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12.3: Secuencias Aritméticas

  • Page ID
    51659
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Determinar si una secuencia es aritmética
    • Encuentra el término general (\(n\)th término) de una secuencia aritmética
    • Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Evaluar \(4n−1\) para los enteros \(1, 2, 3\), y \(4\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.6.
    2. Resolver el sistema de ecuaciones: \(\left\{\begin{array}{l}{x+y=7} \\ {3 x+4 y=23}\end{array}\right.\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.9.
    3. Si \(f(n)=\frac{n}{2}(3 n+5)\), encuentra \(f(1)+f(20)\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.49.

    Determinar si una secuencia es aritmética

    En la última sección se introdujeron secuencias y ahora veremos dos tipos específicos de secuencias que cada una tiene propiedades especiales. En esta sección veremos secuencias aritméticas y en la siguiente sección, secuencias geométricas.

    Una secuencia aritmética es una secuencia donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. La diferencia entre términos consecutivos en una secuencia aritmética, a_ {n} -a_ {n-1} \(d\), es, la diferencia común, para \(n\) mayor o igual a dos.

    Definición \(\PageIndex{1}\)

    Una secuencia aritmética es una secuencia donde la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma.

    La diferencia entre términos consecutivos, a_ {n} -a_ {n-1}, es \(d\), la diferencia común, para \(n\) mayor o igual a dos.

    Figura 12.2.1
    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Determina si cada secuencia es aritmética. Si es así, indique la diferencia común.

    1. \(5,9,13,17,21,25, \dots\)
    2. \(4,9,12,17,20,25, \dots\)
    3. \(10,3,-4,-11,-18,-25, \dots\)

    Solución:

    Para determinar si la secuencia es aritmética, encontramos la diferencia de los términos consecutivos mostrados.

    a. \(\begin{array}{cccccc}{5,} & {9,} & {13,} & {17} & {21,} & {25, \ldots} \\ {\text { Find the difference of the consecutive terms.}} & {9-5} & {13-9} & {17-13} & {21-17} & {25-21} \\ & {4} & {4} & {4} & {4}&{4}\end{array}\)

    La secuencia es aritmética. La diferencia común es \(d=4\).

    b. \(\begin{array}{cccccc}{4,} & {9,} & {12,} & {17} & {20,} & {25, \ldots} \\ {\text { Find the difference of the consecutive terms.}} & {9-4} & {12-9} & {17-12} & {20-17} & {25-20} \\ & {2} & {3} & {5} & {3}&{5}\end{array}\)

    La secuencia no es aritmética ya que todas las diferencias entre los términos consecutivos no son las mismas. No hay diferencia común.

    c. \(\begin{array}{cccccc}{10,} & {3,} & {-4,} & {-11} & {-18,} & {-25, \ldots} \\ {\text { Find the difference of the consecutive terms.}} & {3-10} & {-4-3} & {-11-(-4)} & {-18-(-11)} & {-25-(-18)} \\ & {-7} & {-7} & {-7} & {-7}&{-7}\end{array}\)

    Respuesta:

    La secuencia es aritmética. La diferencia común es \(d=-7\).

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Determina si cada secuencia es aritmética. Si es así, indique la diferencia común.

    1. \(9,20,31,42,53,64, \dots\)
    2. \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
    3. \(7,1,10,4,13,7, \dots\)
    Contestar
    1. La secuencia es aritmética con diferencia común \(d=11\).
    2. La secuencia es aritmética con diferencia común \(d=-6\).
    3. La secuencia no es aritmética ya que todas las diferencias entre los términos consecutivos no son las mismas.
    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Determina si cada secuencia es aritmética. Si es así, indique la diferencia común.

    1. \(-4,4,2,10,8,16, \dots\)
    2. \(-3,-1,1,3,5,7, \dots\)
    3. \(7,2,-3,-8,-13,-18, \dots\)
    Contestar
    1. La secuencia no es aritmética ya que todas las diferencias entre los términos consecutivos no son las mismas.
    2. La secuencia es aritmética con diferencia común \(d=2\).
    3. La secuencia es aritmética con diferencia común \(d=−5\).

    Si conocemos el primer término, \(a_{1}\), y la diferencia común, \(d\), podemos enumerar un número finito de términos de la secuencia.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Escribe los primeros cinco términos de la secuencia donde está el primer término \(5\) y la diferencia común es \(d=−6\).

    Solución:

    Empezamos con el primer término y sumamos la diferencia común. Después agregamos la diferencia común a ese resultado para obtener el siguiente término, y así sucesivamente.

    \(\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} & {a_{4}} & {a_{5}} \\ {5} & {5+(-6)} & {-1+(-6)} & {-7+(-6)} & {-13+(-6)} \\ {}&{-1} & {-7} & {-13} & {-19}\end{array}\)

    Respuesta:

    La secuencia es \(5,-1,-7,-13,-19, \dots\)

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Escribe los primeros cinco términos de la secuencia donde está el primer término \(7\) y la diferencia común es \(d=−4\).

    Contestar

    \(7,3,-1,-5,-9, \dots\)

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Escribe los primeros cinco términos de la secuencia donde está el primer término \(11\) y la diferencia común es \(d=−8\).

    Contestar

    \(11,3,-5,-13,-21, \dots\)

    Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Aritmética

    Así como encontramos una fórmula para el término general de una secuencia, también podemos encontrar una fórmula para el término general de una secuencia aritmética.

    Escribamos los primeros términos de una secuencia donde está el primer término \(a_{1}\) y la diferencia común es \(d\). Después buscaremos un patrón.

    Al buscar un patrón vemos que cada término empieza con \(a_{1}\).

    Figura 12.2.2

    El primer término se suma \(0d\) a la \(a_{1}\), el segundo término agrega \(1d\), el tercer término agrega \(2d\), el cuarto término agrega \(3d\), y el quinto término agrega \(4d\). El número de \(ds\) que se sumaron \(a_{1}\) es uno menor que el número del término. Esto nos lleva a la siguiente

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)

    Definición \(\PageIndex{2}\)

    El término general de una secuencia aritmética con primer término \(a_{1}\) y la diferencia común \(d\) es

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)

    Usaremos esta fórmula en el siguiente ejemplo para encontrar eldecimoquinto término de una secuencia.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Encuentra el decimoquinto término de una secuencia donde está el primer término \(3\) y la diferencia común es \(6\).

    Solución:

    \(\begin{array}{cc}{\text{To find the fifteenth term, }a_{15}\text{, use the formula with } a_{1}=3 \:\text{and} \:d=6.}&{a_{n}=a_{1}+(n-1) d} \\ {\text{Substitute in the values.}}&{a_{15}=3+(15-1) 6} \\{\text{Simplify.}}& {a_{15}=3+(14) 6} \\ {}&{a_{15}=87}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Encuentra el vigésimo séptimo término de una secuencia donde está el primer término \(7\) y la diferencia común es \(9\).

    Contestar

    \(241\)

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Encuentra el decimoctavo término de una secuencia donde está el primer término \(13\) y la diferencia común es \(−7\).

    Contestar

    \(-106\)

    En ocasiones no conocemos el primer término y debemos utilizar otra información dada para encontrarlo antes de encontrar el término solicitado.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Encuentra el duodécimo término de una secuencia donde está el séptimo término \(10\) y la diferencia común es \(−2\). Dar la fórmula para el término general.

    Solución:

    Para encontrar primero el primer término, \(a_{1}\), utilice la fórmula con \(a_{7}=10\),\(n=7\), y \(d=−2\). Sustituir en los valores. Simplificar.

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)
    \(10=a_{1}+(7-1)(-2)\)
    \(10=a_{1}+(6)(-2)\)
    \(10=a_{1}-12\)
    \(a_{1}=22\)

    Encuentra el duodécimo término \(a_{12}\),, usando la fórmula con \(a_{1}=22\), \(n=12\), y \(d=-2\). Sustituir en los valores. Simplificar.

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)
    \(a_{12}=22+(12-1)(-2)\)
    \(a_{12}=22+(11)(-2)\)
    \(a_{12}=0\)

    El duodécimo término de la secuencia es \(0, a_{12}=0\)

    Para encontrar el término general, sustituya los valores en la fórmula.

    \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)
    \(a_{n}=22+(n-1)(-2)\)
    \(a_{n}=22-2 n+2\)

    Respuesta:
    El término general es \(a_{n}=-2 n+24\)

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Encuentra el undécimo término de una secuencia donde está el noveno término \(8\) y la diferencia común es \(−3\). Dar la fórmula para el término general.

    Contestar

    \(a_{11}=2 .\) El término general es \(a_{n}=-3 n+35\)

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra el decimonoveno término de una secuencia donde está el quinto término \(1\) y la diferencia común es \(−4\).Dar la fórmula para el término general.

    Contestar

    \(a_{19}=-55 .\) El término general es \(a_{n}=-4 n+21\)

    En ocasiones la información dada nos lleva a dos ecuaciones en dos incógnitas. Luego usamos nuestros métodos para resolver sistemas de ecuaciones para encontrar los valores necesarios.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Encuentra el primer término y diferencia común de una secuencia donde está el quinto término \(19\) y el undécimo término es \(37\). Dar la fórmula para el término general.

    Solución:

    Ya que conocemos dos términos, podemos hacer un sistema de ecuaciones usando la fórmula para el término general.

     
    Conocemos el valor de \(a_{5}\) y \(a_{11}\), por lo que usaremos \(n=5\) y \(n=11\).

    Sustituir en los valores, \(a_{5}=19\) y \(a_{11}=37\).
    Simplificar.
    Prepárate para eliminar el \(a_{1}\) término multiplicando la ecuación superior por \(−1\).
    Agrega las ecuaciones.
    Sustituyendo de \(d=3\) nuevo en la primera ecuación.
    Resolver para \(a_{1}\).
    Usa la fórmula con \(a_{1}=7\) y \(d=3\).
    Sustituir en los valores.
    Simplificar.
      El primer término es \(a_{1}=7\).
    La diferencia común es \(d=3\).
      El término general de la secuencia es \(a_{n}=3n+4\).
    Cuadro 12.2.1

    Respuesta:

    El término general de la secuencia es \(a_{n}=3n+4\).

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Encuentra el primer término y diferencia común de una secuencia donde está el cuarto término \(17\) y el decimotercer término es \(53\). Dar la fórmula para el término general.

    Contestar

    \(a_{1}=5, d=4 .\) El término general es \(a_{n}=4 n+1\).

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Encuentra el primer término y diferencia común de una secuencia donde está el tercer término \(2\) y el duodécimo término es \(−25\). Dar la fórmula para el término general.

    Contestar

    \(a_{1}=8, d=-3 .\) El término general es \(a_{n}=-3 n+11\).

    Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética

    Al igual que con las secuencias generales, a menudo es útil encontrar la suma de una secuencia aritmética. La suma, \(S_{n}\), de los primeros \(n\) términos de cualquier secuencia aritmética se escribe como \(S_{n} =a_{1} +a_{2} +a_{3} +\ldots +a_{n}\). Encontrar la suma simplemente agregando todos los términos puede ser tedioso. Por lo que también podemos desarrollar una fórmula para encontrar la suma de una secuencia usando el primer y último término de la secuencia.

    Podemos desarrollar esta nueva fórmula escribiendo primero la suma comenzando con el primer término, \(a_{1}\), y seguir agregando un \(d\) para obtener el siguiente término como:

    \(S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2 d\right)+\ldots+a_{n}\).

    También podemos revertir el orden de los términos y escribir la suma comenzando con \(a_{n}\) y seguir restando \(d\) para obtener el siguiente término como

    \(S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2 d\right)+\ldots+a_{1}\).

    Si agregamos estas dos expresiones para la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros \(n\) términos de cualquier serie aritmética.

    \(\begin{aligned} &S_{n}= a_{1} \quad+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2 d\right)+\ldots+a_{n} \\+&S_{n} =a_{n} \quad+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2 d\right)+\ldots+a_{1} \\ \hline \\ &2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+\dots+(a_{1}+a_{n}) \end{aligned}\)

    Debido a que hay \(n\) sumas de \((a_{1}+a_{n})\) en el lado derecho de la ecuación, reescribimos el lado derecho como \(n(a_{1}+a_{n})\).

    \(2 S_{n}=n\left(a_{1}+a_{n}\right)\)

    Dividimos por dos para resolver \(S_{n}\).

    \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)

    Esto nos da una fórmula general para la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética.

    Definición \(\PageIndex{3}\)

    La suma, \(S_{n}\), de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética es

    \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)

    donde \(a_{1}\) es el primer término y \(a_{n}\) es el \(n\)th.

    Aplicamos esta fórmula en el siguiente ejemplo donde se dan los primeros términos de la secuencia.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Encuentra la suma de los primeros \(30\) términos de la secuencia aritmética: \(8, 13, 18, 23, 28, …\)

    Solución:

    Para encontrar la suma, usaremos la fórmula \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\). Sabemos \(a_{1}=8, d=5\) y \(n=30\), pero necesitamos encontrar \(a_{n}\) para poder utilizar la fórmula de suma.

    Encuentra \(a_{n}\) dónde \(a_{1}=8, d=5\) y \(n=30\). Simplificar.

    \(\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ a_{30} &=8+(30-1) 5 \\ a_{30} &=8+(29) 5 \\ a_{30} &=153 \end{aligned}\)

    Conocer \(a_{1}=8, n=30\), y \(a_{30}=153\), utilizar la fórmula de suma. Sustituir en los valores. Simplificar. Simplificar.

    \(\begin{aligned} S_{n} &=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right) \\ S_{30} &=\frac{30}{2}(8+153) \\ S_{30} &=15(161) \\ S_{30} &=2,415 \end{aligned}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Encuentra la suma de los primeros \(30\) términos de la secuencia aritmética: \(5, 9, 13, 17, 21, …\)

    Contestar

    \(1,890\)

    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Encuentra la suma de los primeros \(30\) términos de la secuencia aritmética: \(7, 10, 13, 16, 19, …\)

    Contestar

    \(1,515\)

    En el siguiente ejemplo, se nos da el término general para la secuencia y se nos pide encontrar la suma de los primeros \(50\) términos.

    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Encuentra la suma de los primeros \(50\) términos de la secuencia aritmética cuyo término general es \(a_{n}=3n−4\).

    Solución:

    Para encontrar la suma, usaremos la fórmula \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\). Lo sabemos \(n=50\), pero necesitamos encontrar \(a_{1}\) y \(a_{n}\) para poder usar la fórmula de suma.

     
    Encuentra \(a_{1}\), sustituyendo \(n=1\).
    Encuentra \(a_{n}\) sustituyendo \(n=50\).
    Simplificar.
    Conocer \(n=50, a_{1}=−1,\) y \(a_{50}=146\) usar la fórmula de suma.
    Sustituir en los valores.
    Simplificar.
    Simplificar.
    Cuadro 12.2.2
    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Encuentra la suma de los primeros \(50\) términos de la secuencia aritmética cuyo término general es \(a_{n}=2n−5\).

    Contestar

    \(2,300\)

    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Encuentra la suma de los primeros \(50\) términos de la secuencia aritmética cuyo término general es \(a_{n}=4n+3\).

    Contestar

    \(5,250\)

    En el siguiente ejemplo se nos da la suma en notación de suma. Agregar todos los términos sería tedioso, por lo que extraemos la información necesaria para usar la fórmula para encontrar la suma de los primeros \(n\) términos.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Encuentra la suma: \(\sum_{i=1}^{25}(4 i+7)\).

    Solución:

    Para encontrar la suma, usaremos la fórmula \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\). Lo sabemos \(n=25\), pero necesitamos encontrar \(a_{1}\) y \(a_{n}\) para poder usar la fórmula de suma.

    Amplíe la notación de suma.
    Figura 12.2.21
    Simplificar.
    Figura 12.2.22
    Identificar \(a_{1}\).
    Identificar \(a_{25}\).
    Figura 12.2.24
    Conocer \(n=25, a_{1}=11\), y \(a_{25} = 107\) usar la fórmula de suma.
    Sustituir en los valores.
    Simplificar.
    Simplificar.
    Cuadro 12.2.3
    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Encuentra la suma: \(\sum_{i=1}^{30}(6 i-4)\).

    Contestar

    \(2,670\)

    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Encuentra la suma: \(\sum_{i=1}^{35}(5 i-3)\).

    Contestar

    \(3,045\)

    Acceda a estos recursos en línea para instrucción y práctica adicionales con secuencias aritméticas

    Conceptos Clave

    • Término general (\(n\)th término) de una secuencia aritmética
      El término general de una secuencia aritmética con primer término \(a_{1}\) y la diferencia común \(d\) es

      \(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)

    • Suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética
      La suma \(S_{n}\),, de los primeros\\(n\) términos de una secuencia aritmética, donde \(a_{1}\) \(a_{n}\) es el primer término \(n\)y es el

      \(S_{n}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)

    Glosario

    secuencia aritmética
    Una secuencia aritmética es una secuencia donde la diferencia entre términos consecutivos es constante.
    diferencia común
    La diferencia entre términos consecutivos en una secuencia aritmética \(a_{n}−a_{n−1}\), \(d\), es, la diferencia común, para \(n\) mayor o igual a dos.

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