−\sqrt{100}\)

    Contestar

    ⓐ 4 ⓑ 14 ⓒ −10

    Identificar números enteros, números racionales, números irracionales y números reales

    Ya hemos descrito los números como número de conteos, número enteros, y enteros. ¿Cuál es la diferencia entre este tipo de números? La diferencia podría confundirse con la resta. ¿Qué tal si nos preguntamos cómo distinguimos entre estos tipos de números?

    \[\begin{array}{ll} \text{Counting numbers} & 1,2,3,4,….. \\ \text{Whole numbers} & 0,1,2,3,4,…. \\ \text{Integers} & ….−3,−2,−1,0,1,2,3,…. \end{array}\]

    ¿Qué tipo de números obtendríamos si empezamos con todos los enteros y luego incluimos todas las fracciones? Los números que tendríamos forman el conjunto de números racionales. Un número racional es un número que se puede escribir como una relación de dos enteros.

    En general, cualquier decimal que termine después de un número de dígitos (como 7.3 o −1.2684) es un número racional. Podemos usar el valor posicional del último dígito como denominador al escribir el decimal como fracción. El decimal para \(\frac{1}{3}\) es el número \(0.\overline{3}\). La barra sobre el 3 indica que el número 3 se repite infinitamente. Continuamente tiene un significado importante en el cálculo. El número (s) debajo de la barra se llama bloque repetidor y se repite continuamente.

    Dado que todos los enteros se pueden escribir como una fracción cuyo denominador es 1, los enteros (y así también el conteo y los números enteros.

    Cada número racional se puede escribir tanto como una relación de enteros \(\frac{p}{q}\), donde p y q son enteros y \(q≠0\), y como un decimal que se detiene o se repite.

    NUMERO RACIONAL

    Un número racional es un número de la forma \(\frac{p}{q}\), donde p y q son enteros y \(q≠0\).

    Su forma decimal se detiene o se repite.

    ¿Hay decimales que no se detengan ni repitan? ¡Sí! El número ππ (la letra griega pi, pronunciada “pie”), que es muy importante para describir los círculos, tiene una forma decimal que no se detiene ni se repite. Utilizamos tres puntos (...) para indicar que el decimal no se detiene ni repite.

    \[π=3.141592654...\]

    La raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto es un decimal que no se detiene ni se repite.

    Un número cuya forma decimal no se detiene ni se repite no se puede escribir como una fracción de enteros. Llamamos a esto un número irracional.

    NÚMERO IRRACIONAL

    Un número irracional es un número que no se puede escribir como la relación de dos enteros.

    Su forma decimal no se detiene y no se repite.

    Vamos a resumir un método que podemos utilizar para determinar si un número es racional o irracional.

    RACIONAL O IRRACIONAL

    Si la forma decimal de un número

    • se repite o se detiene, el número es un número racional.
    • no se repite y no se detiene, el número es un número irracional.

    Hemos visto que todos los números de conteo son números enteros, todos los números enteros son enteros, y todos los enteros son números racionales. Los números irracionales son números cuya forma decimal no se detiene y no se repite. Cuando armamos los números racionales y los números irracionales, obtenemos el conjunto de números realess.

    NUMERO REAL

    Un número real es un número que es racional o irracional.

    Posteriormente en este curso introduciremos números más allá de los números reales. La figura ilustra cómo encajan los conjuntos de números que hemos utilizado hasta ahora.

    Figura 2. Este gráfico muestra los conjuntos numéricos que componen el conjunto de números reales.

    ¿Te parece extraño el término “números reales”? ¿Hay algún número que no sea “real” y, de ser así, cuáles podrían ser? ¿Podemos simplificar \(−\sqrt{25}\)? ¿Hay un número cuya plaza sea \(−25\)?

    \[()^2=−25?\]

    Ninguno de los números que hemos tratado hasta ahora tiene un cuadrado que sí \(−25\). ¿Por qué? Cualquier número positivo al cuadrado es positivo. Cualquier número negativo al cuadrado es positivo. Entonces decimos que no hay un número real igual a \(\sqrt{−25}\). La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

    Ejercicio \(\PageIndex{25}\)

    Dados los números \(−7,\frac{14}{5},8,\sqrt{5},5.9,−\sqrt{64}\), enumere los ⓐ números enteros ⓑ enteros ⓒ números racionales ⓓ números irracionales ⓔ números reales.

    Contestar

    ⓐ Recuerda, los números enteros son \(0,1,2,3,…,\) así que 8 es el único número entero dado.

    ⓑ Los enteros son los números enteros y sus opuestos (que incluye 0). Así que el número entero 8 es un entero, y −7 es lo contrario de un número entero por lo que es un entero, también. También, nótese que 64 es la plaza de 8 así \(−\sqrt{64}=−8\). Entonces los enteros son \(−7,8,\) y \(−\sqrt{64}\).

    ⓒ Dado que todos los enteros son racionales, entonces \(−7,8,\) y \(−\sqrt{64}\) son racionales. Los números racionales también incluyen fracciones y decimales que se repiten o se detienen, por lo que \(\frac{14}{5}\) y \(5.9\) son racionales. Entonces la lista de números racionales es \(−7,\frac{14}{5},8,5.9,\) y \(−\sqrt{64}\).

    ⓓ Recuerda que 5 no es un cuadrado perfecto, también lo \(\sqrt{5}\) es irracional.

    ⓔ Todos los números listados son números reales.

    Ejercicio \(\PageIndex{26}\)

    Dada la \(−3,−\sqrt{2},0.\overline{3},\frac{9}{5},4,\sqrt{49},\) lista de números los ⓐ números enteros ⓑ enteros ⓒ números racionales

    ⓓ números irracionales ⓔ números reales.

    Contestar

    \(4,\sqrt{49}\)\(−3,4,\sqrt{49}\)

    \(−3,0.\overline{3},\frac{9}{5},4,\sqrt{49}\)\(−\sqrt{2}\)

    \(−3,−\sqrt{2},0.\overline{3},\frac{9}{5},4,\sqrt{49}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{27}\)

    Números dados \(−\sqrt{25},−\frac{3}{8},−1,6,\sqrt{121},2.041975...,\) enumeran los ⓐ números enteros ⓑ enteros ⓒ números racionales ⓓ números irracionales ⓔ números reales.

    Contestar

    \(6,\sqrt{121}\)

    \(−\sqrt{25},−1,6,\sqrt{121}\)

    \(−\sqrt{25},−\frac{3}{8},−1,6,\sqrt{121}\)

    \(2.041975...\)

    \(−\sqrt{25},−\frac{3}{8},−1,6,\sqrt{121},2.041975...\)

    Localizar fracciones y decimales en la línea numérica

    Ahora queremos incluir fracciones y decimales en la línea numérica. Comencemos con fracciones y localicemos \(\frac{1}{5},−\frac{4}{5},3,\frac{7}{4},−\frac{9}{2},−5\) y \(\frac{8}{3}\) en la línea numérica.

    Empezaremos con los números enteros 3 y −5 porque son los más fáciles de trazar. Ver Figura.

    Las fracciones propias listadas son \(\frac{1}{5}\) y \(−\frac{4}{5}.\) Sabemos que la fracción adecuada \(\frac{1}{5}\) tiene valor menor a uno y por lo tanto se ubicaría entre 0 y 1. El denominador es 5, por lo que dividimos la unidad de 0 a 1 en 5 partes iguales \(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\). Nosotros trazamos \(\frac{1}{5}\).

    Del mismo modo, \(−\frac{4}{5}\) está entre 0 y −1. Después de dividir la unidad en 5 partes iguales trazamos \(−\frac{4}{5}\).

    Por último, fíjate en las fracciones impropias \(\frac{7}{4},\frac{9}{2},\frac{8}{3}\). Localizar estos puntos puede ser más fácil si cambia cada uno de ellos a un número mixto.

    \[\dfrac{7}{4}=1\dfrac{3}{4} \; \; \; \; \; \; \; \; \; −\dfrac{9}{2}=−4\dfrac{1}{2} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3}\]

    La figura muestra la línea numérica con todos los puntos trazados.

    Ejercicio \(\PageIndex{28}\)

    Localice y etiquete lo siguiente en una línea numérica: \(4,\frac{3}{4},−\frac{1}{4},−3,\frac{6}{5},−\frac{5}{2},\) y \(\frac{7}{3}\).

    Contestar

    Localizar y trazar los enteros, \(4,−3.\)

    Localice \(\frac{3}{4}\) primero la fracción adecuada. La fracción \(\frac{3}{4}\) está entre 0 y 1. Dividimos la distancia entre 0 y 1 en cuatro partes iguales, luego trazamos \(\frac{3}{4}\). Del mismo modo parcela \(−\frac{1}{4}\).

    Ahora localice las fracciones impropias \(\frac{6}{5},−\frac{5}{2},\) y \(\frac{7}{3}\). Es más fácil trazarlos si los convertimos a números mixtos y luego trazarlos como se describió anteriormente: \(\frac{6}{5}=1\frac{1}{5},−\frac{5}{2}=−2\frac{1}{2},\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\).

    Ejercicio \(\PageIndex{29}\)

    Localice y etiquete lo siguiente en una línea numérica: \(−1,\frac{1}{3},\frac{6}{5},−\frac{7}{4},\frac{9}{2},5,−\frac{8}{3}\).

    Contestar

    Ejercicio \(\PageIndex{30}\)

    Localice y etiquete lo siguiente en una línea numérica: \(−2,\frac{2}{3},\frac{7}{5},−\frac{7}{4},\frac{7}{2},3,−\frac{7}{3}\).

    Contestar

    Ejercicio \(\PageIndex{31}\)

    Dado que los decimales son formas de fracciones, ubicar decimales en la línea numérica es similar a ubicar fracciones en la línea numérica.

    Ubique en la línea numérica: ⓐ 0.4 ⓑ −0.74.

    Contestar

    ⓐ El número decimal 0.4 es equivalente a \(\frac{4}{10}\), una fracción propia, por lo que 0.4 se ubica entre 0 y 1. En una línea numérica, divida el intervalo entre 0 y 1 en 10 partes iguales. Ahora etiquete las partes 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0. Escribimos 0 como 0.0 y 1 como 1.0, de modo que los números sean consistentemente en décimas. Por último, marque 0.4 en la línea numérica.

    ⓑ El decimal \(−0.74\) es equivalente a \(−\frac{74}{100}\), por lo que se encuentra entre 0 y .−1. En una línea numérica, marque y etiquete las centésimas en el intervalo entre 0 y −1.

    Ejercicio \(\PageIndex{32}\)

    Localizar en la línea numérica: ⓐ \(0.6\)\(−0.25.\)

    Contestar

    Ejercicio \(\PageIndex{33}\)

    Localice en la línea numérica: ⓐ 0.90.9 ⓑ −0.75.−0.75.

    Contestar

    Acceda a este recurso en línea para instrucción adicional y práctica con decimales.

    • Conceptos básicos aritméticos: dividir decimales

    Conceptos Clave

    • Cómo redondear decimales.
      1. Localice el valor de lugar dado y márquelo con una flecha.
      2. Subraya el dígito a la derecha del valor posicional.
      3. ¿El dígito subrayado es mayor o igual a 5?
        • Sí: agregar 1 al dígito en el valor de lugar dado.
        • No: no cambiar el dígito en el valor de lugar dado
      4. Reescribe el número, borrando todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo.
    • Cómo sumar o restar decimales.
      1. Determinar el signo de la suma o diferencia.
      2. Escribe los números para que los decimales se alineen verticalmente.
      3. Utilice ceros como marcadores de posición, según sea necesario.
      4. Suma o resta los números como si fueran números enteros. Después coloca el punto decimal en la respuesta debajo de los puntos decimales en los números dados.
      5. Escriba la suma o diferencia con el signo apropiado
    • Cómo multiplicar decimales.
      1. Determinar el signo del producto.
      2. Escribe en formato vertical, alineando los números a la derecha. Multiplica los números como si fueran números enteros, ignorando temporalmente los puntos decimales.
      3. Coloque el punto decimal. El número de decimales en el producto es la suma del número de decimales en los factores.
      4. Escribe el producto con el letrero correspondiente.
    • Cómo multiplicar un decimal por una potencia de diez.
      1. Mueva el punto decimal a la derecha el mismo número de lugares que el número de ceros en la potencia de 10.
      2. Agrega ceros al final del número según sea necesario.
    • Cómo dividir decimales.
      1. Determinar el signo del cociente.
      2. Haz que el divisor sea un número entero “moviendo” el punto decimal todo el camino hacia la derecha. “Mover” el punto decimal en el dividendo el mismo número de lugares, agregando ceros según sea necesario.
      3. Dividir. Coloque el punto decimal en el cociente por encima del punto decimal en el dividendo.
      4. Escriba el cociente con el signo correspondiente.
    • Cómo convertir un decimal a una fracción propia y una fracción a decimal.
      1. Para convertir un decimal a una fracción propia, determine el valor posicional del dígito final.
      2. Escribe la fracción.
        • numerador: los “números” a la derecha del punto decimal
        • denominador—el valor posicional correspondiente al dígito final
      3. Para convertir una fracción a decimal, divida el numerador de la fracción por el denominador de la fracción.
    • Cómo convertir un por ciento a decimal y un decimal a un por ciento.
      1. Para convertir un porcentaje a decimal, mueva el punto decimal dos lugares a la izquierda después de quitar el signo de porcentaje.
      2. Para convertir un decimal a un porcentaje, mueva el punto decimal dos lugares a la derecha y luego agregue el signo de porcentaje.
    • La notación de raíz cuadrada \(\sqrt{m}\) se lee “la raíz cuadrada de m .” Si \(m=n^2\), entonces \(\sqrt{m}=n\), para \(n≥0\). La raíz cuadrada de m, \(\sqrt{m}\), es el número positivo cuyo cuadrado es m.
    • Racional o irracional Si la forma decimal de un número
      • se repite o se detiene, el número es un número racional.
      • no se repite y no se detiene, el número es un número irracional.
    • Números reales
      Figura 4.

    Glosario

    número irracional
    Un número irracional es un número que no se puede escribir como la relación de dos enteros. Su forma decimal no se detiene y no se repite.
    por ciento
    Un por ciento es una relación cuyo denominador es 100.
    raíz cuadrada principal
    La raíz cuadrada positiva se llama raíz cuadrada principal.
    número racional
    Un número racional es un número de la forma \(\frac{p}{q}\), donde p y q son enteros y \(q≠0\). Su forma decimal se detiene o se repite.
    número real
    Un número real es un número que es racional o irracional.
    cuadrado de un número
    Si \(n^2=m\), entonces m es el cuadrado de n .
    raíz cuadrada de un número
    Si \(n^2=m\), entonces n es una raíz cuadrada de m .

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