1.4: Fracciones

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, usted podrá:

• Simplificar fracciones
• Multiplicar y dividir fracciones
• Sumar y restar fracciones
• Utilizar el orden de las operaciones para simplificar fracciones
• Evaluar expresiones variables con fracciones

Una introducción más completa a los temas tratados en esta sección se puede encontrar en el capítulo de Álgebra Elemental , Fundaciones.

Simplificar fracciones

Una fracción es una forma de representar partes de un todo. La fracción $\frac{2}{3}$ representa dos de tres partes iguales (Figura $\PageIndex{1}$). En la fracción $\frac{2}{3}$, el 2 se llama numerador y el 3 se llama denominador . A la línea se le llama barra de fracción.

Figura $\PageIndex{1}$: En el círculo, $\frac{2}{3}$ del círculo está sombreado—2 de las 3 partes iguales.

FRACCIÓN

Se escribe una fracción $\dfrac{a}{b}$, donde $b\neq 0$ y

$a$ es el numerador y $b$ es el denominador .

Una fracción representa partes de un todo. El denominador $b$ es el número de partes iguales en las que se ha dividido el conjunto, y el numerador $a$ indica cuántas partes se incluyen.

Las fracciones que tienen el mismo valor son fracciones equivalentes. Las fracciones equivalentes

La propiedad nos permite encontrar fracciones equivalentes y también simplificar fracciones.

Si $a$, $b$, y $c$ son números donde $b\neq 0,c\neq 0$,

entonces $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a·c}{b·c}$ y $\dfrac{a·c}{b·c}=\dfrac{a}{b}.$

Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, distintos de 1, en su numerador y denominador.

Por ejemplo,

$\dfrac{2}{3}$ se simplifica porque no hay factores comunes de $2$ y $3$.

$\dfrac{10}{15}$ no se simplifica porque $5$ es un factor común de $10$ y $15$.

Simplificamos, o reducimos, una fracción eliminando los factores comunes del numerador y denominador. Una fracción no se simplifica hasta que se hayan eliminado todos los factores comunes. Si una expresión tiene fracciones, no se simplifica completamente hasta que se simplifican las fracciones.

En ocasiones puede no ser fácil encontrar factores comunes del numerador y denominador. Cuando esto sucede, una buena idea es factorizar el numerador y el denominador en números primos. Luego divida los factores comunes usando la Propiedad de Fracciones Equivalentes.

Simplificar $\dfrac{−315}{770}$.

Contestar

Simplificar $−\dfrac{69}{120}$.

Contestar

$−\dfrac{23}{40}$

EJEMPL $\PageIndex{3}$

Simplificar $−\dfrac{120}{192}$.

Responder

$−\dfrac{5}{8}$

Ahora resumimos los pasos que debes seguir para simplificar fracciones.

SILIFICA UNA FRACCIÓN

1. Reescribir el numerador y el denominador para mostrar los factores comunes.
   Si es necesario, factoriza primero el numerador y el denominador en números primos.
2. Simplifique el uso de la Propiedad de Fracciones Equivalentes dividiendo factores comunes.
3. Multiplique los factores restantes.

Multiplicar y dividir fracciones

A muchas personas les resulta más fácil multiplicar y dividir fracciones que sumar y restar fracciones.

Para multiplicar fracciones, multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores.

MULTIPLICACION DE

Si $a$, $b$, $c$, y $d$ son números donde $b≠0$, y $d≠0$, entonces

$$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$

Para multiplicar fracciones, multiplique los numeradores y multiplique los denominadores.

Al multiplicar fracciones, siguen aplicándose las propiedades de los números positivos y negativos, por supuesto. Es una buena idea determinar el signo del producto como primer paso. En Ejemplo, multiplicaremos negativo y uno positivo, por lo que el producto será negativo.

Al multiplicar una fracción por un entero, puede ser útil escribir el entero como una fracción. Cualquier entero, a, se puede escribir como $\dfrac{a}{1}$. Entonces, por ejemplo, $3=\dfrac{3}{1}$.

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Multiplicar: $−\dfrac{12}{5}(−20x).$

Responder

El primer paso es encontrar el signo del producto. Dado que los signos son los mismos, el producto es positivo.

Determinar el signo del producto. Los signos son los mismos, por lo que el producto es positivo.
Escribir 20x como fracción.
Multiplicar.
Reescribe 20 para mostrar el factor común 5 y dividirlo.
Simplificar.

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Multiplicar: $\dfrac{1}{13}(−9a)$.

Responder

$−33a$

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Multiplicar: $\dfrac{13}{7}(−14b)$.

Responder

$−26b$

Ahora que sabemos multiplicar fracciones, estamos casi listos para dividir. Antes de poder hacer eso, necesitamos algo de vocabulario. El recíproco de una fracción se encuentra al invertir la fracción, colocando el numerador en el denominador y el denominador en el numerador. El recíproco de $\frac{2}{3}$ es $\frac{3}{2}$. Dado que 4 está escrito en forma de fracción como $\frac{4}{1}$, el recíproco de 4 es $\frac{1}{4}$.

Para dividir fracciones, multiplicamos la primera fracción por la recíproca de la segunda.

División de Fracción

Si $a$, $b$, $c$, y $d$ son números donde $b≠0$,$c≠0$, y $d≠0$, entonces

$$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}⋅\frac{d}{c}$$

Para dividir fracciones, multiplicamos la primera fracción por la recíproca de la segunda.

¡Tenemos que decir $b≠0$, $c≠0$, y $d≠0$, para estar seguros no dividimos por cero!

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Encuentra el cociente: $−\dfrac{7}{18}÷(−\dfrac{14}{27}).$

Responder

	$−\dfrac{7}{18}÷(−\dfrac{14}{27})$
Para dividir, multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda.
Determina el signo del producto, y luego multiplica.
Reescritura mostrando factores comunes.
Eliminar factores comunes.
Simplificar.

Dividir: $−\dfrac{7}{27}÷(−\dfrac{35}{36})$.

Responder

$\dfrac{4}{15}$

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Dividir: $−\dfrac{5}{14}÷(−\dfrac{15}{28}).$

Responder

$\dfrac{2}{3}$

Los numeradores o denominadores de algunas fracciones contienen fracciones en sí mismas. Una fracción en la que el numerador o el denominador es una fracción se denomina fracción compleja.

Definición: FRACCIÓN COMPLETA

Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción.

Algunosejemplos de fracciones complejas son:

$$\dfrac{\frac{6}{7}}{3} \quad \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} \quad \dfrac{\frac{x}{2}}{ \frac{5}{6}}$$

Para simplificar una fracción compleja, recuerde que la barra de fracción significa división. Por ejemplo, la fracción compleja $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$ significa $\dfrac{3}{4}÷\frac{5}{8}.$

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Simplificar: $\dfrac{\dfrac{x}{2}}{ \dfrac{xy}{6}}$.

Responder

$\begin{array}{lc} \text{} & \dfrac{\dfrac{x}{2}}{ \dfrac{xy}{6}} \\[6pt] \text{Rewrite as division.} & \dfrac{x}{2}÷\dfrac{xy}{6} \\[6pt] \text{Multiply the first fraction by the reciprocal of the second.} & \dfrac{x}{2}·\dfrac{6}{xy} \\[6pt] \text{Multiply.} & \dfrac{x·6}{2·xy} \\[6pt] \text{Look for common factors.} & \dfrac{ \cancel{x}·3·\cancel{2}}{\cancel{2}·\cancel{x}·y} \\[6pt] \text{Divide common factors and simplify.} & \dfrac{3}{y} \end{array}$

Simplificar: $\dfrac{\dfrac{a}{8}}{ \dfrac{ab}{6}}$.

Responder

$\dfrac{3}{4b}$

Simplificar: $\dfrac{\dfrac{p}{2}}{ \dfrac{pq}{8}}$.

Responder

$\dfrac{4}{q}$

Sumar y restar fracciones

Cuando multiplicamos fracciones, simplemente multiplicamos los numeradores y multiplicamos los denominadores directamente a través. Para sumar o restar fracciones, deben tener un denominador común.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Si $a$, $b$, y $c$ son números donde $c≠0$, entonces

$$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \text{ and } \dfrac{a}{c}−\dfrac{b}{c}=\dfrac{a−b}{c}$$

Para sumar o restar fracciones, sumar o restar los numeradores y colocar el resultado sobre el denominador común.

El mínimo denominador común (LCD) de dos fracciones es el número más pequeño que se puede utilizar como denominador común de las fracciones. El LCD de las dos fracciones es el múltiplo menos común (MCM) de sus denominadores.

MENOS COMUNES DENOM

El mínimo común denominador (LCD) de dos fracciones es el múltiplo menos común (MCM) de sus denominadores.

Después de encontrar el mínimo común denominador de dos fracciones, convertimos las fracciones a fracciones equivalentes con el LCD. Poner estos pasos juntos nos permite sumar y restar fracciones porque sus denominadores serán los mismos!

EJEMPLO $\PageIndex{13}$: Cómo sumar o restar fracciones

Añadir: $\dfrac{7}{12}+\dfrac{5}{18}$.

Responder

EJEMPL $\PageIndex{14}$

Añadir: $\dfrac{7}{12}+\dfrac{11}{15}$.

Responder

$\dfrac{79}{60}$

EJEMPL $\PageIndex{15}$

Añadir: $\dfrac{13}{15}+\dfrac{17}{20}$.

Responder

$\dfrac{103}{60}$

AGREGAR O RESTAR FRACCIONES.

1. ¿Tienen un denominador común?
   • Sí—ve al paso 2.
   • No: reescriba cada fracción con la pantalla LCD (mínimo común denominador).
     • Encuentra la pantalla LCD.
     • Cambie cada fracción en una fracción equivalente con el LCD como denominador.
2. Sumar o restar las fracciones.
3. Simplificar, si es posible.

Ahora tenemos las cuatro operaciones para fracciones. Enla tabla se resumen las operaciones de fracciones.

Multiplicación de fracciones	División de fracciones
$\dfrac{a}{b}⋅\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$	$\dfrac{a}{b}÷\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}⋅\dfrac{d}{c}$
Multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores	Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda.
Adición de fracciones	Resta de fracciones
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$	$\dfrac{a}{c}−\dfrac{b}{c}=\dfrac{a−b}{c}$
Agregue los numeradores y coloque la suma sobre el denominador común.	Resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común.
Para multiplicar o dividir fracciones, NO se necesita un LCD. Para sumar o restar fracciones, se necesita un LCD.

Al iniciar un ejercicio, siempre identifique la operación y luego recuerde los métodos necesarios para esa operación.

Simplificar: ⓐ $\dfrac{5x}{6}−\dfrac{3}{10}$ ⓑ $\dfrac{5x}{6}·\dfrac{3}{10}$.

Responder

Primero pregunta: “¿Cuál es la operación?” Identificar la operación determinará si necesitamos o no un denominador común. Recuerden, necesitamos un denominador común para sumar o restar, pero no multiplicar o dividir.

ⓐ

\ (\ begin {array} {lc}\ text {¿Cuál es la operación? La operación es resta.}\\ [6pt]\ text {¿Tienen las fracciones un denominador común? No.} &\ dfrac {5x} {6} −\ dfrac {3} {10}\\ [6pt]\ text {Encuentra la pantalla LCD de} 6\ text {y} 10 &\ text {El LCD es 30.}\\ [6pt] {\ begin {align*} 6 & =2·3\\ [6pt]
\;\;\ subrayado {\;\;\; 10\;\;\;\;} &\ subrayado {=2·5\;\;\;\;}\;\;\;\ [6pt]
\ texto {LCD} & =2·3·5\\ [6 pt]
\ text {LCD} & =30\ end {align*}}\\ [6pt]\\\\
\ text {Reescribe cada fracción como fracción equivalente con la pantalla LCD.} &\ dfrac {5x·5} {6·5} −\ dfrac {3·3} {10·3}\\ [6pt]
\ text {} &\ dfrac {25x} {30} −\ dfrac {9} {30}\\ [6pt]
\ text {Resta los numeradores y coloca el}\\ [6pt]
\ texto común {diferencia sobre la denominadores.} &\ dfrac {25x−9} {30}\\ [6pt]\\\
\ text {Simplificar, si es posible.No hay factores comunes.}\\ [6pt]
\ text {Se simplifica la fracción.} \ end {array}\)

ⓑ

$\begin{array}{lc} \text{What is the operation? Multiplication.} & \dfrac{25x}{6}·\dfrac{3}{10} \\ \text{To multiply fractions,multiply the numerators} \\ \text{and multiply the denominators.} & \dfrac{25x·3}{6·10} \\ \text{Rewrite, showing common factors.} \\ \text{Remove common factors.} & \dfrac{\cancel{5} x · \cancel{3}}{2·\cancel{3}·2·\cancel{5}} \\ \text{Simplify.} & \dfrac{x}{4} \end{array}$

Aviso, necesitábamos un LCD para agregar $\dfrac{25x}{6}−\dfrac{3}{10}$, pero no para multiplicar $\dfrac{25x}{6}⋅\dfrac{3}{10}$.

EJEMPL $\PageIndex{17}$

Simplificar: ⓐ $\dfrac{3a}{4}−\dfrac{8}{9}$ ⓑ $\dfrac{3a}{4}·\dfrac{8}{9}$.

Responder

ⓐ $\dfrac{27a−32}{36}$ ⓑ $\dfrac{2a}{3}$

EJEMPL $\PageIndex{18}$

Simplificar: ⓐ$\dfrac{4k}{5}−\dfrac{1}{6}$ ⓑ $\dfrac{4k}{5}⋅\dfrac{1}{6}$.

Responder

ⓐ $\dfrac{24k−5}{30}$ ⓑ $\dfrac{2k}{15}$

Usar el orden de las operaciones para simplificar fracciones

La barra de fracción en una fracción actúa como símbolo de agrupación. El orden de las operaciones nos dice entonces simplificar el numerador y luego el denominador. Entonces dividimos.

Simplifica una expresión con una barra de fracción.

1. Simplifica la expresión en el numerador. Simplifica la expresión en el denominador.
2. Simplifica la fracción.

¿A dónde va el signo negativo en una fracción? Por lo general, el signo negativo está delante de la fracción, pero a veces verá una fracción con un numerador negativo, o a veces con un denominador negativo. Recuerda que las fracciones representan división. Cuando el numerador y el denominador tienen signos diferentes, el cociente es negativo.

$$\dfrac{−1}{3}=−\dfrac{1}{3} \; \; \; \; \; \; \dfrac{\text{negative}}{\text{positive}}=\text{negative}$$

$$\dfrac{1}{−3}=−\dfrac{1}{3} \; \; \; \; \; \; \dfrac{\text{positive}}{\text{negative}}=\text{negative}$$

Colocación de signo negativo en una fracción

Para cualquier número positivo $a$ y $b$,

$$\dfrac{−a}{b}=\dfrac{a}{−b}=−\dfrac{a}{b}$$

EJEMPL $\PageIndex{19}$

Simplificar: $\dfrac{4(−3)+6(−2)}{−3(2)−2}$.

Responder

La barra de fracción actúa como un símbolo de agrupación. De manera que simplificamos por completo el numerador y el denominador por separado.

$\begin{array}{lc} \text{} & \dfrac{4(−3)+6(−2)}{−3(2)−2} \\[5pt] \text{Multiply.} & \dfrac{−12+(−12)}{−6−2} \\[5pt] \text{Simplify.} & \dfrac{−24}{−8} \\[5pt] \text{Divide.} & 3 \end{array}$

EJEMPL $\PageIndex{20}$

Simplificar:$\dfrac{8(−2)+4(−3)}{−5(2)+3}$.

Responder

4

EJEMPL $\PageIndex{21}$

Simplificar: $\dfrac{7(−1)+9(−3)}{−5(3)−2}$.

Responder

2

Ahora veremos fracciones complejas donde el numerador o denominador contiene una expresión que se puede simplificar. Por lo que primero debemos simplificar por completo el numerador y el denominador por separado utilizando el orden de las operaciones. Después dividimos el numerador por el denominador como la fracción barra significa división.

EJEMPLO $\PageIndex{22}$: Cómo simplificar fracciones complejas

Simplificar: $\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{4+3^2}$.

Responder

EJEMPL $\PageIndex{23}$

Simplificar: $\dfrac{\left(\frac{1}{3}\right)^2}{2^3+2}$.

Responder

$\frac{1}{90}$

EJEMPL $\PageIndex{24}$

Simplificar: $\dfrac{1+4^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}$.

Responder

272

Simplifica las fracciones complejas.

1. Simplifica el numerador.
2. Simplifica el denominador.
3. Divida el numerador por el denominador. Simplifique si es posible.

EJEMPL $\PageIndex{25}$

Simplificar: $\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{4}−\dfrac{1}{6}}$.

Responder

Puede ayudar poner paréntesis alrededor del numerador y el denominador.

$\begin{array}{lc}\text{} & \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{4}−\dfrac{1}{6}} \\[6pt] \text{Simplify the numerator }(LCD=6)\text{ and } \\[6pt] \text{simplify the denominator }(LCD=12). & \dfrac{\left(\dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{6}\right)}{\left(\dfrac{9}{12}−\dfrac{2}{12}\right)} \\[6pt] \text{Simplify.} & \left(\dfrac{7}{6}\right)\left(\dfrac{7}{12}\right) \\[6pt] \text{Divide the numerator by the denominator.} & \dfrac{7}{6}÷\dfrac{7}{12} \\[6pt] \text{Simplify.} & \dfrac{7}{6}⋅\dfrac{12}{7} \\[6pt] \text{Divide out common factors.} & \dfrac{\cancel{7}⋅\cancel{6}⋅2}{ \cancel{6}⋅\cancel{7}⋅1} \\[6pt] \text{Simplify.} & 2 \end{array}$

EJEMPL $\PageIndex{26}$

Simplificar: $\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}}{ \dfrac{3}{4}−\dfrac{1}{3}}$.

Responder

2

EJEMPL $\PageIndex{27}$

Simplificar: $\dfrac{\dfrac{2}{3}−\dfrac{1}{2}}{ \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}}$.

Responder

$\frac{2}{7}$

Evaluar expresiones variables con fracciones

Hemos evaluado expresiones antes, pero ahora podemos evaluar expresiones con fracciones. Recuerde, para evaluar una expresión, sustituimos el valor de la variable en la expresión y luego simplificamos.

EJEMPL $\PageIndex{28}$

Evaluar $2x^2y$ cuándo $x=\frac{1}{4}$ y $y=−\frac{2}{3}$.

Responder

Sustituir los valores en la expresión.

Simplifique los exponentes primero.
Multiplicar; dividir los factores comunes. Note que escribimos 16 como 2242·2·4 para facilitar la eliminación de factores comunes.
Simplificar.

EJEMPL $\PageIndex{29}$

Evaluar $3ab^2$ cuándo $a=−\frac{2}{3}$ y $b=−\frac{1}{2}$.

Responder

$−\dfrac{1}{2}$

EJEMPL $\PageIndex{30}$

Evaluar $4c^3d$ cuándo $c=−\frac{1}{2}$ y $d=−\frac{4}{3}$.

Responder

$\dfrac{2}{3}$

Accede a este recurso en línea para la instrucción y práctica adicional con fracciones.

• Adición de fracciones con denominadores diferentes

Conceptos Clave

• Si $a$, $b$, y $c$ son números donde $b≠0,c≠0$, entonces

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a·c}{b·c}$ y $\dfrac{a·c}{b·c}=\dfrac{a}{b}.$

• Cómo simplificar una fracción.
  1. Reescribir el numerador y el denominador para mostrar los factores comunes.
     Si es necesario, factoriza primero el numerador y el denominador en números primos.
  2. Simplifique el uso de la Propiedad de Fracciones Equivalentes dividiendo factores comunes.
  3. Multiplique los factores restantes.
• Si $a$, $b$, $c$, y $d$ son números donde $b≠0$, y $d≠0$, entonces

  $\dfrac{a}{b}·\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$

  Para multiplicar fracciones, multiplique los numeradores y multiplique los denominadores.

• Si $a$, $b$, $c$, y $d$ son números donde $b≠0$,$c≠0$, y $d≠0$, entonces

  $\dfrac{a}{b}÷\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}⋅\dfrac{d}{c}$

  Para dividir fracciones, multiplicamos la primera fracción por la recíproca de la segunda.

• Si $a$, $b$, y $c$ son números donde $c≠0$, entonces

  $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \text{ and } \dfrac{a}{c}−\dfrac{b}{c}=\dfrac{a−b}{c}$

  Para sumar o restar fracciones, sumar o restar los numeradores y colocar el resultado sobre el denominador común.

• Cómo sumar o restar fracciones.
  1. ¿Tienen un denominador común?
     • Sí—ve al paso 2.
     • No: reescriba cada fracción con la pantalla LCD (mínimo común denominador).
       • Encuentra la pantalla LCD.
       • Cambie cada fracción en una fracción equivalente con el LCD como denominador.
  2. Sumar o restar las fracciones.
  3. Simplificar, si es posible.
• Cómo simplificar una expresión con una barra de fracción.
  1. Simplifica la expresión en el numerador. Simplifica la expresión en el denominador.
  2. Simplifica la fracción.
• Para cualquier número positivo $a$ y $b$,

  $\dfrac{−a}{b}=\dfrac{a}{−b}=−\dfrac{a}{b}$

• Cómo simplificar fracciones complejas.
  1. Simplifica el numerador.
  2. Simplifica el denominador.
  3. Divida el numerador por el denominador. Simplifique si es posible.

Glosario

fracción compleja

Una fracción en la que el numerador o el denominador es una fracción se denomina fracción compleja.

denominador

En una fracción, escrita $\dfrac{a}{b}$, donde $b≠0$, el denominador $b$ es el número de partes iguales en las que se ha dividido el conjunto.

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen el mismo valor.

fracción

Se escribe una fracción $\dfrac{a}{b}$, donde $b≠0$, y a es el numerador y $b$ es el denominador. Una fracción representa partes de un todo.

mínimo común denominador

El mínimo común denominador (LCD) de dos fracciones es el múltiplo menos común (MCM) de sus denominadores.

numerador

En una fracción, escrita $\dfrac{a}{b}$, donde $b≠0$, el numerador a indica cuántas partes se incluyen.

recíproco

El recíproco de una fracción se encuentra al invertir la fracción, colocando el numerador en el denominador y el denominador en el numerador.